隐形圆模型的最值问题-含答案

隐形圆模型的最值问题

【母题示例】

如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________．

【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息．

【母题剖析】

先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可．

【母题解读】

隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决.

模型一直角模型

【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．

【基本图形】

基本

图形

BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明

以AB为直径的圆上

【核心突破】

1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( )

A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．3

2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________．

模型二定角模型

【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计

算．

【基本图形】

基本

图形

说明

点P是正方形ABCD内一点，且∠APB＝60°，则以AB为边

在正方形ABCD

内作等边△ABM，点P在△ABM的外接圆在

正方形内的部分弧上

基本

图形

说明

点P是平面内一点，且∠APB＝45°，则以AB为斜边作等

腰Rt△AOB，点P在以O为圆心，OA为半径的圆的优弧上

【模型突破】

1．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝23，点P是矩形ABCD内(含边界)上一点，且∠APB＝60°，连接CP，则CP的最小值为________．

2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D均在x轴上，点B在第三象限，且OA＝2，OD＝1，AB＝4，点E是AB的中点，连接OE，动点P是平面内一点，且∠OPE＝45°，连接CP，求CP的最小值．

模型三折叠、旋转模型

【模型解读】折叠、旋转模型是在几何图形中，通过折叠或旋转变换得到动点，而此时动点的轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆，从而画出动点轨迹，并进行计算．

【基本图形】

基本

图形

沿过矩形ABCD的顶点A折叠△ADE，得到△AD′E，则点D′说明

在以A为圆心，AD为半径的圆弧上

基本

图形

△AEF绕正方形ABCD的顶点A旋转，则点F的轨迹为以A 说明

为圆心，AF为半径的圆

【模型突破】

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为________．