初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题(含答案) (40)

初中八年级数学第十三章轴对称单元检测复习试题（含答案）如图，在44 的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是________．

【答案】1

6

【解析】

【分析】

根据轴对称的定义，确定可以构成轴对称图形的情况，根据概率公式求解即可．

【详解】

解：如图，图中共有12个白色正方形，其中涂黑1个使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的共有2种情况，

．

所以概率为P=21=

126

故答案为：1

6

【点睛】

本题考查了列举法求概率，轴对称图形的判定，熟知求概率公式和轴对称图形的概念是解题关键．

72．如图ABC DCB ???，75A ∠=，40DBC ∠=，DCA ∠则的度数为__________．

【答案】25

【解析】

【分析】

直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．

【详解】

：∵△ABC ≌△DCB ，

∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，

∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，

∴∠DCA=65°-40°=25°．

故答案为：25°．

【点睛】

此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角的度数是解题关键．

73．如图，△ACB ≌△A ′CB ′，∠BCB ′＝37°，则∠ACA ′的度数为_____．

【答案】37°

【解析】

【分析】

根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠A ′CB ′，结合图形计算即可．

【详解】

解：∵△ACB ≌△A ′CB ′，

∴∠ACB=∠A ′CB ′，

∴∠ACB-∠A ′CB=∠A ′CB ′-∠A ′CB ，

即∠ACA ′=∠BCB ′=37°，

∴∠ACA ′=37°，

故答案为：37°．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

74．在ABC 中13AB AC ==，10BC =，则BC 边上的高为________．

【答案】12

【解析】

【分析】

过A 作AD ⊥BC 于D ，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理

求出AD即可．

【详解】

解：如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，

过A作AD⊥BC于D，则BD＝5，

在Rt△ABD中，AB＝13，BD＝5，

则AD＝

12，

故BC边上高的为12．

故答案是：12．

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质及勾股定理的运用，涉及面较广，但难度适中，是一道不错的中考题，解题的关键是作出BC边上的高线，构造直角三角形．

三、解答题

75．()1请画出ABC关于直线l的轴对称图形111

A B C．

()2将ABC绕着点B旋转180得到222

A B C，并画出图形.(保留作图痕迹，不写画法，注明结论)

【答案】（1）详见解析；（2）222

A B C是ABC绕B点旋转180的图形．

【解析】

【分析】

()1分别作出点A，B，C关于直线l的对称点，再首尾顺次连接可得；()2作出点A与点C绕着点B旋转180得到的对应点，再与点B首尾顺次连接可得．

【详解】

()

1A B C为所求作的关于l的轴对称图形．

111

()

2A B C是ABC绕B点旋转180的图形．

222

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换与旋转变换，熟练掌握轴对称变换与旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点是解题的关键．

76．如图,△ABC中, ∠BAC=∠ADB,BE平分∠ABC交AD于点E,交AC

于点F,过点E作EG//BC交AC于点G.

(1)求证: AE=AF;

(2)若AG=4，AC=7，求FG的长.

【答案】（1）见解析；（2）1.

【解析】

分析：（1）由角平分线的定义和已知条件证出∠AFB=∠AEF，即可得出结论；（2）由SAS证明：△ABF≌△HBF，得出AF=FH，∠AFB=∠HFB，再证明1△AEG≌△FHC，得出AG=FC=4，即可得出结果．

本题解析：

（1）∵BF平分∠ABC

∴∠ABF=∠CBF

∵∠AFB=180°-∠ABF－∠BAF

∠BED=180°-∠CBF－∠ADB

又∵∠BAC=∠ADB

∴∠AFB=∠BED

∵∠AEF=∠BED

∴∠AFB=∠AEF

∴AE=AF

（2）如图，在BC上截取BH=AB，连接FH

在△ABF 和△HBF 中

∵AB BH ABF HBF BF BF =??∠=∠??=?

∴△ABF ≌△HBF （SAS ）

∴AF =FH ，∠AFB =∠HFB

∵∠AFB =∠AEF

∴∠HFB =∠AEF

∴AE ∥FH

∴∠GAE =∠CFH

∵EG ∥BC

∴∠AGE =∠C

∵AE =AF

∴AE =FH

在△AEG 和△FHC 中

∵GAE CFH AGE C AE FH ∠=∠??∠=∠??=?

∴△AEG ≌△FHC （AAS ）

∴AG =FC

=4

∴FG=AG+ FC -AC=1

77．已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC，

（1）如果点E是边AC的中点，AC=5cm，求DE的长；

（2）如图2，若DE平分∠ADC，在BC边上取点F，使∠DFC=60°，若BC=7，BF=2，求DF的长.

【答案】（1）DE=2.5cm；（2）DF＝3．

【解析】

【分析】

（1）根据角平分线定义得到∠BCD =∠ACD，由于DE∥BC，根据平行线性质得∠EDC =∠BCD，则∠EDC =∠ACD，然后可得ED=EC，由点E是边AC的中点，AC=5cm得EC=2.5cm，所以DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于点G，易求GB、GF的长，再根据在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半即可求出DF的长．

【详解】

解：（1）∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD =∠ACD，

∵DE∥BC，

∴∠EDC =∠BCD，

∴∠EDC =∠ACD，

∴ED=EC，

∵点E是边AC的中点，AC=5cm，

∴EC=2.5cm，

∴DE=2.5cm；

（2）作DG⊥BC于点G，

∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，∠EDC＝∠DCB，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE＝∠EDC，

∴∠B＝∠DCB，

∴DB＝DC．

∵DG⊥BC，

∴GB＝1

2

BC=1

2

×7＝3.5，

∴GF＝GB?BF＝3.5?2＝1.5，∵Rt△DGF中，∠DFG＝60°，∴∠FDG＝30°

∴DF ＝2GF ＝2×1.5＝3．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质以及在直角三角形中30°的锐角所对的直角边是斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．

78．如图，在Rt GMN 中，90M P ∠=?，为MN 的中点

①用直尺和圆规在GN 边上求作点Q ，使得GQM PQN ∠=∠(保留作图痕迹，不要求写作法)；

②在①的条件下，如果60G ∠=?，那么Q 是GN 的中点吗？为什么？

【答案】①作图见详解，②Q 是GN 的中点，证明见详解.

【解析】

【分析】

①利用尺规进行作图即可，注意要保留作图痕迹.

②证明Q 是GN 的中点，根据①的条件大胆猜想综合运用等角和等边转换，从而分析证明.

【详解】

解：①

②在①的条件下，如果∠G=60°，那么Q是GN的中点，理由如下：设PP'交GN于点K，

∵∠G=60°，∠GMN=90°，

∴∠N=90°─60°=30°，

∵点P关于GN的对称点是点P'，

∴PK⊥KN，PK=1

2

P P'，

∴∠PKN=90°，又∵∠N=30°，

∴PK=1

2

PN，PP'=PN，

∵P为MN的中点，

∴PM=PN，PP'=PM，

∴∠PР'M=∠PMР'，

∵∠PK N=90°，∠N=30°，

∴∠NРK=90°-30°=60°，又∵∠PP'M+∠PMP’=∠NPK，

∴∠PM P'=1

2

×60°=30°，又∵∠N=30°，

∴∠PM P'=∠N，QM=QN，

∵∠GMN=90°，∠PM P'=30°，

∴∠GMQ=90°-30°=60°，

又∵∠G=60°，

∴∠GMQ=∠G，

∴QG=QM，又∵QM=QN，

∴QG=QN，Q是GN的中点。

【点睛】

本题考查了尺规作图以及中点的证明，掌握尺规作图的技巧.证明中点时要利用①的条件，进行角的等量转换，从而求证.

79．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．

(1)求证：△ABC≌△DEF；

(2)若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠F=40°．

【解析】

【分析】

（1）因为AD=CF，故AD+CD=CD+CF，即AC=DF，运用SSS可证ABC≌DEF；

（2）由（1）可得∠F=∠ACB，根据三角形内角和180°，可求∠ACB的度

数，即∠F 可求．

【详解】

解：（1）∵AD=CF ，

∴AD+CD=CD+CF ，即AC=DF ， 在ABC 和DEF 中，

AB=DE BC=EF AC=DF ?????

∴ABC ≌DEF （SSS ）；

（2）由（1）可得ABC ≌DEF ，

∴∠F=∠ACB ，

根据三角形内角和180°，∠A=60°，∠B=80°，

∴∠ACB=180°-60°-80°=40°，

∴∠F=40°．

【点睛】

本题主要考察了三角形全等的判定方法及应用、三角形内角和为180°，能够根据AD=CF 得出AC=DF 是解题的关键．

80．如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径作圆交BC 于D ，过D 作O 的切线EF 交AC 于E ，交AB 延长线于F ．

（1）求证：DE AC ⊥．

（2）若BD =1

tan 2

CDE ∠=

，求BF 的长． 【答案】（1）见详解；（2）103BF =． 【解析】

【分析】

（1）连接OD 、AD ，由AB=AC 且∠ADB=90°知D 是CB 的中点，由O 是AB 的中点知OD ∥AC,根据OD ⊥DE 可得；

（2）先根据勾股定理求出AB 、CE 的长，进而求得AE 的长，再证

△ODF ∽△AEF 得OD OF AE AF

=,据此可得答案． 【详解】

（1）证明：连结OD ，AD ， EF 是O 的切线，

OD DE ∴⊥， AB 是O 的直径，

90ADB ∴∠=?，即AD BC ⊥，

AB AC =，

BD DC ∴=，

又OB OA =

//OD AC ∴，

DE AC ∴⊥．

（2）由（1）得CD BD ==

DE AC ⊥，AD BC ⊥，

90CDE C ∴∠+∠=?，90DAC C ∠+∠=?，

CDE DAC ∴∠=∠，1tan tan 2

DAC CDE ∴∠=∠=， 1

2

DC AD ∴=，2AD CD ∴==

在Rt ABD ?中，10AB ∴===，

5OA OD OB ∴===，10AC AB ==，

在Rt CDE ?中，222DE CE CD +=，222(2)CE CE ∴+=，得2CE =， 1028AE AC CE ∴=-=-=，

90AEF ODF ∠=∠=?，F ∠= F ∠

AEF

ODF ∴?? AF AE OF OD ∴=，即10855BF BF +=+，解得103

BF =． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．