全国10月自考概率论与数理统计(经管类)试题解析
全国2012年10月概率论与数理统计(经管类)真题与解析
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。
1.已知事件A,B,A∪B的概率分别为0.5,0.4,0.6,则P(A)=
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.5
【答案】B
【解析】因为,所以,而,
所以,即;
又由集合的加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.5+0.4-0.6=0.3,
所以=0.5-0.3=0.2,故选择B.
[快解] 用Venn图可以很快得到答案:
【提示】1. 本题涉及集合的运算性质:
(i)交换律:A∪B=B∪A,AB=BA;
(ii)结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C),(AB)C=A(BC);
(iii)分配律:(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);
(iv)摩根律(对偶律),.
2.本题涉及互不相容事件的概念和性质:若事件A与B不能同时发生,称事件A与B互不相容或互斥,可表示为A∩B=,且P(A∪B)=P(A)+P(B).
3.本题略难,如果考试时遇到本试题的情况,可先跳过此题,有剩余时间再考虑。
2.设F(x)为随机变量X的分布函数,则有
A.F(-∞)=0,F(+∞)=0
B.F(-∞)=1,F(+∞)=0
C.F(-∞)=0,F(+∞)=1
D.F(-∞)=1,F(+∞)=1
【答案】C
【解析】根据分布函数的性质,选择C。
【提示】分布函数的性质:
① 0≤F(x)≤1;
② 对任意x1,x2(x1 ③ F(x)是单调非减函数; ④ ,; ⑤ F(x)右连续; ⑥ 设x为f(x)的连续点,则F‘(x)存在,且F’(x)=f(x). 3.设二维随机变量(X,Y)服从区域D:x2+y2≤1上的均匀分布,则(X,Y)的概率密度为 A.f(x,y)=1 B. C.f(x,y)= D. 【答案】D 【解析】由课本p68,定义3-6:设D为平面上的有界区域,其面积为S且S>0. 如果二维随机变量(X,Y)的概率密度为 , 则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布. 本题x2+y2≤1为圆心在原点、半径为1的圆,包括边界,属于有界区域,其面积S=π, 故选择D. 【提示】课本介绍了两种二维连续型随机变量的分布:均匀分布和正态分布,注意它们的定义。若(X,Y)服从二维正态分布,表示为(X,Y)~. 4.设随机变量X服从参数为2的指数分布,则E(2X-1)= A.0 B.1 C.3 D.4 【答案】A 【解析】因为随机变量X服从参数为2的指数分布,即λ=2,所以;又根据数学期望的性 质有 E(2X-1)=2E(X)-1=1-1=0, 故选择A. 【提示】1.常用的六种分布 (1)常用离散型随机变量的分布: A. 两点分布 ① 分布列 ② 数学期望:E(X)=P ③ 方差:D(X)=pq。 B. 二项分布:X~B(n,p) ① 分布列:,k=0,1,2,…,n; ② 数学期望:E(X)=np ③ 方差:D(X)=npq C. 泊松分布:X~P(λ) ① 分布列:,k=0,1,2,… ② 数学期望:E(X)=λ ③ 方差:D(X)=λ (2)常用连续型随机变量的分布 A.均匀分布:X~U[a,b] ① 密度函数:, ② 分布函数:, ③ 数学期望:E(X)=, ④ 方差:D(X)=. B.指数分布:X~E(λ) ① 密度函数:, ② 分布函数:, ③ 数学期望:E(X)=, ④ 方差:D(X)=. C.正态分布 (A)正态分布:X~N(μ,σ2) ① 密度函数:,-∞ ② 分布函数: ③ 数学期望:E(X)=μ, ④ 方差:D(X)=σ2, ⑤ 标准化代换:若X~N(μ,σ2),,则Y~N(0,1). (B)标准正态分布:X~N(0,1) ① 密度函数:,-∞ ② 分布函数:,-∞ ③ 数学期望:E(X)=0, ④ 方差:D(X)=1. 2. 数学期望的性质 ① E(c)=c,c为常数; ② E(aX)=aE(X),a为常数; ③ E(X+b)=E(X)+b,b为常数; ④ E(aX+b)=aE(X)+b,a,b为常数。 5.设二维随机变量(X,Y)的分布律 则D(3X)= A. B.2 C.4 D.6 【答案】B 【解析】由已知的分布律,X的边缘分布律为 则,; 根据方差的性质有D(3X)=9D(X)=2,故选择B. 【提示】(1)离散型随机变量的方差:定义式: ; 计算式:D(X)=E(X)2-[E(X)]2 (2)方差的性质 ① D(c=0),c为常数; ② D(aX)=a2D(X),a为常数; ③ D(X)+b)=D(X),b为常数; ④ D(aX+b)=a2D(X),a,b为常数。 6.设X1,X2,…,X n…为相互独立同分布的随机变量序列,且E(X1)=0,D(X1)=1,则 A.0 B.0.25 C.0.5 D.1 【答案】C 【解析】不等式等价于不等式, 由独立同分布序列的中心极限定理, 代入μ=0,σ=1,则 故选择C. 【提示】独立同分布序列的中心极限定理:(课本P120,定理5-4): 设X1,X2,…,X n,…是独立同分布的随机变量序列,且具有相同的数学期望和方差E(X i)=μ,D(X i)=σ2(i=1,2,…).记随机变量 的分布函数为F n(x),则对于任意实数x,有 =, 其中φ(x)为标准正态分布的分布函数。 应用:不论X1,X2,…,X n,…服从什么分布,当n充分大时,(1)近似服从正态分布; (2)近似服从正态分布,其中,D(X i)=σ2(i=1,2,…)。 (2)对于大数定律与中心极限定理,除了清楚条件和结论外,更重要的是理解它们所回答的问题,以及在实际中的应用。(课本P118,看书讲解) 7.设x1,x2,…,x n为来自总体N(μ,σ2)的样本,μ,σ2是未知参数,则下列样本函数为统计量的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据统计量定义,选择D。 【提示】课本p132,定义6-1:设x1,x2,…,x n为取自某总体的样本,若样本函数 T=T(x1,x2,…,x n) 中包含任何未知参数,则称T为统计量. 8.对总体参数进行区间估计,则下列结论正确的是 A.置信度越大,置信区间越长 B.置信度越大,置信区间越短 C.置信度越小,置信区间越长 D.置信度大小与置信区间长度无关 【答案】D 【解析】选项A,B,C不正确,只能选择D。 【提示】置信区间长度的增大或减小不仅与置信度有关,还与样本容量有关,其中的规律是: 在样本容量固定的情况下,置信度增大,置信区间长度增大,区间估计的精度降低;置信度减小,置信区间长度减小,区间估计的精度提高。 9.在假设检验中,H0为原假设,H1为备择假设,则第一类错误是 A.H1成立,拒绝H0 B.H0成立,拒绝H0 C.H1成立,拒绝H1 D.H0成立,拒绝H1 【答案】B 【解析】假设检验中可能犯的错误为:第一类错误,也称“拒真错误”;第二类错误,也称“取伪错误”。无论“拒真”还是“取伪”,均是针对原假设而言的。故选择B。 【提示】(1)假设检验全称为“显著性水平为α的显著性检验”,其显著性水平α为犯第一类错误的概率;而对于犯第二类错误的概率β没有给出求法; (2)当样本容量固定时,减小犯第一类错误的概率α,就会增大犯第二类错误的概率β;如果同时 减小犯两类错误的概率,只有增加样本容量。 10.设一元线性回归模型:且各εi相互独立.依据样本(x i,y i)(i=1,2,…,n)得到一元线性回归方程,由此得x i对应的回归值为,y i的平均值 ,则回归平方和S回为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据回归平方和的定义,选择C。 【提示】1. 根据回归方程的的求法,任何一组样本观察值都可以得到一个回归方程; 2.在回归方程的显著性检验的F检验法(课本p188)中,要检验所求回归方程是否有意义,必须分析y i随x i变化而产生的偏离回归直线的波动的原因。为此,选择了一个不变值――y i的平均值 为基准,总偏差为 = 此式称为平方和分解式。可知,S回反映了观察值y i受到随机因素影响而产生的波动,S回反映了观察值y i偏离回归直线的程度。所以,若回归方程有意义,则S回尽可能大,S剩尽可能小。 非选择题部分 二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 11.设甲、乙两人独立地向同一目标射击,甲、乙击中目标的概率分别为0.8,0.5,则甲、乙两人同时击中目标的概率为_____________. 【答案】0.4 【解析】设A,B分别表示甲、乙两人击中目标的两事件,已知A,B相互独立,则 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.5=0.4 故填写0.4. 【提示】二事件的关系 (1)包含关系:如果事件A发生必然导致事件B发生,则事件B包含事件A,记做;对任何事件C,都有,且0≤P(C)≤1; (2)相等关系:若且,则事件A与B相等,记做A=B,且P(A)=P(B); (3)互不相容关系:若事件A与B不能同时发生,称事件A与B互不相容或互斥,可表示为A∩B=Ф,且P(AB)=0; (4)对立事件:称事件“A不发生”为事件A的对立事件或逆事件,记做;满足且. 显然:①;②,. (5)二事件的相互独立性:若P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A, B相互独立; 性质1:四对事件A、B,、A,A、,、其一相互独立,则其余三对也相互独立; 性质2:若A, B相互独立,且P(A)>0, 则P(B|A)=P(B). 12.设A,B为两事件,且P(A)=P(B)=,P(A|B)=,则P(|)=_____________. 【答案】 【解析】,由1题提示有, 所以 =, 所以, 故填写. 【提示】条件概率:事件B(P(B)>0)发生的条件下事件A发生的概率;乘法公式P(AB)=P(B)P(A|B)。 13.已知事件A,B满足P(AB)=P(),若P(A)=0.2,则P(B)=_____________. 【答案】0.8 【解析】, 所以P(B)=1-P(A)=1-0.2=0.8,故填写0.8. 【提示】本题给出一个结论:若,则有. 14.设随机变量X的分布律则a=__________. 【答案】0.1 【解析】2a+0.1+0.3+a+0.3=1,3a=1-0.7=0.3, 所以 a=0.1,故填写0.1. 【提示】离散型随机变量分布律的性质: 设离散型随机变量X的分布律为P{X=x k}=p k,k=1,2,3,…, (1)p k≥0,k=1,2,3,…; (2); (3). 15.设随机变量X~N(1,22),则P{-1≤X≤3}=_____________.(附:Ф(1)=0.8413)【答案】0.6826 【解析】 =Ф(1)- Ф(-1)=2Ф(1)-1=2×0.8413-1=0.6826 【提示】注意:正态分布标准化代换为必考内容. 16.设随机变量X服从区间[2,θ]上的均匀分布,且概率密度f(x)= 则θ=______________. 【答案】6 【解析】根据均匀分布的定义,θ-2=4,所以θ=6,故填写6. 17.设二维随机变量(,)的分布律 则P{X=Y}=____________. 【答案】0.4 【解析】P{X=Y}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=2,Y=2}=0.1+0.2+0.1=0.4 故填写0.4. 18.设二维随机变量(X,Y)~N(0,0,1,4,0),则X的概率密度f X(x)=___________. 【答案】,-∞ 【解析】根据二维正态分布的定义及已知条件,相关系数p=0,即X与Y不相关,而X与Y不相关的充要条件是X与Y相互独立,则有f(x,y)=f x(x)f y(y); 又已知(X,Y)~N(0,0,1,4,0),所以X~N(0,1),Y~N(0,4)。 因此,,. 故填写, 【提示】本题根据课本p76,【例3-18】改编. 19.设随机变量X~U(-1,3),则D(2X-3)=_________. 【答案】 【解析】因为X~U(-1,3),所以,根据方差的性质得 故填写. 【提示】见5题【提示】。 20.设二维随机变量(X,Y)的分布律 则E(X2+Y2)=__________. 【答案】2 【解析】=[(-1)2+(-1)2]×0.25+[(-1)2+12] ×0.25+[12+(-1)2] ×0.25+(12+12)×0.25=2 故填写2. 【提示】二维随机变量函数的期望(课本p92,定理4-4):设g(X,Y)为连续函数,对于二维随机变量(X,Y)的函数g(X,Y), (1)若(X,Y)为离散型随机变量,级数收敛,则 ; (2)若(X,Y)为连续型随机变量,积分收敛,则 . 21.设m为n次独立重复试验中事件A发生的次数,p为事件A的概率,则对任意正数ε,有 =____________. 【答案】1 【解析】根据贝努利大数定律得=1,故填写1. 【提示】1. 贝努利大数定律(课本p118,定理5-2):设m为n次独立重复试验中事件A发生的次 数,p为事件A的概率,则对任意正数ε,有=1; 2.认真理解贝努利大数定律的意义. 22.设x1,x2,…,x n是来自总体P(λ)的样本,是样本均值,则D()=___________. 【答案】 【解析】已知总体X~P(λ),所以D(X)=λ,由样本均值的抽样分布有 故填写. 【提示】样本均值的抽样分布:定理6-1(课本p134)设x1,x2,…,x n是来自某个总体X的样本, 是样本均值, (1)若总体分布为N(μ,σ2),则的精确分布为; (2)若总体X分布未知(或不是正态分布),但E(X)=μ,D(X)=σ2,则当样本容量n充分大时, 的近似分布为. 23.设x1,x2,…,x n是来自总体B(20,p)的样本,则p的矩估计=__________. 【答案】 【解析】因为总体X~B(20,p),所以E(X)=μ=20p,而矩估计, 所以p的矩估计=,故填写。 【提示】点估计的常用方法 (1)矩法(数字特征法): A.基本思想: ①用样本矩作为总体矩的估计值; ②用样本矩的函数作为总体矩的函数的估计值。 B.估计方法:同A。 (2)极大似然估计法 A.基本思想:把一次试验所出现的结果视为所有可能结果中概率最大的结果,用它来求出参数的最大值作为估计值。 B.定义:设总体的概率函数为p(x;θ),θ∈⊙,其中θ为未知参数或未知参数向量,为θ可能 取值的空间,x1,x2, …,x n是来自该总体的一个样本,函数称为样本的 似然函数;若某统计量满足,则称为θ的极大似然估计。 C.估计方法 ① 利用偏导数求极大值 i)对似然函数求对数 ii)对θ求偏导数并令其等于零,得似然方程或方程组 iii)解方程或方程组得即为θ的极大似然估计。 ② 对于似然方程(组)无解时,利用定义:见教材p150例7-10; ③ 理论根据:若是θ的极大似然估计,则即为g(θ)的极大似然估计。方法:用矩法或极大似然估计方法得到g(θ)的估计,求出。 24.设总体服从正态分布N(μ,1),从中抽取容量为16的样本,u a是标准正态分布的上侧α分位数,则μ的置信度为0.96的置信区间长度是_________. 【答案】 【解析】1-α=0.96,α=0.04,所以μ的置信度为0.96的置信区间长度是 , 故填写. 【提示】1. 本题类型(单正态总体,方差已知,期望的估计)的置信区间为 。 2.记忆课本p162,表7-1,正态总体参数估计的区间估计表。 25.设总体X~N(μ,σ2),且σ2未知,x1,x2,…,x n为来自总体的样本,和分别是样本均值和样本方差,则检验假设H0:μ =μ0;H1:μ≠μ0采用的统计量表达式为_________. 【答案】 【解析】 【提示】1. 本题类型(单正态总体,方差未知,对均值的假设检验)使用t检验,统计量为 。 2.记忆课本p181,表8-4,各种假设检验(检验水平为a)表。 三、计算题(本大题共2小题,每小题8分,共16分) 26.一批零件由两台车床同时加工,第一台车床加工的零件数比第二台多一倍.第一台车床出现不合格品的概率是0.03,第二台出现不合格品的概率是0.06. (1)求任取一个零件是合格品的概率; (2)如果取出的零件是不合格品,求它是由第二台车床加工的概率. 【分析】本题考查全概公式和贝叶斯公式。 【解析】设A1、A2分别表示“第一、第二台车床加工的零件”的事件,B表示“合格品”, 由已知有 ,,,, 全国2012年4月自学考试概率论与数理统计(二)试题 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A ,B 为随机事件,且A ?B ,则AB 等于( ) A. A B B. B C. A D. A 2. 设A ,B 为随机事件,则P (A-B )=( ) A. P (A )-P (B ) B. P (A )-P (AB ) C. P (A )-P (B )+ P (AB ) D. P (A )+P (B )- P (AB ) 3. 设随机变量X 的概率密度为f (x )= ?? ???<<其他,,,0, 6331 x 则P {3 Ⅱ、综合测试题 s388 概率论与数理统计(经管类)综合试题一 (课程代码 4183) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设()0,()0P A P B >>,则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 1 2 4.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ,B 满足B A ?,则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x ),则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===,且0b >,则参数b 的 值为 ( D ). A. 1 2 B. 13 C. 15 D. 1 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计(二)试题 课程代码:02197 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则有( ) A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次,其命中率为0.8,则三次中至多击中一次的概率为( ) A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次,则称随机变量X 服从( ) A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=( ) A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =( ) A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量(X ,Y )的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P (X<1,Y<3)=( ) 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则E (XY )=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ,…为独立同分布的随机变量序列,且都服从参数为 21的指数分布,则当n 充分大时,随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从( ) A.N (2,4) B.N (2,n 4) C.N (n 41,21) D.N (2n,4n ) 9.设X 1,X 2,…,X n (n ≥2)为来自正态总体N (0,1)的简单随机样本,X 为样本均值,S 2为样本方差,则有( ) A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量,且满足E (θ))=θ,则称θ)是θ的( ) A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题(本大题共15小题,每小题2分,共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P (A )=0.4,P (B )=0.5,若A 、B 互不相容,则P (AB )=___________. 12.某厂产品的次品率为5%,而正品中有80%为一等品,如果从该厂的产品中任取一件来检验,则检验结果是一等品的概率为___________. 13.设随机变量X~B (n,p ),则P (X=0)=___________. 概率论与数理统计期末考 试试题及解答 Prepared on 24 November 2020 一、填空题(每小题3分,共15分) 1.设事件B A ,仅发生一个的概率为,且5.0)()(=+B P A P ,则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案: 解: 即 所以 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2.设随机变量X 服从泊松分布,且)2(4)1(==≤X P X P ,则 ==)3(X P ______. 答案: 解答: 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ,故 3.设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布,则随机变量2X Y =在区间) 4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案: 解答:设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则 因为~(0,2)X U ,所以(0X F = ,即()Y X F y F = 故 另解 在(0,2)上函数2y x = 严格单调,反函数为()h y =所以 4.设随机变量Y X ,相互独立,且均服从参数为λ的指数分布,2)1(-=>e X P ,则=λ_________,}1),{min(≤Y X P =_________. 答案:2λ=,-4{min(,)1}1e P X Y ≤=- 解答: 2(1)1(1)P X P X e e λ-->=-≤==,故 2λ= 41e -=-. 5.设总体X 的概率密度为 ?????<<+=其它, 0, 10,)1()(x x x f θ θ 1->θ. n X X X ,,,21 是来自X 的样本,则未知参数θ的极大似然估计量为_________. 答案: 解答: 似然函数为 解似然方程得θ的极大似然估计为 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题:本大题共10小题,每小题2分,共20分。 1.设()0.6P B =,()0.5P A B =,则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立,且()0.6P A =,()0.8P A B =,则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球,乙袋中有1个红球2个白球,从两袋中分别取出一个球,则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他,则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2),则下列随机变量中,服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立,且D(X)=4,D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本,若E(X)=μ(未知),123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计,则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本,其中2,μσ均未知,x 和2s 分别是样本均值和样本方差,对于检验假设0000=H H μμμμ≠:,:,则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题:本大题共15小题,每小题2分,共30分。 11.设A,B,C 是随机事件,则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球,今有2人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P{X=1}=P{X=2},则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布,Y 服从参数为2的指数分布,X,Y 相互独立,f(x,y)是(X,Y)的概率密度,则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立,且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布,则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=,由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本,x 是样本均值,则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布,12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本,x 为样本 均值,则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本,则2221216x x x +++服从的分布是 . 2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码:04183 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ,B 为两个互不相容事件,则下列各式错误..的是( ) A .P(AB)=0 B .P(A ∪B)=P(A)+P(B) C .P(AB)=P(A)P(B) D .P(B-A)=P(B) 2.设事件A ,B 相互独立,且P(A)=31 ,P(B)>0,则P(A|B)=( ) A .151 B . 5 1 C . 15 4 D .3 1 3.设随机变量X 在[-1,2]上服从均匀分布,则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A .?? ???≤≤-=.,0; 21,3 1 )(其他x x f B .? ??≤≤-=.,0; 21,3)(其他x x f C .? ??≤≤-=.,0; 21,1)(其他x x f D . ?? ???≤≤--=.,0; 21,31 )(其他x x f 4.设随机变量X ~ B ?? ? ??31,3,则P{X ≥1}=( ) A .271 B .27 8 C . 27 19 D . 27 26 5 则P{XY=2}=( ) A .5 1 B . 10 3 C . 2 1 D . 5 3 6.设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时,(X ,Y)关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A .x 21 B .2x C .y 21 D .2y 7.设二维随机变量(X 则E(XY)=( ) A .91- B .0 C . 91 D .3 1 8.设总体X ~ N(2,σμ),其中μ未知,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的一个样本,则以下关 于μ的四个估计:)(41?43211x x x x +++=μ,321251 5151?x x x ++=μ ,2136 261?x x +=μ,147 1 ?x =μ中,哪一个是无偏估计?( ) A .1?μ B .2?μ C .3?μ D .4?μ 9.设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0,42)的一个样本,以x 表示样本均值,则x ~( ) A .N(0,16) B .N(0,0.16) C .N(0,0.04) D .N(0,1.6) 10.要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著,即考察由一组观测数据(x i ,y i ),i =1,2,…,n , 得到的回归方程x y 1 0???ββ+=是否有实际意义,需要检验假设( ) A .0∶,00100≠=ββH H ∶ B .0∶,0∶1110≠=ββH H 《概率论与数理统计》期中考试试题汇总 《概率论与数理统计》期中考试试题(一) 一、选择题(本题共6小题,每小题2分,共12分) 1.某射手向一目标射击两次,A i表示事件“第i次射击命中目标”,i=1,2,B表示事件“仅第一次射击命中目标”,则B=()A.A1A2B.21A A C.21A A D.21A A 2.某人每次射击命中目标的概率为p(0 6.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数2为的指数分布,Y ~B (6,2 1),则D(X-Y)=( ) A .1- B .74 C .54- D .12 - 二、填空题(本题共9小题,每小题2分,共18分) 7.同时扔3枚均匀硬币,则至多有一枚硬币正面向上的概率为________. 8.将3个球放入5个盒子中,则3个盒子中各有一球的概率为= _______ _. 9.从a 个白球和b 个黑球中不放回的任取k 次球,第k 次取的黑球的概率是= . 10.设随机变量X ~U (0,5),且21Y X =-,则Y 的概率密度f Y (y )=________. 11.设二维随机变量(X ,Y )的概率密度 f (x ,y )=? ??≤≤≤≤,y x ,其他,0,10,101则P {X +Y ≤1}=________. 12.设二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵是40.50.59?? ???, 则相关系数,X Y ρ= ________. 13. 二维随机变量(X ,Y ) (1,3,16,25,0.5)N -:,则X : ;Z X Y =-+: . 14. 随机变量X 的概率密度函数为 51,0()50,0x X e x f x x -?>?=??≤?,Y 的概率密度函数为1,11()20,Y y f y others ?-<=???,(,)X Y 相互独立,且Z X Y =+的概率密度函数为()z f z = 第一章 随机事件和概率 一、选择题 1.设A, B, C 为任意三个事件,则与A 一定互不相容的事件为 (A )C B A ?? (B )C A B A ? (C ) ABC (D ))(C B A ? 2.对于任意二事件A 和B ,与B B A =?不等价的是 (A )B A ? (B )A ?B (C )φ=B A (D )φ=B A 3.设A 、B 是任意两个事件,A B ?,()0P B >,则下列不等式中成立的是( ) .A ()()P A P A B < .B ()()P A P A B ≤ .C ()()P A P A B > .D ()()P A P A B ≥ 4.设()01P A <<,()01P B <<,()()1P A B P A B +=,则( ) .A 事件A 与B 互不相容 .B 事件A 与B 相互独立 .C 事件A 与B 相互对立 .D 事件A 与B 互不独立 5.设随机事件A 与B 互不相容,且()(),P A p P B q ==,则A 与B 中恰有一个发生的概率等于( ) .A p q + .B p q pq +- .C ()()11p q -- .D ()()11p q q p -+- 6.对于任意两事件A 与B ,()P A B -=( ) .A ()()P A P B - .B ()()()P A P B P AB -+ .C ()()P A P AB - .D ()()() P A P A P AB +- 7.若A 、B 互斥,且()()0,0P A P B >>,则下列式子成立的是( ) .A ()()P A B P A = .B ()0P B A > .C ()()()P AB P A P B = .D ()0P B A = 8.设()0.6,()0.8,()0.8P A P B P B A ===,则下列结论中正确的是( ) .A 事件A 、B 互不相容 .B 事件A 、B 互逆 07.4 10.设总体X 服从正态分布N (μ,1),x 1,x 2,…,x n 为来自该总体的样本,x 为样本均值,s 为样本标准差,欲检验假设H 0∶μ=μ0,H 1∶μ≠μ0,则检验用的统计量是( ) A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1,x 2,…,x n 来自正态总体N (μ,9),假设检验问题为H 0∶μ=0,H 1∶μ≠0,则在显著性水平α下,检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率,H 0为原假设,则P {拒绝H 0|H 0真}= ___________。 07.7 25.设总体X~N (μ,σ2),X 1,X 2,…,X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ,在μ未知的情况下,应该选用的检验统计量为___________. 9.在假设检验问题中,犯第一类错误的概率α的意义是( ) A .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 B .在H 0不成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 C .在H 0成立的条件下,经检验H 0被拒绝的概率 D .在H 0成立的条件下,经检验H 0被接受的概率 24.设总体X~N (μ,σ2 ),x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本,且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27.假设某校考生数学成绩服从正态分布,随机抽取25位考生的数学成绩,算得平均成绩 61=x 分,标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分?(附:t 0.025(24)=2.0639) 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 一、《概率论与数理统计(经管类)》考试题型分析: 题型大致包括以下五种题型,各题型及所占分值如下: 由各题型分值分布我们可以看出,单项选择题、填空题占试卷的50%,考查的是基本的知识点,难度不大,考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查,要求考生不仅要牢记重要的公式,而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查,要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习,就会很容易的掌握解题思路。总之,只要抓住考查的重点,记住解题的方法步骤,勤加练习,就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计(经管类)》考试重点说明:我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级,即一级重点、二级重点、三级重点,其中,一级重点为必考点,本次考试考查频率高;二级重点为次重点,考查频率较高;三级重点为预测考点,考查频率一般,但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1.随机事件的关系与计算 P3-5 (一级重点)填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2.古典概型中概率的计算 P9 (二级重点)选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 (一级重点)选择、填空 ,(考得多)等,要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 (一级重点)选择、填空记住条件概率的定义和公式: 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 (二级重点)计算记住全概率公式和贝叶斯公式,并能够运用它们。一般说来,如果若干因素(也就是事件)对某个事件的发生产生了影响,求这个事件发生的概率时要用到全概率公式;如果这个事件发生了,要去追究原因,即求另一个事件发生的概率时,要用到贝叶斯公式,这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性(概念与性质) P18-20(一级重点)选择、填空定义:若,则称A与B 相互独立。结论:若A与B相互独立,则A与,与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21(一级重点)选择、填空在重贝努利试验中,设每次试验中事件的概率为(),则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8.离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29,P31(一级重点)选择、填空、计算、综合。记住分布律中,所有概率加起来为1,求概率时,先找到符合条件的随机点,让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值,和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33(一级重点)选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主,记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37(一级重点)选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数,记住利用分布函数计算概率的公式:①;②其中;③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39(一级重点)选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算,如①;;反之,满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③;④ 设为的 概率论和数理统计真题讲解 (一)单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则() A.P(B|A)=0 B.P(A|B)>0 C.P(A|B)=P(A) D.P(AB)=P(A)P(B) 『正确答案』分析:本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析:A:,因为A与B互不相容,,P(AB)=0,正确; 显然,B,C不正确;D:A与B相互独立。 故选择A。 提示:① 注意区别两个概念:事件互不相容与事件相互独立; ② 条件概率的计算公式:P(A)>0时,。 2.设随机变量X~N(1,4),F(x)为X的分布函数,Φ(x)为标准正态分布函数,则F(3)=() A.Φ(0.5) B.Φ(0.75) C.Φ(1) D.Φ(3) 『正确答案』分析:本题考察正态分布的标准化。 解析:, 故选择C。 提示:正态分布的标准化是非常重要的方法,必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f(x)=则P{0≤X≤}=() 『正确答案』分析:本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析:, 故选择A。 提示:概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f(x)=则常数c=() A.-3 B.-1 C.- D.1 『正确答案』分析:本题考察概率密度的性质。 解析:1=,所以c=-1, 故选择B。 提示:概率密度的性质: 1.f(x)≥0; 4.在f(x)的连续点x,有F′(X)=f(x);F(x)是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为(-∞,+∞),则其中可作为概率密度的是() A.f(x)=-e-x B. f(x)=e-x C. f(x)= D.f(x)= 『正确答案』分析:本题考察概率密度的判定方法。 解析:① 非负性:A不正确;② 验证:B:发散; C:,正确;D:显然不正确。 故选择C。 提示:判定方法:若f(x)≥0,且满足,则f(x)是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量(X,Y)~N(μ1,μ2,),则Y ~() 『正确答案』分析:本题考察二维正态分布的表示方法。 解析:显然,选择D。 概率论与数理统计(经管类)综合试题一 (课程代码 4183) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>,则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ,B 满足B A ?,则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x ),则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===,且0b >,则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1.事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2.运算规则 (1)BA AB A B B A =?=? (2))()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? (3)))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? (4)B A AB B A B A ?==? 3.概率)(A P 满足的三条公理及性质: (1)1)(0≤≤A P (2)1)(=ΩP (3)对互不相容的事件n A A A ,,,21 ,有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( (n 可以取∞) (4) 0)(=φP (5))(1)(A P A P -= (6))()()(AB P A P B A P -=-,若B A ?,则)()()(A P B P A B P -=-,)()(B P A P ≤ (7))()()()(AB P B P A P B A P -+=? (8))()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4.古典概型:基本事件有限且等可能 5.几何概率 6.条件概率 (1) 定义:若0)(>B P ,则) () ()|(B P AB P B A P = (2) 乘法公式:)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组,0)(>i B P ,则有 (3) 全概率公式: ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( (4) Bayes 公式: ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7.事件的独立性: B A ,独立)()()(B P A P AB P =? (注意独立性的应用) 概率论与数理统计试题 与答案 Company number:【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题(本题满分18分,每题3分) 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ,若9 5 )1(= ≥X p ,则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立,1,2==DY DX ,则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2,则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本,则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ,2σ未知,则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。(按下侧分位数) 二、选择题(本题满分15分,每题3分) 1、 若A 与自身独立,则( ) (A)0)(=A P ; (B) 1)(=A P ;(C) 1)(0< 0506 一.填空题(每空题2分,共计60 分) 1、A、B 是两个随机事件,已知p(A) 0.4,P(B) 0.5,p(AB) 0.3 ,则p(A B) 0.6 , p(A -B) 0.1 ,P(A B)= 0.4 , p(A B) 0.6。 2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:1/3 。(2)若有放回地任取 2 只,则第一次、第二次取红色球的概率为:9/25 。( 3)若第一次取一只球观查球颜色后,追加一只与其颜色相同的球一并放入袋中后,再取第二只,则第一次、第二次取红色球的概率为:21/55 。 3、设随机变量X 服从B(2,0.5)的二项分布,则p X 1 0.75, Y 服从二项分 布B(98, 0.5), X 与Y 相互独立, 则X+Y 服从B(100,0.5),E(X+Y)= 50 , 方差D(X+Y)= 25 。 4、甲、乙两个工厂生产同一种零件,设甲厂、乙厂的次品率分别为0.1、 0.15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40%的一批产品中随机抽取 一件。 ( 1)抽到次品的概率为:0.12 。 2)若发现该件是次品,则该次品为甲厂生产的概率为:0.5 6、若随机变量X ~N(2,4)且(1) 0.8413 ,(2) 0.9772 ,则P{ 2 X 4} 0.815 , Y 2X 1,则Y ~ N( 5 ,16 )。历年自学考试01297概率论与数理统计试题和答案
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