湖南大学离散数学第三章习题一解答
第三章习题一解答
一、求下列集合的幂集
1、{杨,李,石}
解：P({杨,李,石}) ={, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}}
2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}}
解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={,{1,2}}
二、利用包含排斥原理，求解以下各题。
1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算：
(1) 阅读全部三种杂志的人数。
(2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。
解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。
由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。已知
|A|=25，|B|=26，|C|=26
|A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8
（1）由包含排斥原理可知
|A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|，
故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有
| A ∩B ∩C|=3，
所以同时读三种杂志的人为3 人。
（2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故
只读《每周新闻》的人数为：
|)()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ???-=??-=??=?? =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8；
只读《时代》人数为：=??||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=??||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。
2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。 解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。
|篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6，
又 6= |网∩(篮排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|,
故 5+ |网∩排|-2=6，
故 | 网∩排|=3,
由包含排斥原理可知会打球的人数为
|篮∪排∪网|=|篮|+|排|+|网|-|篮∩排|-|篮∩网|-|排∩网|+|篮∩排∩网|
=14+12+6- 6- 5-3+2=20，
故不会打球有5 人。
3、在1 到300 的整数中（1 和300 包含在内），分别求满足以下条件的整数个数：
(1) 同时能被3，5，7 整除；
(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数；
(3) 可以被3 整除，但是不能被5 和7 整除；
(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除；
(5) 只被3,5,7 中一个整除的数；
解：用A3表示1 到300中能被3 整除的数的集合，A5表示1 到300中能被5整除的数的集合，A7表示1 到300中能被7 整除的数的集合。则有
|A3|=300/3=100，|A5|=300/5=60 ，|A7|=300/7=42；
| A3∩A5 |=300/15=20，| A3∩A7|=300/21=100/7=14，| A5∩A7|=300/35=60/7=8，
| A3∩A5∩A7|=2。
| A3∪A5∪A7| = |A3|+| A5|+|A7|-|A3∩A5|-|A3∩A7|-|A5∩A7|+|A3∩A5∩A7|
=100+60+42-20-14-8+2 =162
(1) 同时能被3，5，7 同时整除的数的个数为| A3∩A5∩A7|=2；
(2) 不能被3 和5 整除，也不能被7 整除的数的个数为
| A3∩A5∩A7|=300- | A3∪A5∪A7| =300-162=138；
(3) 注意到|A∩B| = |A|-|A∩B|，故可被3整除但不能被5 和7 整除的数的个数为
| A3∩A5∩A7| = | A3∩(A5∪A7)| = | A3 |-| (A3∩A5)∪(A3∩A7)|
=| A3 |-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68;
(4) 可以被3 或5 整除，但不能被7 整除的数的个数为
| (A3∪A5)∩A7| =| (A3∩A7)∪(A5∩A7)| =| A3∩A7|+| A5∩A7|-| A3∩A5∩A7|
=(| A3|-| A3∩A7|)+ (| A5|-| A5∩A7|)-(| A3∩A5|-| A3∩A5∩A7|)
= (100-14)+(60-8)-(20-2)=120;
(5) 只被3,5,7 中一个整除的数的个数分别为
只被3 整除的数：| A3|-| A3∩A5|-| A3∩A7|+| A3∩A5∩A7|=100-20-14+2=68；
只被5 整除的数：| A5|-| A5∩A3|-| A5∩A7|+| A5∩A3∩A7|=60-20-8+2=34 ；
只被7 整除的数：| A7|-| A7∩A3|-| A7∩A5|+| A7∩A3∩A5|=42-14-8+2=22。
4、求1~120 之间的素数。
提示：采用筛选法求不超过120 之间的素数。由120<121，故120<11，只要去掉
2,3,5,7的倍数，则剩下来的数不可能有因数存在，即为素数。
解：令A2，A3，A5，A7分别为1~120范围内能被2，3，5，7 整除的数的集合，则1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为
| A2∩A3∩A5∩A7| = 120- | A2∪A3∪A5∪A7| 。
由于
|A 2|=120/2=60，|A 3|=120/3=40，|A 5|=120/5=24，|A 7|=120/7=17；
|A 2∩A 3|=120/6=20， |A 2∩A 5|=120/10=12， |A 2∩A 7|=120/14=60/7=8，
|A 3∩A 5|=120/15=40/5=8 ，|A 3∩A 7|=120/21=40/7=5，|A 5∩A 7|=120/35=24/7=3； |A 2∩A 3∩A 5|=120/(2*3*5) =4 ，|A 2∩A 3∩A 7|=120/(2*3*7) =2 ，
|A 3∩A 5∩A 7|=120/(3*5*7) =1， |A 2∩A 5∩A 7|=120/(2*5*7) =1；
|A 2∩A 3∩A 5∩A 7|=120/(2*3*5*7) =0 ；
所以
| A 2∪A 3∪A 5∪A 7|=60+40+24+17-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0=141-56+8=149-56=93 ， 故1~120中去除2,3,5,7的整倍数后所剩的数的个数为120-93=27。
但这不是素数的个数，因为去除倍数时还去除了2,3,5,7的一倍，这本是不该去掉的，应当补回来，而这剩下的27个数中1不是素数，应该去掉——故素数的总数应当是
27+4-1=30 。
5、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000 在内）不能被4、5、6 整除的数有多少个
解：设A 4, A 5, A 6 分别表示110000范围内被4,5,6 整除的数的集合，则要求的数的个数为(注意分母中的是最小公倍数)：
||10000||654654A A A A A A ??-=??
=10000－[ (10000/4+10000/5+10000/6)－((10000/20+10000/12＋10000/30)]＋10000/30 =10000－[(2500+2000+1666)－(500+833+333)+166]
=1000－4666=5334
6、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）既不是某个整数的平方，也是不是某个整数的立方的数有多少
解：设A={x 2 | 1 x 210000}，B={x 3 | 1 x 310000}，则要求的数的个数为
9883
11710000 )
421100(10000 ])10000[]10000[]10000([10000 |)
||||(|1000 |
|10000||63=-=-+-=-+-=?-+-=?-=?B A B A B A B A .
7、在 1 和 10000 之间（包括 1 和 10000）有多少个整数包含了1，2，3 和4。 解：设A 1, A 2, A 3, A 4 分别表示110000范围内含1,2,3,4的数的集合。
（1）如果将题意理解为要求整数只含有1,2,3,4之一时，则要求的数的个数为
||10000||43214321A A A A A A A A ???-=???。
而 ||4321A A A A ???为110000内不含1,2,3,4的数的个数，这相当于用六个数字0,5,6,7,8,9去填四个空格的方案数。用排列组合中的乘法法则知，共有12966666=???种不同填法，但其中一种填法0000不合要求，故符合要求的填法有1296-1=1295种。
故题目的解为 10000－1295=8705.
（２）如果将题意理解为要求整数同时含有1,2,3,4时，显然110000范围内只有四位数同时含有1,2,3,4，且1,2,3,4每个数只可能出现一次，即这样的四位数只能是1,2,3,4的排列。所以，共有4!=24个。