离散数学第四章二元关系和函数知识点总结
集合论部分
第四章、二元关系和函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系有序对
定义由两个客体x 和y，按照一定的顺序组成的
二元组称为有序对，记作
实例：点的直角坐标(3,-4)
有序对性质
有序性
例1 <2, x+5> = <3y- 4, y>，求x, y.
解 3y- 4 = 2, x+5 = yT y = 2, x = - 3
定义一个有序n (n33) 元组
有序对，其中第一个元素是一个有序n-1元组，即
当n=1时,
实例 n 维向量是有序 n元组.
笛卡儿积及其性质
定义设A,B为集合，A与B 的笛卡儿积记作A′B，即A′B ={
例2 A={1,2,3}, B={a,b,c}
A′B ={<1,a>,<1,b>,<1,c>,<2,a>,<2,b>,<2,c>,
<3,a>,<3,b>,<3,c>}
B′A ={
A={?}, P(A)′A={, <{?},?>}
性质：
不适合交换律A′B1B′A (A1B, A1?, B1?)
不适合结合律 (A′B)′C1A′(B′C) (A1?, B1?)
对于并或交运算满足分配律
A′(BèC)=(A′B)è(A′C)
(BèC)′A=(B′A)è(C′A)
A′(B?C)=(A′B)?(A′C)
(B?C)′A=(B′A)?(C′A)
若A或B中有一个为空集，则A′B就是空集.
A′?=?′B=?
若|A|=m, |B|=n, 则 |A′B|=mn
证明A′(BèC)=(A′B)è(A′C)
证任取
? x∈A∧y∈B∪C
? x∈A∧(y∈B∨y∈C)
? (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)
?
?
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
例3 (1) 证明A=B ù C=D T A′C=B′D
(2) A′C=B′D是否推出A=B ù C=D ? 为什么？
解 (1) 任取
? x?B ù y?D ?
(2) 不一定. 反例如下：
A={1}，B={2}, C=D=?, 则A′C=B′D 但是A1B.
二元关系的定义
定义设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元
关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上
的二元关系.
例 4 A={0,1}, B={1,2,3}, R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=?, R4={<0,1>}. 那么R1, R2, R3, R4是从A 到B
的二元关系, R3和R4同时也是A上的二元关系.
计数
|A|=n, |A×A|=n2, A×A的子集有个. 所以A上有
个不同的二元关系.
例如 |A|=3, 则A上有=512个不同的二元关系.
设A 为任意集合，
?是A 上的关系，称为空关系
E
, I A 分别称为全域关系与恒等关系，定义如下：
A
E
={
A
I
={
A
例如, A={1,2}, 则
E
={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}
A
I
={<1,1>,<2,2>}
A
小于等于关系L A, 整除关系D A, 包含关系Rí定义：
L
={
A
D
={
B
BíZ*, Z*为非0整数集
R
={
í
类似的还可以定义大于等于关系, 小于关系, 大于关系, 真包含关系等等.
例如A = {1, 2, 3}, B ={a, b}, 则
L
={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>}
A
D
={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
A
A=P(B)={?,{a},{b},{a,b}}, 则A上的包含关系是
R
={,,,,<{a},{a}>,
í
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>}
二元关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩阵、关系图
关系矩阵：若A={a1, a2, …, a m}，B={b1, b2, …, b n}，R是从A到B的关系，R 的关系矩阵是布尔矩阵M R = [ r ij ] m′n, 其中r ij= 1? < a i, b j> ?R.
关系图：若A= {x1, x2, …, x m}，R是从A上的关系，R的关系图是G R=
注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的关系或者A上的关系，关系图适于表示A上的关系
A={1,2,3,4},
R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
R的关系矩阵M
和关系图G R如下：
R
4.2 关系的运算
基本运算定义：定义域、值域和域
dom R = { x | $y (
ran R = { y | $x (
fld R = dom Rè ran R
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
dom R={1, 2, 4}
ran R={2, 3, 4}
fld R={1, 2, 3, 4}
逆与合成
R-1 = {
R°S = |
例2 R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
S={<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}
R-1={<2,1>, <3,2>, <4,1>, <2,2>}
R°S ={<1,3>, <2,2>, <2,3>}
S°R ={<1,2>, <1,4>, <3,2>, <3,3>}
定义 F 在A上的限制
F?A = {
A 在F下的像
F[A] = ran(F?A)
实例R={<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}
R?{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4}
R??=?
R[{1,2}]={2,3,4}
注意：F?AíF, F[A] íran F
基本运算的性质
定理1 设F是任意的关系, 则
(1) (F-1)-1=F
(2) dom F-1=ran F, ran F-1=dom F
证 (1) 任取
所以有 (F-1)-1=F
(2) 任取x,
x∈dom F-1 ? $y(
? $y(
所以有dom F-1= ran F. 同理可证 ran F-1 = dom F.
定理2 设F, G, H是任意的关系, 则
(1) (F°G)°H=F°(G°H)
(2) (F°G)-1= G-1°F-1
证 (1) 任取
? $t $s (
? $s (
? $s (
?
所以 (F°G)°H = F°(G°H)
(2) 任取
?
? $t (
? $t (
?
所以 (F°G)-1 = G-1°F-1
幂运算
设R为A上的关系, n为自然数, 则R 的n次幂定义为：
(1) R0={
(2) R n+1 = R n°R
注意：
对于A上的任何关系R1和R2都有
R 10 = R
2
0 = I
A
对于A上的任何关系R 都有
R1 = R
性质：定理3 设A为n元集, R是A上的关系, 则存在自然数s 和t, 使得R s = R t.
证R为A上的关系, 由于|A|=n, A上的不同关系只有个.
当列出R 的各次幂
R0, R1, R2, …, , …,
必存在自然数s 和t 使得R s=R t.
定理4 设R 是A 上的关系, m, n∈N, 则
(1) R m°R n=R m+n
(2) (R m)n=R mn
证用归纳法
(1) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.
若n=0, 则有
R m°R0=R m°I
=R m=R m+0
A
假设R m°R n=R m+n, 则有
R m°R n+1=R m°(R n°R)=(R m°R n)°R=R m+n+1 ,
所以对一切m, n∈N有R m°R n=R m+n.
(2) 对于任意给定的m∈N, 施归纳于n.
若n=0, 则有
(R m)0=I A=R0=R m×0
假设 (R m)n=R mn, 则有
(R m)n+1=(R m)n°R m=(R mn)°R m=R mn+m=R m(n+1)
所以对一切m,n∈N有 (R m)n=R mn.
4.3 关系的性质
自反性
反自反性
定义设R为A上的关系,
(1) 若"x(x∈A→
(2) 若"x(x∈A→
实例：
反关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A
小于等于关系L A, 整除关系D A
反自反关系：实数集上的小于关系
幂集上的真包含关系
例1 A={1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
R
＝{<1,1>,<2,2>}
1
R
＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
2
R
＝{<1,3>}
3
R
自反,
2
R
反自反,
3
R
既不是自反也不是反自反的
1
对称性
反对称性
定义设R为A上的关系,
(1) 若"x"y(x,y∈A∧
(2) 若x"y(x,y∈A∧
实例：
对称关系：A上的全域关系E A, 恒等关系I A和空关系?
反对称关系：恒等关系I A，空关系是A上的反对称关系.
例2 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3和R4都是A上的关系,
其中
R
＝{<1,1>,<2,2>}，R2＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>}
1
R
＝{<1,2>,<1,3>}，R4＝{<1,2>,<2,1>,<1,3>}
3
R
对称、反对称.
1
R
对称，不反对称.
2
R
反对称，不对称.
3
R
不对称、也不反对称.
4
传递性
定义设R为A上的关系, 若"x"y"z(x,y,z∈A∧
则称R是A上的传递关系.
实例：
A上的全域关系E
,恒等关系I A和空关系?
A
小于等于关系, 小于关系，整除关系，包含关系，
真包含关系
例3 设A＝{1,2,3}, R1, R2, R3是A上的关系, 其中
R
＝{<1,1>,<2,2>}
1
R
＝{<1,2>,<2,3>}
2
R
＝{<1,3>}
3
R
和R3 是A上的传递关系
1
R
不是A上的传递关系
2
关系性质的充要条件
设R为A上的关系, 则
(1) R在A上自反当且仅当I A íR
(2) R在A上反自反当且仅当R∩I A=?
(3) R在A上对称当且仅当R=R-1
(4) R在A上反对称当且仅当R∩R-1íI A
(5) R在A上传递当且仅当R°RíR
证明模式证明R在A上自反
任取x,
x?AT ……………..….……. T
前提推理过程结论
例4 证明若I A íR ，则 R在A上自反.
证任取x,
x?A T
T
A
因此R 在A 上是自反的.
证明模式证明R在A上对称
任取
前提推理过程结论例5 证明若R=R-1 , 则R在A上对称.
证任取
因此R 在A 上是对称的.
证明模式证明R在A上反对称
任取
前提推理过程结论例6 证明若R∩R-1íI A , 则R在A上反对称.
证任取
T
因此R 在A 上是反对称的.
证明模式证明R在A上传递
任取
前提推理过程结论例7 证明若R°RíR , 则R在A上传递.
证任取
因此R 在A 上是传递的.
4.4 关系的闭包
闭包定义
定义设R是非空集合A上的关系, R的自反（对称或传递）闭包是A上的关系R￠, 使得R￠满足以下条件：
（1）R￠是自反的（对称的或传递的）
（2）RíR￠
（3）对A上任何包含R的自反（对称或传递）关系R￠￠ 有R￠íR￠￠. 一般将R 的自反闭包记作r(R), 对称闭包记作s(R), 传递闭包记作t(R).
闭包的构造方法
定理1 设R为A上的关系, 则有
(1) r(R) = R∪R0
(2) s(R) = R∪R-1
(3) t(R) = R∪R2∪R3∪…
说明：
对于有穷集合A (|A|=n) 上的关系, (3)中的并最多不超过R n. 若R是自反的，则r(R)=R; 若R是对称的，则s(R)=R; 若R是传递的，则t(R)=R. 设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系矩阵分别为M, M r, M s 和M t , 则M
= M + E
r
M
= M + M’
s
M
= M + M2 + M3 + …
t
E 是和M 同阶的单位矩阵, M’是M 的转置矩阵.
注意在上述等式中矩阵的元素相加时使用逻辑加.
设关系R, r(R), s(R), t(R)的关系图分别记为G, G r, G s, G t , 则G r, G s, G t 的顶点集与G 的顶点集相等. 除了G 的边以外, 以下述方法添加新边：考察G的每个顶点, 如果没有环就加上一个环，最终得到G r . 考察G的每
条边, 如果有一条x i 到x j 的单向边, i≠j, 则在G中加一条x j 到x i 的反方向边，最终得到G s. 考察G的每个顶点x i, 找从x i 出发的每一条路径，如果从x i 到路径中任何结点x j 没有边，就加上这条边. 当检查完所有的顶点后就得到图G t .
4.5 等价关系和偏序关系
定义设R 为非空集合上的关系. 如果R 是自反的、对称的和传递的, 则称R 为 A 上的等价关系. 设R 是一个等价关系, 若
实例设A={1,2,…,8}, 如下定义A上的关系R：R = {
验证模 3 相等关系R 为A上的等价关系, 因为
"x∈A, 有x ≡ x(mod 3)
"x, y∈A, 若x ≡ y(mod 3), 则有y ≡ x(mod 3)
"x, y, z∈A, 若x ≡ y(mod 3), y ≡ z(mod 3),
则有x≡z(mod 3)
自反性、对称性、传递性得到验证
定义设R为非空集合A上的等价关系, "x∈A，令
[x]R = { y | y∈A∧xRy }
称 [x]R 为x 关于R 的等价类, 简称为x 的等价类, 简
记为[x].
实例A={ 1, 2, … , 8 }上模 3 等价关系的等价类：
[1]=[4]=[7]={1,4,7}