人教中考数学复习一元二次方程专项易错题含详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知关于x 的方程x 2﹣(2k +1)x +k 2+1=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围;
(2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k =2,求该矩形的对角线L 的长.
【答案】(1)k >
34;(2 【解析】
【分析】
(1)根据关于x 的方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根,得出△>0,再解不等式即可;
(2)当k=2时,原方程x 2-5x+5=0,设方程的两根是m 、n ,则矩形两邻边的长是m 、n ,
利用根与系数的关系得出m+n=5,mn=5,利用完全平方公式进行变形即可求得答案.
【详解】
(1)∵方程x 2-(2k +1)x +k 2+1=0有两个不相等的实数根,
∴Δ=[-(2k +1)]2-4×1×(k 2+1)=4k -3>0,
∴k >34
; (2)当k =2时,原方程为x 2-5x +5=0,
设方程的两个根为m ,n ,
∴m +n =5,mn =5,
∴
=
=.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)△<0时,方程没有实数根.
2.从图象来看,该函数是一个分段函数,当0≤x≤m 时,是正比例函数,当x >m 时是一次函数.
【小题1】只需把x 代入函数表达式,计算出y 的值,若与表格中的水费相等,则知收取方案.
3.关于x 的一元二次方程()22
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ,2x . (1)求实数k 的取值范围;
(2)若方程两实根1x ,2x 满足121210x x x x ++-=,求k 的值.
【答案】(1) k <
14
;(2) k=0. 【解析】
【分析】 (1)根据一元二次方程的根的判别式得出△>0,求出不等式的解集即可;
(2)根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1?x 2=k 2,代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0,即可求出k 值.
【详解】
解:(1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(2k-1)x+k 2=0有两个不等实根x 1,x 2, ∴△=(2k-1)2-4×1×k 2=-4k+1>0,
解得:k <14
, 即实数k 的取值范围是k <14
; (2)由根与系数的关系得:x 1+x 2=-(2k-1)=1-2k ,x 1?x 2=k 2,
∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0,
∴1-2k+k 2-1=0,
∴k 2-2k=0
∴k=0或2,
∵由(1)知当k=2方程没有实数根,
∴k=2不合题意,舍去,
∴k=0.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点,能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键,注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式,以防错解.
4.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)=0有两个不相等的实数根.
(1)求n 的取值范围;
(2)若n 为取值范围内的最小整数,求此方程的根.
【答案】(1)n >0;(2)x 1=0,x 2=2.
【解析】
【分析】
(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ?=-> ,即可求出n 的取值范围; (2)根据题意得出n 的值,将其代入方程,即可求得答案.
【详解】
(1)根据题意知,[]
224(2)41(1)0b ac n ?=-=--??-->
解之得:0n >;
(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数,
∴1n =,
则方程为220x x -=,
即(2)0x x -=,
解得120,2x x ==.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式,明确和掌握一元二次方程
20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ?=-的关系(①当>0? 时,方程有两个不相等的实数根;②当0?= 时方程有两个相等的实数根;③当?<0 时,方程无实数根)是解题关键.
5.如图,要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈,用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈,求羊圈的边长AB ,BC 各为多少米?
【答案】羊圈的边长AB ,BC 分别是20米、20米.
【解析】
试题分析:设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(100﹣4x )米;然后根据矩形的面积公式列出方程.
试题解析:设AB 的长度为x 米,则BC 的长度为(100﹣4x )米. 根据题意得 (100﹣4x )x=400,
解得 x 1=20,x 2=5. 则100﹣4x=20或100﹣4x=80. ∵80>25, ∴x 2=5舍去. 即AB=20,BC=20
考点:一元二次方程的应用.
6.今年以来猪肉价格不断走高,引起了民众与区政府的高度关注,当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时,政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.据统计:从今年年初至 11月 10 日,猪排骨价格不断走高,11 月 10 日比年初价格上涨了 75%.今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元.
(1)A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32
倍,按 11 月 10 日价格出售,平均一天能销售出 100 千克,超市统计发现:若排骨的售价每千克下降 1 元,其日销售量就增加 20千克,超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润,为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元?
(2)11 月 11 日,区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售,A 超市按规定价出售一批储备排骨,该超市在非储备排骨的价格不变情况下,该
天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %,且储备排骨的销量占总销量的57
,两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了
128
a %,求 a 的值. 【答案】(1)售价为每千克65元;(2)a =35.
【解析】
【分析】 (1)先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价,设每千克降价x 元,则每千克的利润为10-x 元,日销量为100+20x 千克,根据销量×单利润=总利润列出方程求解,并根据为了尽可能让顾客优惠,对所得的解筛选;
(2)根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论.
【详解】
解:(1)11月10日的售价为350÷5=70元/千克
年初的售价为:350÷5÷175%=40元/千克,
11月的进货价为: 340602元/千克
设每千克降价x 元,则每千克的利润为70-60-x=10-x 元,日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ,
解得10x =,25x =
因为为了尽可能让顾客优惠,所以降价5元,则售价为每千克65元. (2)根据题意可得52170(1%)100(1%)
70100(1%)701001%7728a a a a ??-++?+=?+ ???
解得135a =,20a =(舍去)
所以a =35.
【点睛】 本题考查一元二次方程的应用,(1)中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键;(2)中在求解时有些难度,可先设令%a t =,解方程求出t 后再求a 的值.
7.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现: 当a >0,b >0时:
∵)
2=a ﹣b ≥0
∴a +b
a =
b 时取等号.
请利用上述结论解决以下问题:
(1)请直接写出答案:当x >0时,x +
1x 的最小值为 .当x <0时,x +1x
的最大值为 ;
(2)若y =27101
x x x +++,(x >﹣1),求y 的最小值; (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,△AOB 、△COD 的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值.
【答案】(1)2;﹣2.(2)y 的最小值为9;(3)四边形ABCD 面积的最小值为25.
【解析】
【分析】
(1)当x >0时,按照公式a +b ab a =b 时取等号)来计算即可;当x <0时,﹣x >0,1
x
->0,则也可以按公式a +b ab a =b 时取等号)来计算; (2)将y 27101
x x x ++=+的分子变形,分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可;
(3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,由三角形面积公式可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,用含x 的式子表示出S △AOD ,再表示出四边形的面积,根据题中所给公式求得最小值,加上常数即可.
【详解】
(1)当x >0时,x 1x +≥1x x
?=2; 当x <0时,﹣x >0,1
x ->0.
∵﹣x 1x -≥1x x ??-?-= ???
2,∴则x 1x +=-(﹣x 1x -)≤﹣2,∴当x >0时,x 1x +的最小值为 2.当x <0时,x 1x +
的最大值为﹣2. 故答案为:2,﹣2.
(2)∵x >﹣1,∴x +1>0,∴y 27101x x x ++=+()2(1)5141
x x x ++++=+=(x +1)41x +++()411
x x +?+5=4+5=9,∴y 的最小值为9. (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9 则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,∴x :9=4:S △AOD ,∴S △AOD 36x =
,∴
四边形ABCD 面积=4+9+x 36x +≥=25. 当且仅当x =6时,取等号,∴四边形ABCD 面积的最小值为25.
【点睛】
本题考查了配方法在最值问题中的应用.对不能直接应用公式的,需要正确变形才可以应用.
8.利民商店经销甲、乙两种商品.现有如下信息
信息1:甲乙两种商品的进货单价和为11;
信息2:甲商品的零售单价比其进货单价多2元,乙商品的零售单价比其进货单价的2倍少4元:
信息3:按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件共付37元.
()1甲、乙两种商品的进货单价各是多少?
()2据统计该商店平均每天卖出甲商品500件,经调查发现,甲商品零售单价每降0.1元,这样甲商品每天可多销售100件,为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲种商品的零售单价下降a 元,在不考虑其他因素的条件下,当a 定为多少时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元?
【答案】(1)甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件(2)当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元
【解析】
【分析】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,根据给定的三个信息,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;
()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,根据总利润=单件利润?销售数量,即可得出关于a 的一元二次方程,解之即可得出结论.
【详解】
()1设甲种商品的进货单价是x 元/件,乙种商品的进货单价是y 元/件,
根据题意得:()()113x 222y 437x y +=?++-=??
, 解得:{5
6x y ==.
答:甲种商品的进货单价是5元/件,乙种商品的进货单价是6元/件. ()2当零售单价下降a 元/件时,每天可售出()5001000a +件,
根据题意得:()()250010001500a a -+=,
整理得:22310a a -+=,
解得:10.5a =,21a =.
答:当a 定为0.5或1时,才能使商店每天销售甲种商品获取利润为1500元.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用,解题的关键是:()1找准等量关系,正确列出二元一次方程组;()2找准等量关系,正确列出一元二次方程.
9.解方程:(x +1)(x -1)=x.
【答案】x 1,x 2
【解析】
试题分析:根据方程的特点,根据平方差公式化为一般式,然后可根据公式法求解即可.
试题解析:(x +1)(x -1)=
x 2-2x-1=0
∵a=1,b=-
c=-1
∴△=b 2-4ac=8+4=12>0
∴
∴x
1x 2.
10.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶,其进价为每千克 240 元,按每千克 400 元出售,平均每周可售出 200 千克,后来经过市场调查发现,单价每降低 10 元,则平均每周的销售量可增加 40 千克,若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元,请回答: (1)每千克茶叶应降价多少元?
(2)在平均每周获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的 几折出售?
【答案】(1)每千克茶叶应降价30元或80元;(2)该店应按原售价的8折出售.
【解析】
【分析】
(1)设每千克茶叶应降价x 元,利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可; (2)为了让利于顾客因此应下降价80元,求出此时的销售单价即可确定几折.
【详解】
(1)设每千克茶叶应降价x 元.根据题意,得:
(400﹣x ﹣240)(200+10
x ×40)=41600. 化简,得:x 2﹣10x +240=0.
解得:x 1=30,x 2=80.
答:每千克茶叶应降价30元或80元.
(2)由(1)可知每千克茶叶可降价30元或80元.因为要尽可能让利于顾客,所以每千克茶叶某应降价80元.
此时,售价为:400﹣80=320(元),320
100%80%400?=.
答:该店应按原售价的8折出售.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一元二次方程练习题(难度较高)
元二次方程练习题 1、已知关于X 的方程X 2 —2(k —1)x + k 2 =0有两个实数根 ⑴、求k 的取值范围; ⑵、若x 1 + X 2 = X i " X 2 —1,求 k 的值。 2.、已知关于X 的一元二次方程 亠 2(擀+5 +存+5=0 有两个实数根X 1与X 2 (1)求实数m 的取值范围; ⑵若(X i -1)(x 2 -1)=7,求 m 的值。 2 3.已知A(X 1 , yj , B(X 2 , y 2)是反比例函数y =-一图象上的两点,且x^ x^ -2 X (1)求5 72的值及点A 的坐标; (2)若一4V y < —1,直接写出X 的取值范围. k 2 4.(本小题 8分)已知关于X 的方程x 2-(k+1)x + +1=0的两根是一个矩形的两邻边的长。 4 (2)当矩形的对角线长为亦时,求k 的值。 (1) k 为何值时,方程有两个实数根; x 1、x 2
5已知关于x 的一兀二次方程F-(2上+1)才+4^■- 3- 0 . (1) 求证:方程总有两个不相等的实数根; (2) 当Rt △ ABC 的斜边长□二后,且两直角边i 和C 是方程的两根时,求△ ABC 的周长和面 积. 那么称这个方程有邻近根” (1)判断方程X 2 -(J 3+i)x + 73 =0是否有 邻近根”并说明理由; (2)已知关于x 的一元二次方程mx 2-(m-1)x-1 = 0有 邻近根”求m 的取值范围. 7设关于x 的一元二次方程X 2+2px+1=0有两个实数根,一根大于1,另一根小于1,试求实数P 的范围. 8已知方程X 2 -mx +m + 5=0有两实数根P ,方程x 2-(8 m + 1)x + 15m + 7 = 0有两实数根 Y ,求a 2 PY 的值。6如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根X 1、x ?均为正数,且满足1< x X 2 <2 (其中 X 1 > X 2),
一元二次方程难题、易错题
一元二次方程 已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=.()032132 =-+--m x m mx 求证:m 取任何实数时,方程总有实数根;
2.(2009年广东中山)已知:关于x 的方程2210x kx +-= (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1-,求另一个根及k 值. 3.(2009年重庆江津区)已知a、b、c分别是△ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例 3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49-≤k (B)04 9≠-≥k k 且
(C)49- ≥k (D)049≠->k k 且 例:222()5()60x x x x ---+=,求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) .m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根, m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。
中考数学易错题题目(经典)
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
(完整版)一元二次方程解法及其经典练习题
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
初三数学一元二次方程易错题
初三数学一元二次方程错题集 1.关于x 的方程是22(1)(1)20m x m x -+--=,那么当m______时,方程为一元二次方程;当m_____时,方程为一元一次方程. 2.m_____时,关于x 的方程22()(2)m x x x +=-+是一元二次方程? 3.关于x 的方程22(1)3(2)420k x k x k ++-+-=的一次项系数是-3,则k=_______. 4.已知1x =是一元二次方程2 400ax bx +-=的一个解,且a b ≠,求22 22a b a b --的值. 5.已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根,那么代数式 2 35 (2)362 x x x x x -÷+---的值为________. 6、若x=-2是关于x 的方程0163)4(2=-++-n mx x m 的一个解,则 =-22100n m ______ 7、已知实数a,b 满足0122=--a a ,0122=--b b ,且b a ≠, 则ab b a 322++的值为___________ 8、已知04 5 222=+--+b a b a ,则=+b a _________ 9、已知016 652422=+- +-b b a a ,则b a 42-的值为_________ 10、若关于x 的一元二次方程013222=-+-m x x 有两个实根21,x x ,且 42121-+>?x x x x ,则m 的取值范围是____________ 11、已知142+-mx x 可化为2)2(n x -的形式,则=+n m _________ 12、已知x 是一元二次方程0132=-+x x 的实数根,那么代数式 )25 2(6332--+÷--x x x x x 的值为___________ 13、关于x 的一元二次方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根,则m 的最小整数值是( ) A. -1 B. 2 C. 3 D. 4 14、已知方程0)3)((=-+x m x 和方程0322=--x x 的解相同,则m =( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 15.若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=,则此三角形的周长为______.
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程 已知:关于x 的方程23(1)230mx m x m --+-=.()032132 =-+--m x m mx 求证:m 取任何实数时,方程总有实数根; (2010年广东省广州市)已知关于x 的一元二次方程)0(012 ≠=++a bx ax 有两个相等的实数根,求4 )2(222 -+-b a ab 的值。 2.(2009年广东中山)已知:关于x 的方程2210x kx +-= (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)若方程的一个根是1-,求另一个根及k 值. 3.(2009年重庆江津区)已知a、b、c分别是△ABC 的三边,其中a=1,c=4,且关于x 的方程042=+-b x x 有两个相等的实数根,试判断△ABC 的形状. 例1.当a 为何值时,关于x 的一元二次方程01)12(2 2=+-+x a x a 有两个实数根. 例3.已知关于x 的一元二次方程0112)21(2=-+--x k x k 有两个不相等的实数根, 求k 的取值范围. 例4.关于x 的方程0132=-+x kx 有实数根,则k 的取值范围是( ) (A)49- ≤k (B)04 9≠-≥k k 且 (C)49-≥k (D)049≠->k k 且 例:222 ()5()60x x x x ---+=,求x 的值 例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式:当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。 例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程,则m 的值为 。 ★★3、若方程()112=?+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 。 ★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程,则下列不可能的是( ) A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2,则1242 ++y y 的值为 。 例2、关于x 的一元二次方程()0422 2=-++-a x x a 的一个根为0,则a 的值为 。 例3、已知关于x 的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程 必有一根为 。 例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根,c b ,是方程0582 =+-m y y 的两个根, 则m 的值为 。 ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2,则k 为 ,另一根是 。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程31 1=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值; ⑵方程的另一个解。 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b中考数学易错题汇编及答案
一元二次方程典型例题解析
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