三角函数10道大题(带答案)
三角函数大题转练
1.已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+-.
（Ⅰ）求 ()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[,]64
ππ
-上的最大值和最小值.
2、已知函数.,1cos 2)3
2sin()3
2sin()(2R x x x x x f ∈-+-++=π
π
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间]4
,4[π
π-上的最大值和最小值.
3、已知函数()tan(2),4
f x x =+π
（Ⅰ）求()f x 的定义域与最小正周期；
（II ）设0,4??
∈ ?
?
?
πα，若()2cos 2,2
f =αα求α的大小
4、已知函数x
x
x x x f sin 2sin )cos (sin )(-=
.
（1）求)(x f 的定义域及最小正周期； （2）求)(x f 的单调递减区间.
5、 设函数2())sin 4
f x x x π
=
++. （I ）求函数()f x 的最小正周期；
（II ）设函数()g x 对任意x R ∈，有()()2
g x g x π+=，且当[0,]2
x π
∈时，
1
()()2
g x f x =
-，求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.
6、函数()sin()16
f x A x π
ω=-+（0,0A ω>>）的最大值为3， 其图像相
邻两条对称轴之间的距离为2
π，
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）设(0,)2
πα∈，则()22
f α
=，求α的值.
7、设426
f (x )cos(x )sin x cos x π
=ω-
ω+ω，其中.0>ω （Ⅰ）求函数y f (x )= 的值域
（Ⅱ）若y f (x )=在区间322,ππ??
-????
上为增函数，求 ω的最大
值.
8、函数2
()6cos 3(0)2
x
f x x ωωω=+->在一个周期内的图象如图所
示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为正三角形.
（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的值域；
（Ⅱ）若0()5f x =，且0102
(,)33
x ∈-，求0(1)f x +的值.
9、已知,,a b c 分别为ABC ?三个内角,,A B C 的对边，
cos sin 0a C C b c --=
（1）求A ； （2）若2a =，ABC ?的面积为3；求,b c .
10、在?ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A ＝23
，
sin B
C ．
(Ⅰ)求tan C 的值； (Ⅱ)若a
?ABC
的面积．
答案
1、【思路点拨】先利用和角公式展开，再利用降幂公式、化一公式转化为正弦型函数，最后求周期及闭区间上的最值. 【
精
讲
精
析
】
（
Ⅰ
）
因
为
()4cos sin()16f x x x π
=+-14cos (sin cos )122x x x =+-
222cos 1x x =+-2cos 22sin(2)6
x x x π
=+=+，
所以()f x 的最小正周期为π.
（Ⅱ）因为6
4
x ππ
-≤≤
，所以226
6
3x ππ
π-≤+
≤
.于是，当262
x ππ+=，即6
x π=时，()f x 取得最大值2；当26
6
x π
π
+
=-
，即6
x π
=-时，()f x 取
得最小值－1.
2、【解析】 （1）
2()=sin (2+
)+sin(2)+2cos 13
3
f x x x x π
π
-
-2sin 2cos
cos 2)34
x x x π
π
=+=+ 函数的最小正周期为22
T π
π=
=
（2）3
2sin(2)11()4444424
x x x f x ππππππ
-≤≤?-≤+≤?-≤+≤?-≤≤
当2()4
2
8
x x π
π
π
+
=
=
时，()max f x =2()4
44
x x π
π
π
+
=-
=-时，
min ()1f x =-
【点评】该试题关键在于将已知的函数表达式化为=sin (+)y A x ω?的数学模型，再根据此三角模型的图像与性质进行解题即可数的有关公式进行变换、化简求值.
【精讲精析】（I ）【解析】由2,4
2
+≠+∈x k k Z πππ， 得,8
2
≠
+
∈k x k Z ππ
. 所以()f x 的定义域为{|,}8
2
∈≠
+
∈k x R x k Z ππ
，()f x 的最小正周期为.2
π
（II ）【解析】由()2cos 2,2
f =α
α得tan()2cos 2,4
+=π
αα
22sin()
42(cos sin ),cos()
4
+=-+π
αααπ
α 整理得sin cos 2(cos sin )(cos sin ).cos sin +=+--αα
αααααα
因为(0,)4
∈π
α，所以sin cos 0.+≠αα因此21
1(cos sin ),sin 2.22
-==ααα即
由(0,)4
∈πα，得2(0,)2
∈πα.所以2,.6
12
==
ππ
αα即
4、解（1）：sin 0()x x k k Z π≠?≠∈得：函数的定义域为{,}x x k k Z π≠∈
(sin cos )sin 2()(sin cos )2cos sin x x x
f x x x x
x
-=
=-?
sin 2(1cos 2))14
x x x π
=-+=--
得：的最小正周期为22
T π
π==；
（2）函数sin y x =的单调递增区间为[2,2]()2
2
k k k Z ππ
ππ-+∈
则322224288
k x k k x k πππ
π
πππππ-≤-≤+
?-
≤≤+
得：的单调递增区间为3[,),(,]()88
k k k k k Z ππ
ππππ-+∈
5、本题考查两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、三角函数的周期等性质、分段函数解析式等基础知识，考查分类讨论思想和运算求解能力. 【
解析
】
2111())sin cos 2sin 2(1cos 2)4222f x x x x x x π=
++=-+-11
sin 222
x =-， （I ）函数()f x 的最小正周期22
T π
π=
= （II ）当[0,]2x π∈时，11
()()sin 222
g x f x x =-=
当[,0]2
x π∈-时，()[0,]2
2
x ππ+∈ 1
1()()sin 2()sin 22
2
2
2
g x g x x x π
π
=+=+=-
当[,)2
x ππ∈--时，()[0,)2
x π
π+∈ 11()()sin 2()sin 222
g x g x x x ππ=+=+=
得函数()g x 在[,0]π-上的解析式为1
sin 2(0)22
()1sin 2()22
x x g x x x πππ?--≤≤??=??-≤
6、【解析】（1）∵函数的最大值是3，∴13A +=，即2A =.
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为2
π
，∴最小正周期
T π=，∴2ω=.
故函数的解析式为()2sin(2)16
f x x π
=-+.
（2）∵()2
f α2sin()126
πα=-+=，即1sin()6
2
π
α-=，
∵02
π
α<<
，∴6
6
3
πππ
α-<-<
，∴6
6
π
π
α-
=
，故3
π
α=.
7、解：（1）
()31
4sin sin cos 22f x x x x x ωωωω?=++????
22223cos 2sin cos sin x x x x x ωωωωω=++-321x ω=+
因1sin 21x ω-≤≤，所以函数()y f x =的值域为13,13??
（2）因sin y x =在每个闭区间()2,22
2k k k Z ππππ??-+∈???
?
上为增函数，
故()3sin 21f x x ω=+()0ω>在每个闭区间
(),44k k k Z ππππωωωω??
-+∈????
上为增函数. 依题意知3,22ππ??-?????,44k k ππππωωωω??
-+????
对某个k Z ∈成立，此时必有，于是
32424π
πωππ
ω
?-≥-???
?≤??，解得16ω≤，故的最大值为16. 8. 本题主要考查三角函数的图像与性质、同角三角函数的关系、
两角和差公式，倍角公式等基础知识，考查基本运算能力，以及数形结合思想，化归与转化思想. [解析]（Ⅰ
）由已知可得：2
()6cos 3(0)2
x
f x x ωωω=->
=3cosωx+)3
sin(32sin 3π
ωω+=x x
又由于正三角形ABC 的高为2，则BC=4 所以，函数4
82824)(π
ωω
π
=
==?=，得，即
的周期T x f
所以，函数]32,32[)(-的值域为x f .……………………6分 （Ⅱ）因为，由5
3
8)(0=
x f （Ⅰ）有 ，538)3
4
(
sin 32)(0
0=
+
=π
πx x f 5
4
)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2
,2()3
4
x (3
23100ππππ-∈+-∈），得，（
所以，5
3)54(1)34
(
cos 20
=-=+
π
πx 即 故=+)1(0x f =+
+
)344(
sin 320
π
ππx ]4)34(
sin[320
π
ππ+
+
x
)
2
2532254(324
sin
)34cos(4cos )34([sin 3200?+?=+++=π
πππππx x
5
6
7=
………………………………………………………12分 9..解：（1）由正弦定理得：
cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?=+
sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2
303060A C A C a C C
A A A A A ????
?+=++?-=?-=
?-=?=
（2
）1
sin 42
S bc A bc ==?=， 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+= 10. 本题主要考查三角恒等变换，正弦定理，余弦定理及三角形面积求法等知识点.
(Ⅰ)∵cos A ＝23
＞0，∴sin A 251cos A -
又
5
cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋
sin C cos A 5cos C ＋23
sin C ．
整理得：tan C 5
(Ⅱ)由图辅助三角形知：sin C 56
．又由正弦定
理知：
sin sin a c
A C
=
，
故3c = (1)
对角A
运用余弦定理：cos A ＝2222
23
b c a bc +-=．
(2)
解(1) (2)得：3b =
or b 3
舍去)． ∴?ABC
的面积为：S ＝
5
．