第三章 刚体力学习题答案

第三章 刚体力学习题答案

3-1 如图3-1示,一轻杆长度为2l ,两端各固定一小球,A 球质量为2m ,B 球质量为m ,

杆可绕过中心的水平轴O 在铅垂面内自由转动,求杆与竖直方向成θ角时的角加速度.

解：系统受外力有三个，即A ，B 受到的重力和轴的支撑作用力，轴的作用力对轴的力臂为零，故力矩为零，系统只受两个重力矩作用. 以顺时针方向作为运动的正方向，则A 球受力矩为正，B 球受力矩为负，两个重力的力臂相等为sin d l θ=，故合力矩为

2sin sin sin M mgl mgl mgl θθθ=-=

系统的转动惯量为两个小球（可视为质点）的转动惯量之和

22223J ml ml ml =+=

应用转动定律 M J β=

有：2

sin 3mgl ml θβ= 解得 sin 3g l

θ

β=

3-2 计算题3-2图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体,其质量为

M ,半径为r ,在绳与轮边缘的摩擦力作用下旋转,忽略桌面

与物体间的摩擦,设1m ＝50kg,2m ＝200kg,M ＝15kg,r ＝0.1m.

解: 分别以1m ,2m 滑轮为研究对象，受力图如图(b)所示．对 1m ,2m 运用牛顿定律，有

a m T g m 222=- ① a m T 11= ②

对滑轮运用转动定律，有

图

3-1 图3-2

β)2

1

(212Mr r T r T =- ③

又， βr a = ④ 联立以上4个方程，得

2212s m 6.72

15

20058

.92002

-?=+

+?=

+

+=

M m m g m a

3-3 飞轮质量为60kg,半径为0.25m,当转速为1000r/min 时,要在5s 内令其制动,求制动

力F ,设闸瓦与飞轮间摩擦系数μ＝0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算,闸杆尺寸如图所示.

解：以飞轮为研究对象，飞轮的转动惯量21

2

J mR =

，制动前角速度为1000260ωπ=?rad/s ，制动时角加速度为t

ω

β-=- 制动时闸瓦对飞轮的压力为N F ，闸

瓦与飞轮间的摩擦力f N F F μ=，运用转动定律，得 21

2

f F R J mR ββ-== 则 2N mR F t

ω

μ=

以闸杆为研究对象，在制动力F 和飞轮对闸瓦的压力N F -的力矩作用下闸杆保持平衡，两力矩的作用力臂分别为(0.500.75)l =+m 和1l ＝0-50m ，则有

10N Fl F l -=

110.50600.252100015720.500.7520.4560

N l l mR F F l l t ωπμ???=

==?=+???N 图3-3

3-4 设有一均匀圆盘,质量为m ,半径为R ,可绕过盘中心的光滑竖直轴在水平桌面上转

动. 圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为μ,若用外力推动它使其角速度达到0ω时,撤去外力,求：

(1) 此后圆盘还能继续转动多少时间？ (2) 上述过程中摩擦力矩所做的功.

解：（1）撤去外力后，盘在摩擦力矩f M 作用下停止转动- 设盘质量密度为2

m

R

σπ=，则有

20

2

23

R

f M

g r dr mgR μπσμ==

? 根据转动定律 21,2f M J mR J

α-=

=

43g R

μα-= 0

34R t g

ωωα

μ-=

=

（2）根据动能定理有 摩擦力的功2220011

024

f W J mR ωω=-

=-

3-5 如题3-6图所示,一匀质细杆质量为m ,长为l ,可绕过一端O 的水平轴自由转动,杆

于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度； (2)杆转过θ角时的角速度.

解: (1)由转动定律，有

β)3

1

(212ml mg

= ∴ l

g

23=β

(2)由机械能守恒定律，有

图3-6

22)3

1

(21sin 2ωθml l mg =

∴ l

g θ

ωsin 3=

3-6 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴O O '转动．设大小圆柱体的半径分别为R 和r ,质量分别为M 和m ．绕在两柱体上的细绳分别与物体1m 和2m 相连,1m 和2m 则挂在圆柱体的两侧,如3-8图所示．设R ＝0.20m, r ＝0.10m,m ＝4 kg,M ＝10 kg,1m ＝2m ＝2 kg,且开始时1m ,2m 离地均为h ＝

2m ．求：

(1)柱体转动时的角加速度； (2)两侧细绳的张力．

解: 设1a ,2a 和β分别为1m ,2m 和柱体的加速度及角加速度，方向如图(如图b)．

(a)图 (b)图

(1) 1m ,2m 和柱体的运动方程如下：

2222a m g m T =- ① 1111a m T g m =- ②

βI r T R T ='

-'21 ③

式中 ββR a r a T T T T ==='='122211,,,

而 222

1

21mr MR I += 由上式求得

2

22222

2212

1s rad 13.68.910.0220.0210.0421

20.010212

1.02

2.0-?=??+?+??+???-?=

++-=

g

r m R m I rm Rm β

(2)由①式

8.208.9213.610.02222=?+??=+=g m r m T βN

由②式

1.1713.6.

2.028.92111=??-?=-=βR m g m T N

3-7 一风扇转速为900r/min,当马达关闭后,风扇均匀减速,止动前它转过了75转,在此过

程中制动力做的功为44.4J,求风扇的转动惯量和摩擦力矩.

解：设制动摩擦力矩为M ，风扇转动惯量为J ，止动前风扇的角位移2N θπ=，摩擦力矩所做的功为

2A M M N θπ=-=-

摩擦力所做的功应等于风扇转动动能的增量，即

21

02

A J ω=-

2

2

22(44.4)0.01(9002/60)

A

J ωπ?-=-

=-

=?kg ?m 2

44.4

0.09422275

A M N ππ-=-

=-=?N ?m 3-8 一质量为M 、半径为r 的圆柱体,在倾斜θ角的粗糙斜面上从距地面h 高处只滚不滑

而下,试求圆柱体滚止地面时的瞬时角速度ω.

解： 在滚动过程中，圆柱体受重力Mg 和斜面的摩擦力F 作用，设 圆柱体滚止地面时，质心在瞬时速率为v ，则此时质心的平动动能为21

2

Mv ，与此同时，圆柱体以角速度ω绕几何中心轴转动，其转动动能为

21

2

J ω.将势能零点取在地面上，初始时刻圆柱体的势能为Mgh ，由于

圆柱体只滚不滑而下，摩擦力为静摩擦力，对物体不做功，只有重力做功，机械能守恒，

于是有2211

22

Mgh Mv J ω=+ 式中 21

,2J Mr v r ω=

=，代入上式得 222

11()22

Mgh Mr Mr ω=+

即

ω=

3-9 一个轻质弹簧的倔强系数 2.0k =N/m,它的一端固定,另一端通过一条细绳绕过一个

定滑轮和一个质量为m ＝80g 的物体相连,如图所示. 定滑轮可看作均匀圆盘,它的质量为M ＝100g,半径r ＝0.05m. 先用手托住物体m ,使弹簧处于其自然长度,然后松手.求物体m 下降h ＝0.5m 时的速度为多大？忽略滑轮轴上的摩擦,并认为绳在滑轮边缘上不打滑.

解：由于只有保守力（弹性力、重力）做功，所以由弹簧、滑轮和物体m 组成的系统机械能守恒，故有

222111

222

mgh kh I mv ω=++

2

1,2

v r I Mr ω==

所以

1.48v ==m/s

3-10 有一质量为1m 、长为l 的均匀细棒, 静止平放在滑动摩擦系数为μ的水平桌面上,它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动. 另有一水平运动的质量为2m 的小滑块, 从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞, 设碰撞时间极短. 已知小滑块在碰撞前后的速度分别为1V 和2V ,如图示,求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间（已知棒

绕O 点的转动惯量2

113

J m l =）.

图3-11

图3-12

解：对棒和滑块组成的系统，因为碰撞时间极短，所以棒和滑块所受的摩擦力矩远小于相互间的冲量矩，故可认为合外力矩为零，所以系统的角动量守恒，且碰撞阶段棒的角位移忽略不计，由角动量守恒得

2212211

3

m v l m v l m l ω=-+

碰撞后在在转动过程中棒受到的摩擦力矩为 110

1

2

t

f m M g

dx m gl l μμ=

-=-?

由角动量定理得转动过程中

2

10103

t

f

M dt m l ω=-? 联立以上三式解得：12

2

12V V t m m g

μ+= 3-11 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆．它离太阳最近距离为1r ＝8.75×1010

m 时的速率是1v ＝5.46×104

m ·s -1

,它离太阳最远时的速率是2v ＝9.08×102

m ·s -1

，这时它离太阳

的距离2r 为多少?(太阳位于椭圆的一个焦点.)

解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有 2211mv r mv r =

∴ m 1026.510

08.91046.51075.812

2

4102112?=????==v v r r 3-12 平板中央开一小孔,质量为m 的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为1M 的重物．小球做匀速圆周运动,当半径为0r 时重物达到平衡．今在1M 的下方再挂一质量为2

M 的物体,如3-14图．试问这时小球做匀速圆周运动的角速度ω'和半径r '为多少?

图3-14

解: 在只挂重物时1M ，小球作圆周运动的向心力为g M 1，即

2

01ωmr g M =

①

挂上2M 后，则有

221)(ω'

'=+r m g M M

②

重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒． 即 v m r mv r ''=00

ωω''=?2020r r ③

联立①、②、③得

02

123

1

12

2

()M M M M M r g r m ωωω=+'=+'=

='

3-13 如图示, 长为l 的轻杆, 两端各固定质量分别为m 和2m 的小球, 杆可绕水平光滑轴在竖直平面内转动, 转轴O 距两端的距离分别为/3l 或2/3l . 原来静止在竖直位置. 今有一质量为m 的小球, 以水平速度0v 与杆下端的小球m 做对心碰撞, 碰后以0/2v 的速度返回, 试求碰撞后轻杆所获得的角速度ω.

解：将杆与两端的小球视为一刚体，水平飞来的小球m 与刚体视为一系统，在碰撞过程中，外力包括轴O 处的作用力和重力，均不产生力矩，故合外力矩为零，系统角动量守恒- 选逆时针转动为正方向，则由角动量守恒得 00

22323

v l

l mv m J ω=-+

图3-13