安徽六安市新安中学2020年秋学期期中考高二(重点班)理科数学卷附答案解析

安徽六安市新安中学2020年秋学期期中考

高二理科数学卷（重点班）

第I 卷（选择题共60分）

一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．下列说法不正确的是( )

A ．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形

B ．同一平面的两条垂线一定共面

C ．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内

D ．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直

2．直线310x -+=的倾斜角是( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．135°

3．若方程22

4250x y x y k +-++=表示圆，则实数k 的取值范围是( )

A ．

(),1-∞

B ．

(],1-∞

C ．

[)1,+∞

D ．R

4．已知平面//α

平面β，直线m ?α，直线n ?β，下列结论中不正确的是( )

A ．//m β

B ．//n α

C ．//m n

D ．m 与n 不相交 5．直线310x y ++=在y 轴上的截距是(

) A ．3-

B ．13

-

C ．3

D ．

13

6．圆2220x y x +-=与圆

2240x y y ++=的位置关系是( ) A ．相交 B ．外切 C ．相离 D ．内切

7．已知空间中m ，n 是两条不同直线，α是平面，则( ) A ．若//m α，n α?，则//m n B ．若//m α，//n α，则m n ⊥ C ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥ D ．若m α⊥，n α⊥，则//m n

8．直线6820x y +-=与6830x y +-=间的距离为( )

A ．1

B ．3

C ．

1

10

D ．

25

9．已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =，则实数x 的值是( )

A ．6或2-

B ．6或2

C ．3或4-

D ．3-或4

10．已知直线()2210a x ay ++-=与直线320ax y -+=垂直，则实数a 的值是(

)

A ．0

B ．43

-

C ．0或43

-

D ．12-

或23

11．圆

()()22

341

x y -+-=上一点到原点的距离的最大值为( )

A ．4

B ．6

C ．5

D ．7

12．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂足为点H .以下结论中，错误的是( ) A ．点H 是△A 1BD 的垂心 B ．AH ⊥平面CB 1D 1

C ．H 的延长线经过点C 1

D ．直线AH 和BB 1所成的角为45°、

第II 卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，面对角线1A D 与AC 所在直线的位置关系为____，(填“平行”，“相交”，“异面”)

14．点()2,3A

-到直线:3450l x y +-=的距离为__________．

15．直线1y x =+被圆22(1)6x y -+=截得的弦长为__________．

16．在平面直角坐标系xOy 中，已知,B C 为圆2

2

4x y +=上两点，点(1,1)A ，且AB AC ⊥，则线段BC 的

长的取值范围是____________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）如图，已知△ABC 是正三角形，EA 、CD 都垂直于平面ABC ，且EA=AB=2a,DC=a,F 是BE

的中点，求证：

(1) FD ∥平面ABC;

(2) AF ⊥平面EDB.

18．（本题满分12分）已知△ABC 的三个顶点分别为A (2，4)，B (1，1)，C (7，3).

（1）求BC 边上的中线所在直线的方程； （2）求BC 边上的高所在直线的方程.

19．（本题满分12分）已知实数00,x y 满足()()2

2

00125x y -++=，求()()2

2

0054x y -++的最小值.

F E

D C

B

A

20．（本题满分12分）如图所示，PA，平面ABC ，点C 在以AB 为直径的，O 上，，CBA ＝30°，PA ＝AB ＝2，点E 为线段PB 的中点，点M 在弧AB 上，且OM，AC ．

（1）求证：平面MOE，平面PAC ； （2）求证：平面PAC，平面PCB ；

（3）设二面角M －BP －C 的大小为θ，求cosθ的值．

21．（本题满分12分）设直线():3419260l x y x y λ

+-++-=，(R λ∈).

（1）求证：直线l 恒过定点M ，并求出定点M 坐标； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程； （3）设直线l 与x 轴?y 轴的正半轴交于点

A ，

B ，求当MA MB (点M 为（1）中的定点)取得最小值时直线

l 的方程.

22．（本题满分12分）已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3470x y -+=

相切，且被y 轴截得的弦长为C 的面积小于13. （1）求圆C 的标准方程：

（2）设过点(0,3)M 的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程：如果不存在，请说明理由.

理数（重点）参考答案

1．D2．B3．A4．C5．B6．A7．D8．C9．A10．C11．B12．D13．异面14．1

5 15．4

16

．

17．(1)取AB的中点M,连FM,MC,

∵ F、M分别是BE、BA的中点∴FM∥EA, FM=1

2EA

∵EA、CD都垂直于平面ABC ∴CD∥EA∴CD∥FM

又DC=a, ∴FM=DC ∴四边形FMCD是平行四边形

∴ FD∥MC

FD∥平面ABC

二、因M是AB的中点，△ABC是正三角形，所以CM⊥AB

又CM⊥AE,所以CM⊥面EAB, CM⊥AF, FD⊥AF,

因F是BE的中点, EA=AB所以AF⊥EB.

18．（1）x+y-6=0；（2）3x+y-10=0.

【解析】

【分析】

（1）由中点坐标公式可得BC的中点为M(4，2)，由两点式可得BC边上的中线所在直线的方程；

（2）因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，由直线BC的斜率，可得BC边上的高所在直线的斜率，再由点斜式可得BC边上的高的直线方程.

【详解】

（1）因为B(1，1)，C(7，3)，所以BC的中点为M(4，2).

因为A(2，4)在BC边上的中线上，所以所求直线方程为

-2

4-2

x

=

-4

2-4

y

，

即BC边上的中线所在直线的方程为x+y-6=0.

（2）因为B(1，1)，C(7，3)，所以直线BC的斜率为3-1

7-1

=

1

3

.

因为BC边上的高所在直线与直线BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为-3.

因为A(2，4)在BC边上的高上，所以所求直线方程为y-4=-3(x-2)，

即BC边上的高所在直线的方程为3x+y-10=0.

【点睛】

本题考查直线方程的求法，考查中点坐标公式、两直线垂直的关系的应用，及两点式、点斜式、一般式等直线方程的表示形式，属于基础题.

19．5.

【解析】

【分析】

所求等式表示点(5,4)A -与圆2

2

(1)(2)5x y -++=上动点()00,M

x y 之间的距离的平方，数形结合求出点A

与圆上点的距离的最小值即可得解. 【详解】

()

()2

2

0054x y -++表示点(5,4)A -与圆22(1)(2)5x y -++=上动点()00,M x y 之间的距离的平方，若

||AM 最小，则2||AM 也最小，

数形结合知||AM -=

故()()2

2

0054x y -++的最小值为5. 【点睛】

本题考查数形结合求定点与圆上点的距离的最值，属于基础题. 20．（1）见解析 （2）见解析 （3）1

5

【解析】

试题分析：（1）因为点E 为线段PB 的中点，点O 为线段AB 的中点， 所以OE，PA ．

因为PA ?平面PAC ，OE，平面PAC ， 所以OE，平面PAC ． 因为OM，AC ，

又AC ?平面PAC ，OM，平面PAC ， 所以OM，平面PAC ．

因为OE ?平面MOE ，OM ?平面MOE ，OE∩OM ＝O ， 所以平面MOE，平面PAC ． 4分 （2）因为点C 在以AB 为直径的，O 上， 所以，ACB ＝90°，即BC，AC ． 因为PA，平面ABC ，BC ?平面ABC ， 所以PA，BC ．

因为AC ?平面PAC ，PA ?平面PAC ，PA∩AC ＝A ， 所以BC，平面PAC ．

因为BC ?平面PBC ，所以平面PAC，平面PBC ． 9分 （3）osθ＝1

5． 12分

考点：本题考查面面平行的判定，面面垂直的判定，二面角的求法

点评：解决本题的关键是熟练掌握面面平行的判定定理，面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求二面角的方法

21．（1）证明见解析，M 坐标()1,4；（2）40x y -=或50x y +-=；（3）50x y +-=.

【解析】 【分析】

（1）根据直线方程，列出方程组34190

260x y x y +-=??+-=?

，求解，即可得出定点坐标；

（2）根据直线在两坐标轴上的截距相等，分别讨论直线过原点，和直线不过原点，两种情况，分别求解，即可

得出结果；

（3）设(,0)A a ，(0,)B b (0,0)a b >>，则直线l 的方程可设为1x y

a b +=，根据直线过定点得到141a b

+=，再由

MA MB AM MB ?=，结合基本不等式求解，即可得出结果.

【详解】

（1）因为():3419260l x y x y λ

+-++-=，

由34190260x y x y +-=??+-=?，解得1

4x y =??=?

，则定点M 为()14，

； （2）因为直线l 在两坐标轴上的截距相等， 当直线过原点时，1960λ--=，则19

6

λ=-，此时直线l 的方程为40x y -=； 当直线不过原点时，直线方程化为()()3241960x y λλλ+++-=－，

则324λ

λ+=+，解得1λ＝，所求直线为50x y +-=；

综上，直线方程为40x y -=或50x y +

-=；

（3）设(,0)A a ，(0,)B b (0,0)a b >>，则直线l 的方程可设为1x y

a b

+=， 又直线l 过点(1,4)M ，则14

1a b

+=， 而

(1,4)(1,4)

MA MB AM MB a b ==-?--?

()14444174178b a a b a b a b a b ??

=+-=++-=+≥= ???

当且仅当5a b ==时等号成立，此时直线l 的方程为50x y +-=.

【点睛】

本题主要考查求直线过定点问题，考查求直线的方程，属于常考题型. 22．(1) 2

2

(1)4x y -+=. (2) 不存在这样的直线l . 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（I ）用待定系数法即可求得圆C 的标准方程；（，）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设

直线l ：y=kx+3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).l 与圆C 相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k 与x 1、x 2之间关系式，进而求出k 的值.若k 的值满足Δ>0，则存在；若k 的值不满足Δ>0，则不存在.

试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知

R

R

=

=

，

，

解得a=1或a=

13

8

，

又，S=πR2<13，

，a=1，

，圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4．

（，）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．

当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

又，l与圆C相交于不同的两点，

联立

22

3

{

(1)4

y kx

x y

=+

-+=

，

，

消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，

，Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=3k2-6k-5>0，

解得1

3

k<-

或1

k>+

x1+x2=

2

62

1

k

k

-

-

+

，y1+ y2=k(x1+x2)+6=

2

26

1

k

k

+

+

，

1212

11

()()

22

OD OA OB x x y y

=+=++

，，(13)

MC=-，，假设OD，MC，则1212

3()

x x y y

-+=+，

，

22

6226

3

11

k k

k k

-+

?=

++

，

解得

3

(1(1)

4

k=?-∞?+∞

，，假设不成立．，不存在这样的直线l．

考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.