全国高中数学联赛平面几何题

1.(2000) 如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠

CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC （M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．

2. (2001) 如图，△ABC中，O为

外心，三条高AD、BE、CF交于点H，

直线ED和AB交于点M，FD和AC交

于点N．

求证：(1) OB⊥DF，OC⊥DE；

(2) OH⊥MN．

B C

E F

3.(2002)

4.(2003) 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C 在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使∠DAQ＝∠PBC．求证：∠DBQ＝∠PAC．

5.(2004)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与

AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K。已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长。

6.(2005)

7.(2006)以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点

C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1

为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，

交AB 0的延长线于P 0'. 试证： ⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0；

⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．

B 1

B 0

C 1P 1

P 0

Q 1Q 0

C 0

8.(2007)如图，在锐角△ABC 中，AB

O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

O 2

O 1F E P