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函数的连续性的例题与习题

函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。第一类是计算或证明连续性；第 二类是对间断点(或区间)的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质 (最值性质，零点存在性质)，进行理论分析。

下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试 着做！这是与看文学小说的最大区别。

要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？ 如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？

一.函数的连续

例1.1 (例1.20 ( —)，这个序号值的是《函数连续性(一)屮的例题号，请对照)

设f(x)满足/(x+ y) = f(x) + f(y),且f(x)在兀=0连续。证明：/(兀)在任意点兀处连续。

分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要 比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么

在本题里，要证的是“/(无)在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点兀，用函数连续的定义来证 明在

x 处连续。你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个？这要看己知条件，哪个容易用，就 用那一个。

在本题中，提供了条件/(X4-y) = f(x) + f(y),也就是f(x+y)-f(x) = f(y),你的脑海 里就要想到，如果设

y =心，那么就有 0 = /(x+Ar)-/(x) = /(Ar)；这个时候，你应该立即“闪 过”，要用题目给的第二个条件了：

/(兀)在x = Q 连续！它意味着：lim /(0 + ZL Y ) = /(0)O

A A ->0

证明的思路就此产生！

证明：因为 /(%+夬彷 X ，取)=0,则有 f(x) = f(x) + /(0),所以/(0) = 0o (#) 对于固定的x (任意的！)，若

取y = Ax,有

Ay = f(x +心)—/(x) = /(Ax),

(+)

在(+ )式两边取心 TO 的极限，那么

lim Ay = lim (/(x + Ax) - /(x)) = lim /(Ax),

心T O

心T O

心T O

/(兀)在x = 0连续，所以lim /(O + Ax) = /(O),代入(#)的结果，就有 心一>0

lim /(0 + Ax) = lim /(Ax) = f(0) = 0 ,

Av->0

但从(&)知，lim Ay = lim /(Ax),所以

lim Ay = 0 o

(&)

由已知条件:

根据函数连续的定义E, /（兀）在任意点兀处连续。

你看，证明题并不难吧，但有个前提，必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”, 所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。

2〃 + 1 * （ _ IX _ 1

例1.2 （例1.21（ —））设常数GH O, f （x ） = lim ——「—— --- ,求/（x ）的分段表达式，欲使

"一亦"一 1 /（x ）连续，试确定d 的值。

分析：首先要注意，函数/（兀）不是平常的形式，用一个明显的解析式表达出来，本题用一个极限形 式来表示一个函数。所以它要求先写出/（X ）的分段表达式，这是本题的第一个任务；第二，要确定 参数。的数值，怎么确定呢？利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。

/（兀）中出现了儿个幕函数X W

,X

2，，

,X 2，，+1

,根据幕函数的性质，兀的大小对幕函数的变化趋势有

根本性的影响，所以要分为|x|l,x = l,x = -l 进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幕函 数的认识与理解。

（1） |%|<1： ，兀2",严都趋于零（当MTOO 时），所以

/(兀)=二=1。

—1

（2） |%|>1：此时Z ；X 2

\x

2n+，

都将趋于无穷大。为此，要从分子，分母中提出最大项，约去相应

的部分，來简化函数/（X ）：

[(di) 1 )

x 2rl

'1

J _ … T — X Q a 1、

(3) "1： /(兀)=口4

-a a

九 x> 1

1 —G 1

八 --- ，x = l fM = a

1,

I 兀 1<1

X,

X<~1

欲使/（x ）连续，即使f ⑴在X = 1连续，等价于—=1,故a = ~. a 2

例1.3 （例1.22 （一））证明连续函数的局部保号性：设/（无）在兀=兀0处连续，且/（X 0）>0,那么 存在5〉0,当 \x-x Q \<3时,/（%）>0o

严I

/(X) = lim ——

X 2/7

(4) x = -l ： /⑴=lim

1 —Q (—1)"—1

lim

"TOO

—2 + (Q _1)(_1T

—0(—1)"

极限不存在。

故得

分析：这个性质公式我们一个事实，若连续函数在某点的函数值为正，那么在这个点附近的点的函数值 也是正的，不会取负值。这就是说，连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单，其实我们 在证明极限的保号性时就已经用过。

证明：因为/（兀）在x = 处连续，所以对任给的￡>0,总存在5〉0,使得当|兀—兀|<5时，恒有 1/（兀）一/（兀0）1<￡'也就是 一￡0）<￡。（+）

若取^ = /（x 0）>0,在（+ ）式中取左边的那个不等式，就有 /（X ）> （:

若取￡ =丄/（兀）>0,那么就有 /（ %）> - /（,。 （不过，此时的|x-x （） |< J 中的（5要变小）

2 2

当然，你也可以取不同的￡>0,当然5要变。如果我们只需要证实/（兀）的值为正，那么取6* = /U 0）>0 就已经够了。

例1.4 （例1.23 （-））设/（兀）在区间［⑦刃上连续并大于零，证明一^在［d,b ］也连续。

fM

分析：我们需要证明的是：在［⑦⑵上任取点X 。，对任给的￡〉0,存在一个〃〉0,使当|x-x 0|<^时,

/(x) /U o )

直接做下去，是有困难的，所以我们需要对上述不等式做点放大（这是一个基本功！）:

1/（无）一/（兀）\2|/（兀）一/（兀。）1“

/（兀）/Oo ） “ 注意，上面第一个不等号是因为我们在例1.3中，已经证明了在无的一个邻域屮有/（x ）>|/（x 0） !

至此，一个完整的证明思路就形成了。

证明：对任一兀^匕切，/（x 0） >0 ,看）是/（兀）的连续点。由局部保号性，存在兀的邻域N （x （）

Q ）,

使得/（%）>|/（x 0）o 所以在这个邻域中,

I /do ） 一 /（兀）I w 21 /（X ）一/（X 。）I

/（无）/（兀0） 严（兀0）

由/（兀）在区间［⑦洌上的连续性知，对于任给￡〉0,存在Q 〉0,使得当|x-x 0|<^2时，有

I/O)-/(勺)1< 上卑 ￡。

我们取d = min （%爲）,那么在这个更小的邻域中,（即\X -X Q \<3）有

/（兀）/（^0）

/2

Uo)

1 ____ 1_ f(x) /(兀0)

|j _______ 1_ J/g)-/(兀)\2|/(兀)-/(无。)\

I fM /Uo)/(兀)/(兀0)/2Uo)

则有函数的连续的定义知，禺是幣数一!一的连续点；又由九的任意性，得一!一在区间⑺"］也连续。/(x)

f(x)

例1.5确定⑦方之值，使函数f(X)= <在(-8,+00)内连续。

sin(ca + b), x< 0

解：在兀>0和x 50两个区间里，对应的函数均为初等函数，它们都是连续函数。所以，要使/(兀)在

整个实数域中连续，只需确定在x = 0的连续性条件。

/(x)在x = 0有定义，所以我们只需考虑它在x = 0的极限。

lim /(%) = lim sin(or + b) = sin b

A-?0" A->0"

—L i i

lim f(x) = lim e " = lim —p = ---------- r = 0 ；

X->()+X->0- XT(厂-L ■-y

lim

大T(T

由此得方程sinZ? = 0,容易解得：b= g R=0,±l±2,

而对参数d,连续性条件对它没有任何限制，所以d可取任何实数。

[e x Y<0 ①X< 1

例1.6 设f{x) = < ，，gM = \ I ----- ，求a"之值，使/(x) + g(x)在实数[Q + 兀，X>() [vl + x\ X>\

域上连续。

解：两个函数的定义域不同，所以它们之和/(x) + g(x)这个新函数的定义域需要加以明确。显然，需要考虑3个区间:x<0,0l：

e x + b, x<0

/(x) + g(x) = < Q + x + b, 0

Jl + 兀彳+d + x, x> 1

现在可以对2个分界点x = 0,x = \处的连续性条件做研究了(定义问题已经解决)：

lim(/(x) + g(x)) = lim(e A + b) = 1+b ,

XT(F XTO_

lim(/(x) + g(x)) = lim(tz + x + /?) = a + b ,

故有方程d + b = l + b, (1)

又lim(/(x) + g(兀))=lim(Q + x + b) = a + l + b ,

x-> 厂x->r

lim(/(x) + g(x)) = lim(Jl + F +a + x) = + 1,

x->r XTI+

又有方程 a +1 + 方=5/2 +1 + a , (2)

联立(1) (2),解得a = \^b = y/2 o

练习题1设/(兀)满足条件：VX],%2,有/*】充2)#X护X \，且.f(x)在兀=0处连续。求证/(x)在整个实数域连续。

[x, x < 1 [ Z?, x < 0

练习题2设f(x) = < , g(x) = { 门，求Q，b之值，使/(x) + g(x)在实数域上连[a, x> 1 [兀+1, x>0

续。

二.函数的间断点

这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。

an — v ()

例2.1考察函数f(x) =7 的间断点，判别其类型。

0, x = 0

7T 7T

解：函数在兀=0有定义，但是/(0+) = arctan(+oo) = —, /(0~) = arctan(-oo)=,所以在x = 0

的左，右极限虽然存在，但不相等，故属于跳跃间断点(第一类)。

P X cin —Y工0

例2.2考察函数/(%)= 6的间断点，判别其类型。

0, x = 0

丄1 1

解：函数在兀=0有定义，但/(0+)= lim e x sin —不存在，这是因为暫=—,/? = 1,2,时，x , XT(T x n7i

sin丄不存在；

￡

丄1 1 丄

又/(0一)= limb sin —= 0,这是因为sin —在极限过程屮是有界量，lim丹=lim幺“ =0。

x x x->0"

XT(F

所以x = 0是函数的第二类间断点。

例2.3求下列函数的间断点，确定其类型，瑞为可去间断点，则请补充定义，使它连续。

解：（1） x = O.x = 1都是使函数y 没有定义的点，故是间断点。

71 71

cos —X ] cos —X

由于 lim . 2 =lim —lim —

=-oo,所以x = 0是函数的无穷间断点(第二类)。

X 2(X-1) XT0 兀2XT 0 (x- l)

cos —x sin —(1-x) — (1-x)

又 lim —~-— = - lim —— ------------ = -lim — --------- =

z f (x -1) Il x (1- x) z (1 _ 兀)

2

是个确定的值，极限存在，所以X = 1是可移去间断点，加以补充定义:

71 COS

2

x 2(x-l)5

71 2"

后函数在X=1连续。

但是要注意的是，x = 0仍然是函数的无穷间断点（第二类），函数在x = 0仍然间断。

（2）显然，无=—1，0,+1是使函数没有定义的点，所以是间断点。

1 _ 1

lim /(x) = lim "

= lim -~— = lim —~— = oo 兀T —1

兀T —l 1

1 XT —1 X (X+1) XT —l (兀+ 1)

x-1 X

故x = -1是无穷间断点（第二类）。

J___1_

lim f(x) =

=

]曲心-1)=

= ,

20

XTO ]

_ j_ XTO 乂(兀 +1) "TO (x +1)

x-1 X

故x = 0是可去间断点（第一类），补充定义 /（0>-后，函数在x = 0连续。

lim f(x) = lim Ef lim^—= 0, Z Z X(X +1) z (x+1)

可见兀=1也是可去间断点（第一类），补充定义 /（1>后，函数在x = l 连续。

例2.4讨论下列函数的间断点:

71

cos —X

(1) y = —~-— x 2

(x-1)

⑵ J=x_^±l

x-1 X

（2）兀=0处没有定义，故为间断点。

lim y - lim （3 + x 2） = 3 , x-?o - A-->（r

sin 3x .. sin 3x lim y = lim -------- = lim --------- 3 = 3, x->0+ x->0+ X x->0+ 3x

可见，兀=0处函数的左，右极限都存在，且相等，故兀=0是可去间断点（第一类）。

例2.5根据的不同数值，讨论/（劝在x = 0处的连续性，若间断，判別属于何种间断点:

lim /（x ） = lim （e x

+ 0） = 1 + 0 ,

A ->O ~ .*T （T

且 /（O ） = 1 + 0

所以，当a>0,且0 = -1时，/（兀）在兀=0的左，有极限存在且相等，并等于函数值，故函数在x = 0 连续；

当cr>0,且0H —1时，/（兀）在兀=0间断，左，右极限存在但不相等，故属于跳跃间断点； 当a

(1)

3 + x 2,

⑵ y = <

sin3x

.x '

x>0

解：（1） x = l 使函数无定义

（对丄无定义，故函数本身也无定义），故为间断点。

\ — X

1 丄

lim ------- =0 ,

(因为 limJ7 =oo)

XT

厂 —

x->r

1 +严

lim ----- — = 1 ,

XT

广

— 1 +严

(因为lim e^x

= TO )

x->l +

左，右极限存在，却不相等, 故X = 1是跳跃型间断点（第一类）。

解:

x a

sin — x

x>0

lim f(x) = lim x a sin —= x->o* kto 十

x

0, a > 0

不存在，a<0

（请你讲出理rti ）

例2.6 （1998年考研题数二）求函数/（兀）=（1 +尢） lan(x

——)

在区间（0,2兀）内的间断点，并判别其类型。

jr IT 7i

7TT

吋，使曲盲)成为无穷大，没有定义，故“〒丁是心的间断点;

可以看出这是一个r°型的极限。这是我们己经很熟悉的问题了，做下去

所以下面我们讨论函数 /(兀)=0心的间断点。

显然，使sinx = 0的点兀是使得/(尢)没有定义的点，即x = k^k = 0,±t±2,是/(x)的间断点。

因为

lim ------ ----- = 0 ,

3兀 71 2才 tan(x--)

4 故 1 i?哄/ X

=)；

lim ------ ------ = 0, 7穴 / 兀

tan(x ——)

4

XT 故 lim /(x) = 1,

3/r

片一>—

所以, 在间断点“丁才，函数介)的极限存在，是第-类间断点。

又因当 71

X --- =

4

7T X

龙时，tan(x--)=O,使得——-——没有定义，从而函数/(兀)在这些点没有

4 71

tan(x ---- )

4

\兀

亍也是函数/(X)的间断点。

lim ----- - ----- = co, /r 71 r

-*4 tan(x--) 故 1 iX =)cc ；

4

lim ------ - ---- = oo , 5兀 71 宀丁 tan(x--)

4

故 lim /(x) = oo

4

TT S 77

所以，间断点兀盲，才属于第二类间断点。

例2?7 (2001年考研题数二)求极限lim

r->x

指出其间断点的类型。

分析: 牙

sinf-sin.t

,记此极限为/(%),求出/(x)的间断点，并

本题不是单纯讨论间断问题，首先要计算一个极限，得出函数/(X )o

解:

lim x

’ Sin t \in 『_sinx (sinx 丿

/ lim 1 + I sinx 丿

sinr X sinz sinx

X t

sin t 一 sin %V in/"sinj

lim 1 +-------------- /->X

/->X sinx )

解：

当一二2’ 2

至此, ,? H Sin z -Sin X )sin —sinn

lim 1 + t^X L sinx )

sinx x

, sin r-sinx

lim 1 + -------------- f I sinx )

sinr-sin x sinx ——

=e sinx

= f(x) o

x

因为lim /(x) = lim ----------- = 1,

sin x

XTO X->°

Y

lim f(x) = lim —— = oo, k = ±L±2, ,

XT彷x^k/r sin x

所以，x = o是第一类间断点，而天=k? k=±l,±2,是第二类间断点。

ae2\ x<0

1 ^lan.v

练习题3设y = \ l~e x>0在兀=0处连续，求参数aZ值。

arcsin —

2

x

练习题4设/(x)=——在(-00,+8)上连续，且lim/(x) = O,则常数应满足( )：

a + e 2一8

A. a<0,b<0；

B. a>0,b>0；

C. a<0,b>0； D?a>O,b<0.

练习题5 （1995年考研题数二）设/（兀）和g（x）在（-oo,y））上有定义，/（兀）为连续函数，且/（兀）工0, g（Q有间断点，则（）：

A.必定有间断点；

B. [g（X）『必定有间断点；

B./（g（Q）必定有间断点； D.四■必定有I'可断点。

/（X）

（请你举出例子来验证你的结论）

]+

练习题6 （1998年考研题数四）设函数f（x） = lim—,讨论f（x）的间断点，结论为（）

i 1 +兀

A.不存在间断点;

B.存在I'可断点X =

C.存在间断点X = 0；

D.存在间断点X = -l

l；