昆明数学整式的乘法与因式分解单元培优测试卷

昆明数学整式的乘法与因式分解单元培优测试卷

一、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）

1．因式分解x 2+mx ﹣12＝（x +p ）（x +q ），其中m 、p 、q 都为整数，则这样的m 的最大值是（ ）

A ．1

B ．4

C ．11

D ．12

【答案】C

【解析】

分析：根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可.

详解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx －12

∴p+q=m ，pq=-12.

∴pq=1×（-12）=（-1）×12=（-2）×6=2×（-6）=（-3）×4=3×（-4）=-12

∴m=-11或11或4或-4或1或-1.

∴m 的最大值为11.

故选C.

点睛：此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用.

2．如果多项式29x kx -+能用公式法分解因式，那么k 的值是( )

A ．3

B ．6

C ．3±

D ．6±

【答案】D

【解析】

由于可以利用公式法分解因式，所以它是一个完全平方式222a ab b ±+，所以236k =±?=±.

故选D.

3．因式分解x 2－ax ＋b ，甲看错了a 的值，分解的结果是(x ＋6)(x －1)，乙看错了b 的值，分解的结果为(x －2)(x ＋1)，那么x 2＋ax ＋b 分解因式正确的结果为（ ）

A ．(x －2)(x ＋3)

B ．(x ＋2)(x －3)

C ．(x －2)(x －3)

D ．(x ＋2)(x ＋3) 【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】

因为(x ＋6)(x －1)=x 2+5x-6，所以b=-6；

因为(x －2)(x ＋1)=x 2-x-2，所以a=1.

所以x 2-ax ＋b=x 2-x-6=(x-3)(x+2).

故选B.

点睛：本题主要考查了多项式的乘法和因式分解，看错了a ，说明b 是正确的，所以将看

错了a 的式子展开后，可得到b 的值，同理得到a 的值，再把a ，b 的值代入到x 2＋ax ＋b 中分解因式.

4．边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，则a 2b +ab 2的值为（ ）

A ．120

B ．60

C ．80

D ．40

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用提取公因式法分解因式，进而求出答案．

【详解】

解：∵边长为a ，b 的长方形周长为12，面积为10，

∴a +b ＝6，ab ＝10，

则a 2b +ab 2＝ab （a +b ）＝10×6＝60．

故选：B ．

【点睛】

本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．

5．下列运算正确的是（ ）

A ．()2224a a -=-

B ．()222a b a b +=+

C ．()257a a =

D ．()()2224a a a -+--=- 【答案】D

【解析】

【分析】

按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．

【详解】

22(2)4a a -=，故选项A 不合题意；

222()2a b a ab b +=++，故选项B 不合题意；

5210()a a =，故选项C 不合题意；

22(24)()a a a -+--=-，故选项D 符合题意．

故选D ．

【点睛】

此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．

6．如图，大正方形与小正方形的面积之差是60，则阴影部分的面积是 （ ）

A ．30

B ．20

C ．60

D ．40

【答案】A

【解析】

【分析】 设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，表示出阴影部分的面积，结合大正方形与小正方形的面积之差是60即可求解.

【详解】

设大正方形的边长为x ，小正方形的边长为y ，

则22

60x y -=，

∵S 阴影=S △AEC +S △AED =

11()()22

x y x x y y -+- =1()()2

x y x y -+ =221()2

x y - =1602

? =30.

故选A.

【点睛】 此题主要考查了平方差公式的应用，读懂图形和熟练掌握平方差公式是解此题的关键.

7．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）

A ．2a 2﹣2a+1=2a （a ﹣1）+1

B ．（x+y ）（x ﹣y ）=x 2﹣y 2

C ．x 2﹣6x+5=（x ﹣5）（x ﹣1）

D ．x 2+y 2=（x ﹣y ）2+2x 【答案】C

【解析】

【分析】

根据因式分解是将一个多项式转化为几个整式的乘积的形式，根据定义，逐项分析即可．

【详解】

A 、2a 2-2a+1=2a （a-1）+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；

B 、（x+y ）（x-y ）=x 2-y 2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；

C 、x 2-6x+5=（x-5）（x-1），是因式分解，故此选项符合题意；

D 、x 2+y 2=（x-y ）2+2xy ，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；

故选C ．

【点睛】

此题考查因式分解的意义，解题的关键是看是否是由一个多项式化为几个整式的乘积的形式．

8．下列运算正确的是（ ）

A ．23a a a ?=

B ．623a a a ÷=

C ．2222a a -=

D ．()22436a a =

【答案】A

【解析】

【分析】

根据同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则即可求解；

【详解】

解：2123?a a a a +==，A 准确； 62624a a a a -÷==，B 错误；

2222a a a -=，C 错误；

()2

2439a a =，D 错误； 故选：A ．

【点睛】

本题考查实数和整式的运算；熟练掌握同底数幂乘除法的运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键．

9．下列分解因式正确的是（ ）

A ．24(4)x x x x -+=-+

B ．2()x xy x x x y ++=+

C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-

D ．244(2)(2)x x x x -+=+-

【答案】C

【解析】

【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．

【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2

1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2

x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确；

D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．

10．小淇用大小不同的 9 个长方形拼成一个大的长方形 ABCD ，则图中阴影部分的面积是（ ）

A ．(a + 1)(b + 3)

B ．(a + 3)(b + 1)

C ．(a + 1)(b + 4)

D ．(a + 4)(b + 1) 【答案】B

【解析】

【分析】 通过平移后，根据长方形的面积计算公式即可求解.

【详解】

平移后，如图，

易得图中阴影部分的面积是(a+3)(b+1).

故选B.

【点睛】

本题主要考查了列代数式.平移后再求解能简化解题.

二、八年级数学整式的乘法与因式分解填空题压轴题（难）

11．已知3x y +=，3336x y +=，则xy =______．

【答案】-1

【解析】

【分析】

将3336x y +=利用立方和公式以及完全平方公式进行变形后再计算即可得出答案．

【详解】

解：∵3x y +=

∴33222()()3()33(93)279x y x y x xy y x y xy xy xy ??+=+-+=?+-=-=-?? ∵3336x y +=

∴27936xy -=

∴1xy =-

故答案为：-1．

【点睛】

本题考查的知识点是立方和公式以及完全平方公式，解此题的关键是记住立方和公式．

12．如果9x 2-axy+4y 2是完全平方式，则a 的值是____.

【答案】±12

【解析】

【分析】

根据完全平方式得出-axy=±2×3x2y ，求出即可.

【详解】

解：9x 2-axy+4y 2=（3x±2y ）2

即-axy=±2×3x2y

所以a=±

12 【点睛】

本题考查了完全平方式，能熟记完全平方公式的特点是解此题的关键，注意：完全平方式有两个a 2-2ab+b 2和a 2+2ab+62是本题的易错点.

13．在实数范围内因式分解：231x x +-=____________

【答案】3322x x ???++ ?? ??????

【解析】

【分析】

利用一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可.

【详解】

令2310x x +-=

∴1x =2x =

∴231x x +-=31331322x x ????+-++ ??? ??????? 故答案为：31331322x x ????+-++ ??? ???????

【点睛】

本题考查实数范围内的因式分解，利用一元二次方程的解法即可解答，熟练掌握相关知识点是解题关键.

14．已知：如图，△ACB 的面积为30，∠C 90=?，BC a =，AC b =，正方形ADEB 的面积为169，则2

()a b -的值为_____________．

【答案】49

【解析】

首先根据三角形的面积可知

12

ab=30，可得ab=60，再利用勾股定理和正方形的面积公式求出a 2+b 2=169，因此可知（a-b ）2= a 2+b 2-2ab=169-120=49.

故答案为：49. 点睛：此题主要考查了勾股定理，关键是掌握在任何直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，同时考查了三角形的面积计算和

完全平方公式的计算.

15．已知x 、y 为正偶数，且2296x y xy +=，则22

x y +=__________.

【答案】40

【解析】

【分析】

根据22x y xy 96+=可知xy(x+y)=96，由x 、y 是正偶数可知xy≥4，x+y≥4，进而可知96 可分解成3种乘积的形式，分别计算即可得只有一种情况符合题意，即可求出x 、y 的值，根据x 、y 的值求得答案即可.

【详解】

∵22x y xy 96+=，

∴xy(x+y)=96，

∵x 、y 为正偶数，xy≥4，x+y≥4，

∴96=2?2?2?2?2?3=6?16=8?12=4?24

当xy(x+y)= 4?24时，无解，

当xy(x+y)= 6?16时，无解，

当xy(x+y)=8?12时，x+y=8，xy=12，

解得：x=2，y=6，或x=6，y=2，

∴x 2+y 2=22+62=40.

故答案为：40

【点睛】

本题考查因式分解，把96分解成所有约数的积再分情况求解是解题关键.

16．222---x xy y =__________

【答案】()2

x y -+

【解析】

根据因式分解的方法，先提公因式“﹣”，再根据完全平方公式分解因式为：()()2

222222x xy y x xy y x y ---=-++=-+. 故答案为()2

x y -+.

点睛：此题主要考查了因式分解，因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2

222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解），注意符号的变化.

17．因式分解：2

()4()a a b a b ---＝___.

【答案】()()()22a b a a -+-

【解析】

分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可．

详解：a 2（a-b ）-4（a-b ）

=（a-b ）（a 2-4）

=（a-b ）（a-2）（a+2），

故答案为：（a-b ）（a-2）（a+2）．

点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键．

18．分解因式2

242xy xy x ++=___________

【答案】22(1)x y +

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

原式＝2x （y 2＋2y ＋1）＝2x （y ＋1）2，

故答案为2x （y ＋1）2

【点睛】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

19．若=2m x ，=3n x ，则2m n x +的值为_____.

【答案】18

【解析】

【分析】

先把x m+2n 变形为x m （x n ）2，再把x m =2，x n =3代入计算即可．

【详解】

∵x m =2，x n =3，

∴x m+2n =x m x 2n =x m （x n ）2=2×32=2×9=18；

故答案为18．

【点睛】

本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

20．已知(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)-----可分解因式为(3x a)(x b)++，其中a 、b 均为整数，则a 3b +=_____.

【答案】31-．

【解析】

首先提取公因式3x ﹣7，再合并同类项即可根据代数式恒等的条件得到a 、b 的值，从而可算出a+3b 的值：

∵()()()()(2x 21)(3x 7)(3x 7)(x 13)3x 72x 21x 133x 7x 8-----=---+=--， ∴a=－7，b=－8．∴a 3b 72431+=--=-．