二次函数的图象特点及其应用

二次函数的图象特点及其应用

二次函数的图象特点及其应用

课题名称: 二次函数的图象特点及其应用

课题的研究及意义:

数学是一门很有用的学科。古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力

课题研究内容:

1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function" 一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。

直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。

19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量

的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。

2. 定义:表达式如y=ax^2+bx+c (a≠0,且a,b,c是常数)的函数,我们把y叫做x的一元二次函数. 二次函数有三种表达式:

(1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

(3)交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线

其中x1，2= -b±√b^2－4ac

3.图象特征:一条抛物线,对称轴是x=-b/2a,顶点为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

当a>0开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小, 在对称轴的右侧y 随x的增大而增大

当a<0开口向下, 在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y 随x的增大而减小.

4借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：

数学模型转化实际问题（二次函数的图象和性质）

实际问题（二次函数的图象和性质）回归数学模型

转化关键点：正确建立直角坐标系

1）能够将实际距离（准确的）转化为点的坐标；

2）选择运算简便的方法。

5.应用: 二次函数如空气般,无时无刻不萦绕于我们身边.只是它太平凡,太普通.而使我们似乎觉察不到它在我们身旁.我们无时无刻不在利用二次函数解决难题.

(1)商业:然而有谁理解二次函数的奥妙.二次函数在生活中有许多应用.比如在商场上,二次函数就为必不可少的工具.在实际生活和经济活动中，很多问题都与二次函数密切相关。

在生活中，很多盈利问题都与二次函数有关，尤其是图象。利用二次函数我们可以解决许多盈利问题。如商业利润与广告投资的关系等等.

例如:某企业信息部进行市场调查发现:信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y（A）与投资金额x之间存在正比例关系：y(A)=kx,并且当投资5万元时，可获利润2万元并且当投资2万元时，可获利润2。4万元；当投资4万元时；可获利润3。2万元。而该企业要对A。B两种产品进行10万元投资，怎样才可获得最大利润。假如你无法熟练掌握二次函数，那么你将会失去了商机，用最少投入，获得最大产出，这就是效率。假

如，你是该企业成员，该如何设计投资方案呢？

设：能获得最大利润为y，则=y(A)+y(B)投资产品x万元，则产品（10-x)万元。则y=2/5(10-x)-0.4x2+1.6x=-0.4(x-3/2)2+4.9由二次函数的知识，我们能很明白，当B投资3/2万元，A投资8。5万元时，就能获得最大利润。假如你体会并能掌握二次函数的魄力，解决诸如此类的商业问题，就是小菜一碟。然而，这不过是二次函数被利用于商业竞争的一小部分，二次函数的魄力又何仅限于此呢？

(2)建筑:二次函数在建筑中的运用十分广泛。

如某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。

再如人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的最高点P到水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为5/2m,那么，水流的最高点距离地面是多少米？水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，从而用有关二次函数的知识解决问题。

二次函数与拱桥问题也有密切联系。也可由二次函数求出桥的高低与游船通行的关系。

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(4)战争:战争中也不乏运用二次函数的例子。

如某防空部队进行射击训练时，若导弹运行轨道为一抛物线，可求该抛物线的解析式，再运用函数知识预知导弹能否命中目标。

（5）体育：二次函数也与体育息息相关。

先就篮球来说说：抛物线是指投篮出手后，球在空中飞行的弧形轨迹，以距离投篮为例，可归纳为低，中高三种弧线。

1。球的飞行路线最短，力量容易控制，但由于飞行路线低平，篮圈暴露在求下面的面积很小，不易投中。

2。中弧线：球飞行弧线的最高点大致在篮板的上沿，在一条水平线上球篮的大部分暴露在球的下面，这是一种比较适宜的抛物线。

3。高弧线：球接近于垂直下落，篮圈几乎全暴露在球的下面，球容易入篮。但球的飞行路线太平，不宜控制，实际会降低命中率。

上述投篮的抛物线，只是原地投篮的一种规律，抛物线的高低还与出手力量有关。在实际应用中，应根据不同的距离，队员的高低，跳投时跳起的高度，不同的投篮方式及防守，干扰等采用不同的抛物线投篮。

生活中也不乏用二次函数的知识来计算体育成绩的例子

如一名运动员推铅球，铅球在点A处出手时球距离地面约为1 m，铅球落地在点B处，铅球运行中在运动员前4m处到达最高点C，最高点高为3m。已知铅球经过的路线是抛物线，你能算出该运动员的成绩吗？再如一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？以上二问题都可先建立坐标系，再运用二次函数相关知识得出结论。类似的还有跳远，足球射门，羽毛球等体育运动。

总结:

数学的魄力，在于其古老与神奇，总是与美联系在一起，只要怀有一颗欣赏之心，就会在生活的每一个角落捕捉到其“魅影”——抛物线。这种魄力是独特的，内在的，正如英国著名哲学家，数学家罗素所说：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那种华丽修饰，它可以纯净到高崇的地步，能够达到严格的只有伟大的的艺术能显示的那种完美的境界。”

二次函数能于历史长河之中经风暴而不朽，难以比拟的艺术美为其塑造朦胧而迷幻的形象，但更为主要的是二次函数在商业，建设，体育等日常生活中不可代替的地位。

在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。

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