2020年云南师范大学量子力学(同等学力加试)考研复试核心题库之计算题精编

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一、2020年云南师范大学量子力学（同等学力加试）考研复试核心题库之计算题精编1．一个质量为，角频率为的线谐振子，受到微扰的作用。

(1)用微扰论求能量的1级修正；

(2)求能量的严格解，并与(1)的结果比较。

【答案】(1)无微扰线谐振子的哈密顿算符满足

其中

本征能量的1级修正的表达式为

利用公式

可以得到

能量本征值的1级修正为

近似到1级修正例能量本征值为

(2)为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符

若令

即

则体系的严格解为

因为是一个小量，故1级近似的结果为

上式与微扰论的1级近似完全一致。

2．在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数

描写，A为归一化常数，求粒子能量的概率分布和能量的期望值。

【答案】由求出

归一化系数

一维无限深势阱本征函数为

(阱内)

粒子概率分布函数

3．一维谐振子降算符a的本征值为的本征态称为谐振子的相干态。设谐振子能量本征态为

，由公式

看出,谐振子的基态是a的本征值=0的本征态。a的本征值≠0的本征态可以表示成的线性叠加：

求出，从而得到谐振子的相干态。

【答案】将式(2)代入a的本征方程

并利用式(1),得到

用左乘式(4),并利用正交归一条件

得

由式(6)可得，故有

将式(7)代入式(2)，

利用归一化条件

或

可以计算，

由上式得取正实数，，代入式(8)得

由于a不是厄米算符，故a的本征值可取任意复数。

4．设粒子的波函数是一维势中的粒子能量本征态，其中A，a和n为常数,

当时，,试求势能V(x)和粒子能量E,粒子质量为。

【答案】将代入定态方程

得

由得体系能量

将式(3)代入式(2)得

5．已知描述氢原子中电子运动状态的三种可能波函数，在球坐标中可写为

其中已正交归一化，常数4＞0。(1)证明：态的电矩为零；(2)求出态的电矩表达式，并指出其取向。

【答案】(1)由于