专升本高数公式大全

导数公式：

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

22212211cos 12sin u

dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，一些初等函数：两个重要极限：

x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22=

'='?-='?='-='='2

)(11

)(arccos 11

)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-

='+=

'--

='-=

?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C

a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C

a a dx a C

x ctgxdx x C

x dx tgx x C

ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x

)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222

2C a

x a dx C x a x

a a x a dx C a x a

x a a x dx C a x

arctg a x a dx C

ctgx x xdx C tgx x xdx C

x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2

2222222?

????++-=-+-+--=-+++++=+-=

==-C

x a x a x dx x a C

a x x a a x x dx a x C

a x x a a x x dx a x I n

n xdx xdx I n n n

n arcsin 22ln 22)ln(221

cos sin 22

2222222

三角函数公式： ·诱导公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

·倍角公式：

sin

2sin 2cos cos 2cos

2cos 2cos cos 2sin

2cos 2sin sin 2cos

2sin

2sin sin β

αβαβαβ

αβ

αβα-+=--+=+-+=--+=+α

ββαβαβαβ

αβαβ

αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±?=

±?±=

±=±±=±1

)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x

arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x

x x

x -+=-+±=++=+-=

=+=

----11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x

x x x x

·半角公式：

αα

αααααααααααα

ααα

cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12

cos 12cos 2cos 12

sin -=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctg tg

·正弦定理：R C

B b A a 2sin sin sin ===·余弦定理：

C ab b a c cos 2222-+=

·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=

-=2

arccos 2

arcsin π

中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=

---'=-)(F )

()

()()()()()

)(()()(ξξξ

曲率：

;0.)

1(lim M s M M :.,13202a

K a K y y ds d s K M M s

K tg y dx y ds s =='+''==??='?'???=

=''+=→?的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

空间解析几何和向量代数：

ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=

-=-=α

αααααααααα

αα22222212221

2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=

-=-=-==

..sin ,cos ,,cos )()()(22

21221221221r w v b a c b b b a a a k

j i

b a

c b b b a a a b a b a b a b a b a b a b a b a z z y y x x M M

d z

z y x

y x z y x z

z y y x x z z y y x x

?=?==?=++?++++=++=?=?-+-+-==例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量点的距离：空间θθθ

（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：

同号）

（、抛物面：、椭球面：二次曲面：

参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：

3,,2221

1};,,{,1

302),,(},,,{0)()()(122

222222

22222222

22220000002

220000000000=+-=-+=+=++??

??+=+=+===-=-=-+++++=

=++=+++==-+-+-c

z b y a x c z b y a x q p z q y

p x c z b y a x pt

z z nt

y y mt

x x p n m s t p z z n y y m x x C B A D

Cz By Ax d c

z b y a x D Cz By Ax z y x M C B A n z z C y y B x x A

多元函数微分法及应用

y z x y x y x y x y x F F y z

F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y v dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x

v z x u u z x z y x v y x u f z t

v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z

u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，　隐函数＋，，隐函数隐函数的求导公式：

时，

，当

：

多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

微分法在几何上的应用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x F z y x F z y x F n z y x M z y x F G G F F G G F F G G F F T z y x G z y x F z z t y y t x x t M t z z t y y t x x z y x M t z t y t x z y x z y x z y x y

x y x x z x z z y z y -=

-=-=-+-+-==??

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

??===、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：

上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线

ωψ?ωψ?ωψ?

重积分及其应用：

??????????????

????++-=++=++==>===

=???

????+??? ????+==='

z D

y D

x z y x D

y D

x D

y D

x D

D D

a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M

M y d y x d y x x M

x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2

322

22D

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面

常数项级数：

是发散的

调和级数：等差数列：等比数列：n

n n n q q q q q n

n 1

312112

)1(3211111

+++++=

++++--=

++++-

级数审敛法：

散。

存在，则收敛；否则发、定义法：

时，不确定

时，级数发散

时，级数收敛

，则设：、比值审敛法：

时，不确定时，级数发散

时，级数收敛

，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞

→+∞→∞

→+++=??

??=><=??

??=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ

。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和

如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数111

3214321,0lim )0,(+∞→+≤≤?????=≥>+-+-+-+-n n n n

n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：

∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛

１时发散ｐ

级数：收敛；

发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n

n n n

幂级数：

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n

n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定

时发散时收敛

，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全

，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散

时，收敛于

ρρρ

ρρ

函数展开成幂级数：

+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !

)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2

0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ

一些函数展开成幂级数：

)

()!12()1(!5!3sin )11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--x n x

x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n

m 微分方程的相关概念：

即得齐次方程通解。

，

代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：

为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x

y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0

),(),(),(??? 一阶线性微分方程：

?+??=≠?

===+--)

)((0)(,0)()

()(1)()()(C dx e x Q e y x Q Ce y x Q x Q y x P dx

x P dx x P dx

x P 时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：

为常数；，其中?'''=++?=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r

二阶常系数非齐次线性微分方程

型

为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''