人教版高中数学必修二考点练习：几何体的外接球和内切球

几何体的外接球和内切球

一、外接球

1. 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3则此球的表面积__________．

2. 棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______．

3. 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的外接球表面积为________．

4. 已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，这个 长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3,5,15，则它的体积为___________

5. 表面积为43

3

的正四面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为( )

A.23π

B.13π

C.23π

D.223

π

6. 三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC 且P A ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为( )

A.4π3 B ．4π C ．8π D ．20π

7. 若三棱锥S -ABC 的所有的顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝AB ＝2，AC ＝4，∠BAC ＝π

3

，则球O 的表面积为________．

8. 已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的体积是( )

A.43π

B.83π C ．2π D ．4π

9. 已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为22，则该球的表面积为________．

10. 已知A ，B ，C 是球O 的球面上三点，AB ＝2，AC ＝23，∠ABC ＝60°，且三棱锥O -ABC 的体积为463

，则球O 的表面积为________．

11. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )

A ．π B.3π4 C.π2 D.π4

12. 已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为6的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．

13. 四面体A -BCD 中，若AB ＝CD ＝2，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝2，则四面体A -BCD 的外接球的体积是________．

14. 正四棱锥S ABCD 2S 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则该球的体积为_______．

15. 已知表面积为4π的球有一内接四棱锥，四边形ABCD 是边长为1的正方形，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S -ABCD 的体积为________．

16. 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

17. 半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为6，则球的表面积和体积的比为______．

18. 在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比．

二、内切球

1. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )

A.4π3

B.2π3

C.3π2

D.π

6

2. 正方体的内切球与其外接球的体积之比为( )

A ．1∶ 3

B ．1∶3

C ．1∶3 3

D ．1∶9

3. 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积．

4. 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1

S 2

＝________.

5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________．

6. 如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1

V 2

的值是________．

7. 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

8. 设圆锥的底面半径为2，高为3，求：

（1）内接正方体的棱长； （2）内切球的表面积．

参考答案

几何体的外接球和内切球

一、外接球 1. 略 2. 略

3. 解析 设长方体共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，

则???

ab ＝3，bc ＝5，ac ＝

15，

解得???

a ＝3，

b ＝1，

c ＝5，

∴外接球半径为a 2＋b 2＋c 22＝32，∴外接球表面积为4π×????322

＝9π. 4. 略

5. 如图所示，将正四面体补形成一个正方体．设正四面体的棱长为a .

∵正四面体的表面积为433，∴4×34a 2＝433，解得a ＝233，∴正方体的棱长是63，

又∵球的直径是正方体的体对角线，设球的半径是R ，∴2R ＝63×3，∴R ＝2

2

， ∴球的体积为43π·????2

23＝23

π，故选A.

6. 解析：选C 由题意得，此三棱锥外接球即以△ABC 为底面、以P A 为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC 的外接圆半径r ＝

32×3×2

3

＝1，外接球球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d ＝1，所以外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝2，所以三棱锥外接球的表面积S ＝4πR 2＝8π. 7. 解析：由题意，得三棱锥S -ABC 是长方体的一部分(如图所示)，

所以球O 是该长方体的外接球，其中SA ＝AB ＝2，AC ＝4，设球的半径为R ，则2R ＝AC 2＋SA 2＝42＋22＝25，所以球O 的表面积为4πR 2＝20π. 答案：20π

8. 解析：选A 由三视图可知，三棱锥的底面是直角三角形，三棱锥的高为1，其顶点在

底面的射影落在底面直角三角形斜边的中点上，则三棱锥的外接球的球心是底面直角三角形斜边的中点，由此可知此球的半径为1，于是外接球的体积V ＝43πR 3＝43π.

9. 解析：

如图，正四棱锥P -ABCD 的外接球的球心O 在它的高PO 1上，设球的半径为R ，因为底面边长为22，所以AC ＝4.在Rt △AOO 1中，R 2＝(4－R )2＋22，所以R ＝5

2，所以球的表面

积S ＝4πR 2＝25π.

答案：25π

10. 解析：∵AB ＝2，AC ＝23，∠ABC ＝60°，∴在△ABC 中，由正弦定理，得2sin C ＝23

sin 60°，

解得sin C ＝1

2，又0°

的球面上三点，∴△ABC 外接圆的圆心为BC 的中点，故△ABC 外接圆的半径为2.设球心O 到平面ABC 的距离为d ，∵三棱锥O -ABC 的体积为463，∴13×12×2×23×d ＝46

3，∴d ＝22，

∴球O 的半径R ＝

22

2＋22＝2

3，∴球O 的表面积为4πR 2＝48π.

答案：48π

11. 解析：选B 设圆柱的底面半径为r ，则r 2＝12－????122＝34，所以圆柱的体积V ＝34π×1＝3π

4. 12. 解析：设球半径为R ，上，下底面中心设为M ，N ，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O ，则OA ＝R ，由4πR 2＝12π，得R ＝OA ＝3，又易得AM ＝2，由勾股定理可知，OM ＝1，所以MN ＝2，即棱柱的高h ＝2，所以该三棱柱的体积为

3

4

×(6)2×2＝3 3. 答案：3 3

13. 解析：作一个长方体，面对角线分别为2，3，2，设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，则????

?

x 2＋y 2＝2，x 2＋z 2＝3，y 2＋z 2＝4，

则该长方体的体对角线为x 2＋y 2＋z 2＝32

2

，则该长方体的外接球即为四

面体A -BCD 的外接球，则外接球的半径为R ＝x 2＋y 2＋z 22＝32

4

，

体积为V ＝43π????3243＝92

8

π.

答案：

92

8

π

14.

【解析】O'

O

H

D

C

B

A

S

15. 解析：由S球＝4πR2＝4π，解得R＝1，即2R＝2.四棱锥S-ABCD的直观图如图所示，

其所在的长方体的外接球即四棱锥的外接球，所以SA＝4－2＝2，所以四棱锥S-ABCD的体积V＝

1

3S四边形ABCD·SA＝

1

3×1×2＝

2

3.

答案：

2

3

16. 解析：选C如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝

1

2R

2.

∵V O-ABC＝V C-AOB，而△AOB面积为定值，∴当点C到平面AOB的距离最大时，V O-ABC 最大，∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积V O-ABC最大，为

1

3×

1

2R

2×R＝36，∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.

17. 略

18. 【解析】解法一：作正方体对角面的截面，如图所示，

设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，那么CC ′＝a ，OC ＝

22

a . 在Rt △C ′CO 中，由勾股定理得CC ′2＋OC 2＝OC ′2，即a 2＋22a ?? ? ???

2＝R 2，所以R ＝6

2a . 从而V 半球＝

23πR 3＝23

π

62a ?? ? ???

3＝62πa 3

.又V 正方体＝a 3， 因此V 半球∶V 正方体＝

62

πa 3

∶a 3＝6π∶2. 解法二：将半球补成整个的球，同时把原半球的内接正方体再补接一个同样的正方体，构成的长方体刚好是这个球的内接长方体，那么这个长方体的对角线便是它的外接球的直径． 设原正方体棱长为a ，球的半径为R ，则根据长方体的对角线性质，得(2R )2＝a 2＋a 2＋(2a )2，即4R 2＝6a 2，所以R ＝

6

2a .从而V 半球＝23πR 3＝23

π62a ?? ? ???

3＝62πa 3

.又V 正方体＝a 3， 因此V 半球∶V 正方体＝62

πa 3∶a 3

＝6π∶2.

二、内切球 1. 答案 A

解析 由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，故半径为1，其体积是43×π×13＝4π

3

.

2. 设正方体的棱长为1，则正方体内切球的半径为棱长的一半即为1

2，外接球的直径为正方

体的体对角线，∴外接球的半径为

32

， ∴其体积比为4

3π×????123∶43π×????323＝1∶3 3.

3. 【解析】设正方体的棱长为a .

(1)正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图①，所以有2r 1＝a ，r 1＝

2

a

，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.

(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，如图②， 所以有2r 22a ，r 22a ，所以S 2＝4πr 22＝2πa 2. (3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图③， 所以有2r 33a ，r 33a ，所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.

4. 解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2

＝3a 2，其内切球半径为

正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2

＝πa 2

6

，

则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63

π

. 答案：63π

5. 解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，即△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，故V ＝1

3

×π×3×3＝3π.

答案：3π

6. 解析：设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43

πR 3＝3

2

.

答案：32

7. 略 8. 略