不等式与常用逻辑用语期末复习
数学必修5不等式与常用逻辑用语复习学案
（一）不等式
1. 一元二次不等式2
0(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2
(0)y ax bx c a =++>、相应的方程2
之间的关系：
2.一元二次不等式恒成立情况小结：
20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立?0
0a >???
2
0ax bx c ++<（0a ≠）恒成立?0
0a
．
3.含参数不等式的解题步骤是：
4. 一般地，直线0Ax By Cz ++=把平面分成三个区域
说明：（1）0(0)Ax By Cz A ++>>表示直线右方的平面区域；
0(0)Ax By Cz A ++<>表示直线左方的平面区域．
（2）对于不含边界的区域，要将边界画成虚线． 6.线性规划的3种模型：（1）截距型（平移法）（2）斜率型（旋转法）（距离型）（画圆）
原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q
逆命题若q 则p
逆否命题若┐q 则┐p 互为
逆否互逆
否互
为
逆否互互逆否互7.基本不等式：（1） 2
a b
+
≥(0,0)a b >>
≤
2
a b
+(0,0)a b >>． （当且仅当b a =时取“=”
） （二）常用逻辑用语
1、命题的定义：可以 叫做命题。
2、四种命题的形式： 原命题： ；
逆命题： ； 否命题： ；
逆否命题： 。
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题． 3、四种命题之间的相互关系：
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系：(原命题逆否命题) ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真。②、原命题为真，它的否命题不一定为真。
③、原命题为真，它的逆否命题一定为真。
4、如果已知p q 那么我们说，p 是q 的 条件，q 是p 的 条件。
若p q 且q p,则称p 是q 的 条件，记为p ?q. 5、逻辑联结词、简单命题与复合命题： “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式：p 或q(记作“p ∨q ” )；p 且q(记作“p ∧q ” )；非p(记作“┑
q ” ) 。 6、“或”、 “且”、 “非”的真值判断：
（1）“非p ”形式复合命题的真假与p 的真假相反； （2）“p 且q ”形式复合命题当P 与q 同为真时才为真，其他情况时为假； （3）“p 或q ”形式复合命题当p 与q 同为假时才为假，其他情况时为真。
7、含有 ，叫做全称命题；含有 ，叫做特称命题。
（1）全称命题“对M 中的任意一个x ，使()p x 成立。”可用符号记
为： 。
（2）特称命题“存在M 中的一个0x ，使()p x 成立。”可用符号记为：
????
二.例题与练习
例１． 解下列不等式：
(1) 27120x x -+>； (2) 2230x x --+≥； (3) 2210x x -+<； (4) 2220x x -+<．
练习1：（1）解不等式073
<+-x x ；（若改为307
x x -≤+呢？） （2）解不等式23
17
x x -<+；
例 2.已知关于x 的不等式
20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数
,m n 之值．
练习2:已知不等式
20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式
20cx bx a -+>的解集．
例3. 已知
2()2(2)4f x x a x =+-+，
(1)如果对一切x ∈R ，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围； (2)如果对x ∈[1，3]，f(x)>0恒成立，求实数a 的取值范围.
例4.解下列关于x 的不等式 2(1)10ax +a x -->；
2
(2)20x a x a +--<练习3：
例3.已知实数,x y 满足3025000
x y x y x y +-≤??+-≤?
?≥??≥?，
求（1）2x y -的最大值和最小值。
（2）+21y x -的取值范围。
（3）22
++225x y x y +-的取值范围。
例4．设a,b ∈R,且a+b=3,则2a +2b
的最小值是
函数12
2)(2-+-=x x x x f )3(≥x 的最小值是
若,0x y >,且21x y +=，求
11
x y
+的最小值。
例5：不等式2230x x --<成立的一个必要不充分条件是（ ）
A 、-1 B 、0 C 、-2 D 、-2 －4ax ＋3a 2 ＜0，其中a ＞0， 命题q ：实数x 满足? ????x 2 －x －6≤0， x 2＋2x －8＞0. 若?p 是?q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 例7：命题p ：关于x 的不等式2240x ax ++>对一切x R ∈恒成立； 命题q ：函数()a f x lag x =在(0,)+∞上递增 若p q ∨为真，而p q ∧为假，求实数a 的取值范围。 第 1 页 共 9 页 常用逻辑用语与不等式训练题 一、选择题： 1．a 、b 、c 、d 均为实数，使不等式 0a c b d >>和ad bc <都成立的一组值（a ，b ，c ，d ）是 ．（只要写出适合条件的一组值即可） 2．在命题“若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则{} 2|0x ax bx c φ++<≠”的 逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是（ ） A ．都真 B ．都假 C ．否命题真 D ．逆否命题真 3．有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是 b a 11<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 4．若命题“p q ∧”为假，且“p ?”为假，则（ ） A ．p 或q 为假 B ．q 假 C ．q 真 D ．不能判断q 的真假 5．若,a b R ∈,使1a b +>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．1a b +≥ B ．1a ≥ C ．0.5,0.5a b ≥≥且 D ．1b <- 6．在△ABC 中，“?>30A ”是“2 1sin >A ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．命题:p 若,a b R ∈，则1a b +>是1a b +>的充分而不必要条件； 命题:q 函数y =的定义域是(][),13,-∞-+∞，则（ ） A ．“p 或q ”为假 B ．“p 且q ”为真 C ．p 真q 假 D ．p 假q 真 8．下列各对不等式中同解的是（ ） A ．72 初中精品数学精选精讲 学科：数学任课教师：授课时间：年月姓名年级课时 教学课题不等式与不等式组 教学目标 （知识点、考点、能力、方法）知识点：不等式及性质，一元一次不等式，一元一次不等式组。 考点：不等式的解集，一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，列一元一次不等式组解实际问题。 能力：能判断及解不等式组及不等式组，通过具体实例建立不等式，探索不等式的基本性质。 方法：了解一般不等式的解、解集以及解不等式的概念；然后具体研究一元一次不等式、一元一次不等式组的解、解集、 难点 重点 一元一次不等式及一元一次不等式组的解法.实际问题与一元一次不等式（组） 课堂教学过程 课前 检查 作业完成情况：优□良□中□差□建议______________________________________________ 一、知识点大集锦 不等式与不等式组 １.熟悉知识体系 ２．不等式与不等式组的概念 不等式：用“大于号”、“小于号”、“不等号”、“大于等于”或“小于等于”连接并具有大小关系的式子，叫做不等式。 不等式组：几个不等式联立起来，叫做不等式组．（注意：当有A 性质l:不等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），不等号的方向不变； 性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变； 性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变２． ５.解不等式组 解不等式组，可以先把其中的不等式逐条算出各自的解集，然后分别在数轴上表示出来。 （1） 求出不等式组中每个不等式的解集 （2） 借助数轴找出各解集的公共部分 （3） 写出不等式组的解集 求公共部分的规律:大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无解. 以两条不等式组成的不等式组为例， ①若两个未知数的解集在数轴上表示同向左，就取在左边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同小取小” ②若两个未知数的解集在数轴上表示同向右，就取在右边的未知数的解集为不等式组的解集，此乃“同大取大” ③若两个未知数的解集在数轴上相交，就取它们之间的值为不等式组的解集。若x 表示不等式的解集，此时一般表示为a 高中数学必修+选修知识点归纳 新课标人教A 版 复习寄语： 鲁甸县文屏镇中学高三第一轮复习资料 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。 必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 导数及其应用。 选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 充与复数、框图 系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。 选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 的扩充与复数 选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。 选修3—6：三等分角与数域扩充。 系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。 选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： 第九章 不等式与不等式组 一、知识结构图 二、知识要点 （一、）不等式的概念 1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。 2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。 4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。 ????????????????????????????????与实际问题 组一元一次不等式法 一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(321 （二、）不等式的基本性质 不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或c b c a >)；如果0,> 不等式和不等式组 【知识点链接】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做 不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元 一次不等式； 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b >??>?的解集是x b >，“____________”x a x b ??? 无解，即“____________________” 【例题分类解析】 类型一：不等式性质 1.若b a <，则下列各式中一定成立的是（ ） A ．11-<-b a B ．33b a > C ． 33x y ->- D ． bc ac < 2.下列式子正确的是（ ） A ． >0 B ．≥0 C ．a+1>1 D ．a ―1>1 类型二：比较大小 1. 如图，a 、b 、c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ） A ．a ＞c ＞b B ．b ＞a ＞c C ．a ＞b ＞c D ．c ＞a ＞b 4.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图所示，则他们的体重大小关系是（ ） 集合与常用逻辑用语、不等式试题 一、选择 1．设集合{}{} 2|lg(3),|540A x y x B x x x ==-=-+<，则A B = （ B ） A ．? B ．()3,4 C ．()2,1- D ．()4.+∞ 2．集合{}0,2,A a =,{} 21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为 ( D ) A.0 B.1 C.2 D.4 3．已知集合{}6,5,4=P ，{ }3,2,1=Q ，定义{}Q q P p q p x x Q P ∈∈-==⊕,,|，则集合Q P ⊕的所有真子集的个数为 （ B ） A ．32 B ．31 C ．30 D ．以上都不对 4．已知)(,13)(R x x x f ∈+=，若a x f <-|4)(|的充分条件是b x <-|1|，)0,(>b a ，则b a ,之间的关 系是 （ B ） A ．3 b a ≤ B ． 3 a b ≤ C ．3 a b > D ．3 b a > 5．下列说法错误的是 （ C ） A ．命题“若x 2 — 3x +2＝0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2—3x +2≠0” B ．“x ＞1”，是“|x |>1”的充分不必要条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题 D ．若命题p ：“?x ∈R ，使得x 2+x +1＜0”,则?p ：“?x ∈R ，均有x 2+x +1≥0” 6．集合{1,0,1}A =-,A 的子集中,含有元素0的子集共有 ( B ) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 7．设集合A={x|1≤x ≤2},B={x|x ≥a }.若A ?B 则a 的范围是( B ) A. a <1 B. a ≤1 C. a <2 D. a ≤2 8．已知集合{}{} 4),(,2),(=-==+=y x y x B y x y x A ，那么集合A B 为(D) A ．1,3-==y x B ．)1,3(- C ．{}1,3- D ．{})1,3(- 9．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．． 是( D ) A.所有不能被2整除的数都是偶数 B.所有能被2整除的数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的数是偶数 D.存在一个能被2整除的数不是偶数 10．设,x y ∈R ，那么“0x y <<”是“1x y >”的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 不等式与不等式组知识概念 1.用符号“＜”“＞”“≤”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 7.定理与性质 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 本章内容要求学生经历建立一元一次不等式（组）这样的数学模型并应用它解决实际问题的过程，体会不等式（组）的特点和作用，掌握运用它们解决问题的一般方法，提高分析问题、解决问题的能力，增强创新精神和应用数学的意识。 第十章数据的收集、整理与描述 一．知识框架 1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查。 2.抽样调查：调查部分数据，根据部分来估计总体的调查方式称为抽样调查。 3.总体：要考察的全体对象称为总体。 4.个体：组成总体的每一个考察对象称为个体。 5.样本：被抽取的所有个体组成一个样本。 6.样本容量：样本中个体的数目称为样本容量。 7.频数：一般地，我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数。 8.频率：频数与数据总数的比为频率。 9.组数和组距：在统计数据时，把数据按照一定的范围分成若干各组，分成组的个数称为组数，每一组两个端点的差叫做组距。 本章要求通过实际参与收集、整理、描述和分析数据的活动，经历统计的一般过程，感受统计在生活和生产中的作用，增强学习统计的兴趣，初步建立统计的观念，培养重视调查研究的良好习惯和科学态度。 一元一次不等式组 一、填空： 1．a 的3倍与b 的2倍的差不大于5，用不等式表示为 ； 2．请写出解集为3x <的不等式： ．（写出一个即可） 3.不等式－2x ＜1的解集是 ． 4、不等式b ax >的解集是a b x <，则a 的取值范围是 。 5．已知a ＜5时，不等式15++≥a x ax 的解集是 ； 6．不等式x ＋4≤7的非负整数解是 ； 7．如果1 《常用逻辑用语》 一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是 （ ） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（ ） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④ 5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数， 则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．． 是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是 （ ） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。 其中真命题的序号 二、判断充分、必要条件 一元一次不等式和一元一次不等式组（三） 一．选择题 1.下列各式，是一元一次不等式的为（） A.x+2y+2020>0 B.-x>2009 C.2009/y-5<0 D.(x-2008)(x+2009)>0 2.下列说法中错误的是（） A.10不是x≥11的解 B.0是x<1的解 C.x>1是不等式x+2008>2008 D.x=-2009是x+2008<0 3.下列几种说法中正确的是（） A.如果a>b,则ac2>bc2(c≠0) B.如果ax>-a,则x C.如果a 不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式（组)表示不等关系; 不等式的主要性质： (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, （3）加法法则：c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,（同向可加) （4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘） (5)倒数法则:b a a b b a 1 10,> （6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 （7）开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 ２、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法(作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 １、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、,ac b 42-=?， 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < （三)线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ａx＋Ｂy+C=0某一侧所有点组成的平面区域．（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ａｘ+Bｙ+C＝０同一侧的所有点(y x,)，把它的坐标(y x,)代入Ax 1 不等式与不等式组期末复习讲义 常考专题一 不等式的性质 主要考查利用不等式的性质判断不等式的变形是否正确，题型以选择题为主． 例1 ：下列式子中，一元一次不等式有( )①314x -≥；②1263x + >；③136x -<；④0x π>；⑤132362 x x -+-<；⑥2x xy y +≥；⑦0x >. A .6个 B .5个 C .4个 D .3个 解析：③中 1 x 不是整式，⑥中含2个未知数，所以③⑥不是一元一次不等式，①②④⑤⑦都是一元一次不等式，故选B . 例2： 若a b >，则下列不等式不一定成立的是( ) A ．a m b m +>+ B ．()() 22 11a m b m +>+ C ．22 a b - <- D ．22 a b > 解析：根据不等式的性质针对四个选项进行分析即可．A ．根据不等式的基本性质1，可知a m b m +>+一定成立；B ．根据不等式的基本性质2， ∵2 10m +>，∴()() 2211a m b m +>+一定成立；C ．根据不等式的基本性 质3，∵102- <，∴22a b -<-一定成立；D ．根据不等式的基本性质3，a ，b 若都为负数，则22a b >不成立． 思维点拨 本题主要考查了不等式的基本性质，熟记不等式的基本性质是解题的关键．此类题目也可以用举反例的方法排除． 常考专题二 一元一次不等式(组)的解法 解一元一次不等式(组)是数学学习中必须掌握的基本运算技能，是解决实际问题的基础，解不等式(组)时，要严格依据不等式的性质按照解不等式(组)的步骤进行． 例3： 解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来： (1)672x x ≤-；(2)()5431,121.2 5x x x x +<+?? ?--≤? ?①② 分析：(1)解不等式并把解集在数轴上表示出来；(2)分别解不等式，并把 解集在数轴上表示出来． 解：(1)解不等式得2x ≥，在数轴上表示如下： (2)解不等式①，得1 2 x <-，解不等式②，得3x ≤， 在数轴上表示如下： 故不等式组的解集为1 2 x <- ． 思维点拨 一元一次不等式与一元一次不等式组的解法是整章的重点，要熟悉它们的解法，一方面要注意每个步骤的易错之处，另一方面要正确地画出数轴，找出解集，进一步确定特殊解． 初中数学 不等式与不等式组 中考试题（含答案） 一、 填空题 1.（2009年北京市）不等式325x +≥的解集是 . 2.（2009年泸州）关于x 的方程x kx 21=-的解为正实数，则k 的取值范围是 3．（2009年吉林省）不等式23x x >-的解集为． 4、（2009年遂宁）把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示，那么这个不等式组的解集是 . 5．(2009年云南省)不等式组40320x x ->??+>? 的解集 是 . 6.（2009年包头）不等式组3(2)412 1.3 x x x x --?? +?>-??≥，的解集是 ． 7.（2009年莆田）甲、乙两位同学参加跳高训练，在相同条件下各跳10次，统计各自成绩 的方差得22 S S <乙甲，则成绩较稳定的同学是___________．（填“甲”或“乙”） 8．(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 9.(2009年南充)不等式5(1)31x x -<+的解集是 ． 1-．（2009年甘肃白银）不等式组103x x +>??>-? ，的解集是 ． 11.（2009年宁波市）不等式组60 20x x -? 的解是 ． 12.(2009年义乌)不等式组 210 x o x -≤?? >?的解是 13、（2009江西）不等式组23732 x x +>??->-?， 的解集是 ． 14（2009年湘西自治州）3.如果x －y ＜0，那么x 与y 的大小关系是x y ．（填＜或＞符号） 15.（2009年烟台市）如果不等式组2 223 x a x b ?+???-?的解是 ． 17.（2009年新疆乌鲁木齐市）某公司打算至多用1200元印制广告单．已知制版费50元，每印一张广告单还需支付0.3元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x （张）满足的不等式为 ． 18．（2009年孝感）关于x 的不等式组12 x m x m >->+?? ?的解集是1x >-，则m = ▲ ． 19．（2009年厦门市）已知2ab =．（1）若3-≤b ≤1-，则a 的取值范围是____________．（2）若0b >，且2 2 5a b +=，则a b +=____________． 20．(2009武汉)．如图，直线y kx b =+经过(21)A ，，(12)B --，两点，则不等式 1 22 x kx b >+>-的解集为 ． 方程与不等式综合复习 【考纲要求】 1．会从定义上判断方程(组)的类型，并能根据定义的双重性解方程(组)和研究分式方程的增根情况； 2．掌握解方程(组)的方法，明确解方程组的实质是“消元降次”、“化分式方程为整式方程”、“化无理式为有理式”；3．理解不等式的性质，一元一次不等式(组)的解法，在数轴上表示解集，以及求特殊解集； 4．列方程(组)、列不等式(组)解决社会关注的热点问题； 5. 解方程或不等式是中考的必考点，运用方程思想与不等式(组)解决实际问题是中考的难点和热点． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.方程 含有未知数的等式叫做方程. 2.方程的解 能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解. 3.等式的性质 （1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式. 4.一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程= +b 0≠ ax叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项. 为未知数， ） （0 a x 5.一元一次方程解法的一般步骤 整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解). 6.列一元一次方程解应用题 (1)读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题” 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且根据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程. (2)画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看作已知量)，填入有关的代数式是获得方程的基础. 要点诠释： 列方程解应用题的常用公式： (1)行程问题： 距离=速度×时间 时间距离速度= 速度 距离 时间=； (2)工程问题： 工作量=工效×工时 工时工作量工效= 工效工作量 工时=； (3)比率问题： 部分=全体×比率 全体部分比率= 比率部分 全体=； (4)顺逆流问题： 顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； (5)商品价格问题： 售价=定价·折· 10 1 ，利润=售价-成本， %100?-=成本成本售价利润率； (6)周长、面积、体积问题：C 圆=2πR ，S 圆=πR 2 ，C 长方形=2()，S 长方形， C 正方形=4a ， S 正方形2，S 环形=π(R 22)，V 长方体 ，V 正方体3，V 圆柱=πR 2h ，V 圆锥=3 1πR 2 h. 考点二、一元二次方程 1.一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式 )0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2 ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项. 3.一元二次方程的解法 （1）直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如 b a x =+2)(的一元二次方程.根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根. （2）配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.配方法的理论根据是完全平方公式2 2 2 2()a ab b a b ±+=±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有 2017届高考数学二轮复习 第一部分 专题篇 专题一 集合、常用逻 辑用语、不等式、函数与导数 第四讲 不等式课时作业 理 A 组——高考热点基础练 1．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不一定能成立的是( ) A.c a ＜b a B.b －a c ＞0 C.b 2c 0，∴c a 0，a －c ac <0， 但b 2 与a 2 的关系不确定，故b 2c 0，即－16x 2＋56 x －1>0，解 得2 C ．4 D ．5 解析：先作出可行域，再求目标函数的最大值． 根据题意作出可行域如图阴影部分所示，平移直线y ＝－2x ，当直线平移到虚线处时，目标 函数取得最大值．由? ?? ?? 2x －y ＝0， x ＋y ＝3，可得A (1,2)，此时2x ＋y 取最大值为2×1＋2＝4. 答案：C 4．已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}，则函数y ＝f (－ x )的图象可以为( ) 解析：由f (x )<0的解集为{x |x <－3或x >1}知a <0，y ＝f (x )的图象与x 轴交点为(－3,0)，(1,0)， ∴f (－x )图象开口向下，与x 轴交点为(3,0)，(－1,0)． 答案：B 5．设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A ．6 B ．42 C ．2 2 D ．26 解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝42，当且仅当2a ＝2b ，a ＋b ＝3，即a ＝b ＝32 时，等号成立．故 选B. 答案：B 第九章 不等式与不等式组期末复习卷 班级 姓名 座号 成绩 一、选择题(每题5分,共30分) 1.若m n >,则下列不等式中成立的是( ) A.m a n b +>+ B.ma nb > C.22ma na > D.a m a n -<- 2.不等式240x -≥的解集在数轴上表示正确的是( ) A B C D 3.不等式4(2)2(35)x x ->+的非负整数解的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.不等式组{ 123x x -≤-<的解集是( ) A.1x ≥- B.5x < C.15x -≤< D.1x ≤-或5x > 5.已知点(39,1)M a a --在第三象限,且它的坐标都是整数,则a 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.0 6.若三角形三边长分别为3,5,1a -,则a 的取值范围为( ) A.1a <<7 B.7a -<<-1 C.a <-1 D.7a >- 二、填空题(每题5分,共30分) 7.不等式2(4)12x +≤的解集是__________. 8.已知x 的3倍与5的差是非负数,用不等式表示这一关系式为______________. 9.和小于15的最大的三个连续自然数是 . 10.不等式组{ 210353x x x x >-+≥的解集为_______________. 11.某种品牌的八宝粥,外包装标明:净含量为33010g g ±,表明了这罐八宝粥的净含量x 的范围是________________. 12.用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块,随着铁钉的深入,铁钉所 受的阻力也越来越大.当未进入木块的钉子长度足够时,每次钉入木块的钉 子长度是前一次的12.已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块(木块足够 厚),且第一次敲击后铁钉进入木块的长度是2cm ,若铁钉总长度为acm ,则 3- 不等式与不等式组（100道） 用不等式表示： 1、a 与1的和是正数； 2、x 的21 与y 的3 1的差是非负数； 3、x 的2倍与1的和大于3； 4、a 的一半与4的差的绝对值不小于a ． 5、x 的2倍减去1不小于x 与3的和； 6、a 与b 的平方和是非负数； 7、y 的2倍加上3的和大于－2且小于4； 8、a 减去5的差的绝对值不大于 解不等式（组），并在数轴上表示它们的解集 9、 21 3-x (x-1)≥1; 10、 23 4 -≥--x 11、? ??>+>-821213x x x 12、? ??<-<-x x x 332312 13、)7(4)54(3)13(2-->+--x x x x ； 14、4 2713752-- ≥+-x x x ； 15、???<+>-81312x x 16、???-≥++<-7255223x x x x 17、???->++>+x x x x 4211322 18、8223-<+x x 19、x x 4923+≥- 20、)1(5)32(2+<+x x 21、0)7(319≤+-x 22、 31 222+≥ +x x 23、 2 23125+<-+x x 24、5223-<+x x 25、 23 4 ->-x 26、)1(281)2(3--≥-+y y 27、12 13<--m m 28、)2(3)]2(2[3-->--x x x x 29、21 5329323+≤ ---x x x 30、4 1 328)1(3-- <++x x 31、)1(5 2 )]1(21[21-≤+-x x x 32、 224 1 6->--x x 33、 x x x 2124 1 6-≤-- 34、7)1(68)2(5+-<+-x x 35、46)3(25->--x x 36、 1215312≤+--x x 37、3 1 222-≥ +x x 38、8223-<+x x 39、x x 4923+≥- 40、)1(5)32(2+<+x x 41、0)7(319≤+-x 42、 31 222+≥ +x x 43、 2 2 3125+< -+x x 44、7)1(68)2(5+-<+-x x 45、)2(3)]2(2[3-->--x x x x 46、 121 5312≤+--x x 47、 2 1 5329323+≤ ---x x x 48、11(1)223 x x -<- 49、)1(5 2 )]1(21[21-≤+-x x x 50、 4 1 328)1(3-- <++x x 51、 ?->+-+2 5 03.0.02.003.05.09.04.0x x x 52、???≥-≥-.04, 012x x 53、???>+≤-.074,03x x 54、?????+>-<-.3342,121 x x x x 55、－5＜6－2x ＜3．高三第一轮复习10----常用逻辑用语与不等式训练题
不等式与不等式组(知识总结-试题和答案)
《专题一常用逻辑用语》知识点归纳
不等式与不等式组知识点归纳
不等式和不等式组总复习
集合与常用逻辑用语不等式试题一含答案
不等式与不等式组知识概念
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