小学数学-等差数列(教)
一、数列的概念
按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。
数列中共有的项的个数叫做项数。
女口：2、5、8 11、14、17、20、?从第二项起，每一项比前一项大3，递增数列
100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5，递减数列
二、等差数列与公差
一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。
三、常用公式
等差数列的总和=（首项+末项）项数亠2
项数=（末项-首项）“公差+1
末项=首项+公差（项数-1）
首项=末项-公差（项数-1）
公差=（末项-首项）“（项数-1）
等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数
中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与
末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
典例分析■
1
考点一：等差数列的基本认识
例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。
①6，10，14，18，22, (98)
②1, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 6;
③1, 2, 4, 8, 16, 32, 64;
④9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2;
⑤3, 3, 3, 3, 3, 3 , 3 , 3;
⑥1, 0, 1 , 0 , I, 0, 1, 0;
【考点】等差数列的基本认识
【解析】①是，公差d=4.
②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项.
③不是，因为4-2工2.
④是，公差d=l.
⑤是，公差d=0.
⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。
例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【解析】该数列为等差数列，首项为101 ,公差为2,第21个数的项数为21.则101+ (21-1) X2=141
例3、已知一个等差数列第9项等于131 ,第10项等于137,这个数列的第1项是多少？第19项是多少？
【考点】等差数列的基本认识
【解析】把数列列出来：83,89,95,101107,113,119,125,13,1137,143,149,155,16,167,173,179,185,191 答案：191
例4、2、4、6、8、10、12、-是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320,求它们中最小的一个. 【考点】等差数列公式的简单运用
【解析】利用等差数列的中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数
的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为320-：-5=64 ,因相邻偶数相差2,故这五个偶数
依次是60、62、64、66、68,其中最小的是60.
答案：60
111213IH1920 121314IH2021 131415IH2122
2021
卜
22IH28
I
29
【考点】数阵中的等差数列
【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加. (比较慢，这里不再写具体过程)
方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和二中间项项数.
先看行，因为是偶数行没有中间项，首项=11 72 ? III 20 (11 20) 10“ 2 =155，末项
=20 21 丨丨丨29 (20 29) 10"2=245 或者一=155 (10-1) 10=245 .这100 个数之和
(155 245) 10-：-2 =2000 .按列算同上.
方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40,所
以这100个数的平均数是20，这100个数之和=20x100 = 2000 .
答案：2000
考点三：等差数列的应用
例1、已知数列：2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, ，问2009是这个数列的第多少项？
【考点】等差数列的公式运用
【解析】偶数项的排列规律是：1、3、5、7,
奇数项的排列规律是：2、4、6、8,
方法一：可以看出两个数列都是等差数列?由于2009是奇
数，所以在偶数项数列中，它的项数是：（2009 -1）2 =1005，所以在整个数列中，2009的项数是1005 2 =2010，所以2009是这个数列的第2010项.
方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数1，偶数的项数是该数亠2，所以2009
是这个数列的第2009 - 1 =2010项.
答案：2010
例2、在11?45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？
【考点】等差数列的公式运用
【解析】先求被3整除的数的和；11?45中能被3整除的数有12, 15,…，45,和为:
12 V5 TII 42 45 (12 45) 12 "2 =342 ;于是，满足要求的数的和为:
(11 III 45) -342 =980 -342 =638 .
答案：638
例3、如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5
时，共需要火柴棍__________ 根。
【考点】找规律计算
【解析】找规律3, 3+6, 3+6+9-,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45
答案：45
例4、将一些半径相同的小圆按如下所示的规律摆放：第 1个图形中有6个小圈，第2个图形中有10个小圈,
第3个图形中有16个小圈，第4个图形中有24个小圈，…，依此规律，第6个图形有 ________________________________ 个小圈。
【考点】找规律计算 2010年，第8届，希望杯，4年级，1试 【解析】除周围4个小圆外，中间小圆的规律是
1^2, 2X 3, 3用,
第6个图有6X7+ 4 = 46个小圆。
答案：46
P (Practice-Oriented) -------------- 实战演练
1、 在数列3、6、9……,201中，共有多少数？如果继续写下去，第
201个数是多少？
【解析】（1）因为在这个等差数列中，首项
=3，末项=201，公差=3，所以根据公式：
项数=（末项-首项）一：一公差+1,便可求出。 （2 ）根据公式：末项=首项+公差
（项数-1）
解：项数=（201-3） -■■ 3+仁67 末项=3+3 （201-1 ） =603 答：共有67个数，第201个数是603
2、 全部三位数的和是多少？
【解析】所有的三位数就是从
100~999共900个数，观察100、101、102、……、998、999这一数列，发现
这是一个公差为1的等差数列。要求和可以利用等差数列求和公式来解答。 解：（100+999）
900 “2
=1099 900 一'2 =494550
答：全部三位数的和是 494550。
o 0
O0O o 000o 第2个图形
O O
O OOO O OOO O OOO O O 算3个图形
O O O O OOO OOOOO 0 0000 0°
0000
0 第4个图形
实战演练
课堂狙击
3、求下列方阵中所有各数的和：
1、2、3、4、49、50;
2、3、4、5、50、51；
3、4、5、6、51、52;
49、50、51、52
、97、
50、51、52、53
、
98、
98;
99
。
【解析】这个方阵的每一横行(或竖行)都各是一个等差数列，可先分别求出每一横行(或竖行)数列之和, 再求出这个方阵的和。
解：每一横行数列之和：
第一行：(1+50) 第二行：(2+51) 第三行：(3+51) 50 "2=1275 50^2=1325 50^2=1375
第四十九行：(49+98) 5^' 2=3675
第五十行：(50+99) 50 " 2=3725
方阵所有数之和：
1275+1325+1375+ ……+3675+3725
=(1275+3725) 50 " 2
=125000
4、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？
【解析】从已知条件912人围成16圈，一圈套一圈，从外到内各圈依次减少数列的和是912,项数是16，公差是6。题目要求是的等差数列末项
6人，也就是告诉我们这个等差=d x (n-1)=6 x (16-1)=90(人)
解：a n +a1=S 2"n=912 2 -16=114 (人)
外圈人数=(90+114) -：- 2=102 (人)
内圈人数=(114-90) 2=12 (人)
答：最外圈有102人，最内圈有12人。
5、有一串数，已知第一个数是是
。
【解析】6+4 (2003-1)
=6+4 2002
=8014
6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数
6、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多院共有个
座位。
【解析】末项=2+ ( 100+1) 2=200
和=(2+200) 100->2=10100
2个座位，第25排有70个座位，这个剧
7、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。最上面一层放本书，最下