稳定性理论及其应用学习总结

大连民族学院

稳定性理论及其应用

----非线性系统学习感悟

指导教师：袁学刚

所属院系：数学与信息科学学院

所属班级：联合培养141班

姓名：邱旭东

学号：20147086

稳定性理论及其应用

----非线性系统学习感悟对于非线性控制系统的学习我对其基本特性及应用思想进行了解。非线性系统的数学模型不满足叠加原理或其中包含非线性环节。包括非本质非线性（能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性）和本质非线性（用小偏差线性化方法不能解决的非线性）。它与线性系统有以下主要区别：

1.线性控制系统只能有一个平衡点或无穷多的平衡点。但非线性系统可以有一个、二个、多个、以至无穷多个平衡点。非线性系统与线性定常系统明显不同，其稳定性是针对各个平衡点而言的。通常不能说系统的稳定性如何，而应说那个平衡点是稳定的或不稳定的。

2.在线性系统中，系统的稳定性只与系统的结构和参数有关，而与外作用及初始条件无关。非线性系统的稳定性除了与系统的结构和参数有关外，还与外作用及初始条件有关。由于非线性控制系统与线性控制系统有很大的差异，因此，不能直接用线性理论去分析它，否则会导致错误的结论。对非线性控制系统的分析，还没有一种象线性控制系统那么普遍的分析、设计方法。

除了以上的主要特点外,也具有以下特性,在非线性系统中，除了从平衡状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，往往即使无外作用存在，系统也可能产生具有一定振幅和频率的稳定的等幅震荡。输入为正弦函数时，其输出的稳态分量也是同频率的正弦函数，输入和稳态输出之间仅在振幅和相位上有所不同，因此可以用频率响应来描

述系统的固有特性。而非线性系统输出的稳态分量在一般情况下并不具有与输入相同的函数形式。

非线性系统采用非线性微分方程描述，至今尚没有统一的求解方法，其理论也还不完善。为了更好的描述分析非线性系统,我们根据非线性系统的特点，总结了非线性系统工程上常采用的方法有：

1.线性化近似法

对于某些非线性特性不严重的系统，或系统仅仅只研究平衡点附近特性时，可以用小偏差线性化方法，将非线性系统近似线性化。

2.分段线性近似法

将非线性系统近似为几个线性区域，每个区域有对应的线性化微分方程描述。

3.相平面法

相平面法是非线性系统的图解分析法，采用在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下系统的运动形式。该方法只适用最高为二阶的系统。

4.描述函数法

描述函数法是线性系统频率特性法的推广，采用谐波线性化将非线性特性近似表示为复变增益环节，应用频率法分析非线性系统的稳定性和自持振荡。该方法适用于非线性系统中线性部分具有良好的低通滤波特性的系统。

通过对描述函数学习我们可以知道描述函数的应用条件：

①非线性系统的结构图可以简化为只有一个非线性环节N和一个线性环节)(s

G串联的闭环结构。

②非线性特性的静态输入输出关系是奇对称的，即)

y-

-

=，以保

x

y

)

(x

(

证非线性环节在正弦信号作用下的输出中不包含直流分量。 ③系统的线性部分)(s G 具有良好的低通滤波特性，以保证非线性环节在正弦输入作用下的输出中的高频分量被大大削弱。

我们知道描述函数的定义：非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数之比称为非线性环节的描述函数，用)(A N 来表示。

11

2

12111)(B A arctg A B A e A Y A N j ∠+==?

显然，01≠?时，)(A N 为复数。那么我们就可以通过描述函数来对非线性系统作近似化分析。其中组合非线性特性的描述函数具有以下特性：

①非线性特性的并联：若干个非线性环节并联后总的描述函数，等于个并联环节描述函数之和。

②非线性环节的串联：两个非线性环节相串联，串联后总的非线性特性的描述函数并不等于个串联环节描述函数的乘积。而是应该先求出这两个串联非线性特性的等效非线性特性，然后再求这个等效非线性特性的描述函数。

在用描述函数法研究的非线性系统应该是如下结构。

在上述所示的非线性系统结构中，非线性部分N 可以用描述函数)(A N 表示，线性部分)(s G 则用频率特性)(ωj G 表示。 由闭环系统的结构图，可得到系统的闭环频率特性)(ωj Φ如下

)

()(1)()()()()(ωωωωωj G A N j G A N j R j C j +==Φ 其闭环特征方程为

0)()(1=+ωj G A N

从而有

)

(1)(A N j G -=ω 上式)(1A N -称为非线性特性的负倒描述函数。 下图给出了常见非线性函数的负倒描述函数)(1A N -曲线，其中箭头表示了幅值A 的增大方向。

利用描述函数判别非线性系统稳定性的奈奎斯特判据是：

①若)(ωj G 曲线不包围)(1A N -曲线，则非线性系统是稳定的； ②若)(ωj G 曲线包围)(1A N -曲线，则非线性系统是不稳定的； ③若)(ωj G 曲线与)(1A N -曲线相交，理论上将产生振荡，或称为自激振荡。

由上述分析可知，当线性部分的频率特性)(ωj G 与负倒描述函数曲线)(1A N -相交时，非线性系统产生自激振荡。其中产生自激振荡的条

件为

)(1)(A N j G -=ω 可以改写为

πωj e A N j G -=-=1)()( 即 ???-=∠+∠=π

ωω)()(1)()(A N j G A N j G 那么 它的稳定性是指，当非线性系统受到扰动作用而偏离原来的周期运动状态，当扰动消失后，系统能够回到原来的等幅振荡状态的，称为稳定的自激振荡。反之，称为不稳定的自激振荡。我们判别自激振荡稳定的方法是：在复平面自激振荡附近，当按幅值A 增大的方向沿)(1A N -曲线移动时，若系统从不稳定区域进入稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是稳定的。反之，当按幅值A 增大的方向沿)(1A N -曲线移动是从稳定区域进入不稳定区域的，则该交点代表的自激振荡是不稳定的。

此外我们还用相平面法来研究非线性系统，它是一种图解分析法，通过在相平面上绘制相轨迹曲线，确定非线性系统在不同初始条件下系统的运动形式。它能通过定性分析来确定系统的稳定性，从相轨迹图我们可以回的有关系统特性的全部信息，该方法只适用最高为二阶的系统。

以上就是在学习非线性系统控制分析的部分收获。