《微分方程数值解法》复习 、练习题

第一章复习题

1、建立差分格式的三个主要步骤（三个离散化）。

2、差分格式的相容性、收敛性概念。

3、Poisson 方程的5点菱形差分格式，矩形、非矩形区域情形边界条件的

处理（离散化）。

4、对长方形区域作正方形网格剖分，求解Poisson方程边值问题的五点菱

形差分格式，按什么顺序对节点编号，可使差分方程带宽更窄？

（按短方向排）

5、差分方程有哪些共同特性，求解选用哪类方法？（大型稀疏，带状，

主对角占优等，一般采用迭代法）多重网格等略。

6、极值原理。

7、5点菱形差分格式求解Poisson 方程第一边值问题的收敛性。

第一章练习题

1、设有边值问题

取h=0.1的正方形网格。

（1）用5点菱形格式在内点建立差分格式；

（2）用截断误差为的方法离散化第三边界条件（有两种方式）；

（3）写出整理后的差分方程的矩阵形式

2、定义方形算子如下：

试讨论5点方形差分方程逼近微分方程的截断误差是几阶？

3、设有，

取h=1/3，列出5点方形差分格式所得的差分方程。

第二章复习题

1、差分格式稳定性与收敛性的定义。

2、有关求特征值的几个结论。

3、判断稳定性的矩阵法和Fourier分析法（Von-Neumann条件）的应用。

4、显隐格式在一般情况下的优缺点。

5、熟悉古典显、隐格式，六点对称隐格式（C-N格式）。

6、叙述Lax等价定理。

7、高维抛物型方程的ADI格式的优点。

8、了解非线性方程差分格式的建立，讨论稳定性的冻结系数法。

第二章练习题

1、设有求解抛物型方程组的初值问题的差分格式

试写出用Fourier分析法讨论稳定性时的增长矩阵。

2、对上题考虑另一个差分格式

试讨论该格式的稳定性。

3、对抛物型方程，考虑著名的Du Fort-Frankel（1953）格式

(1)推导该格式是否满足稳定性的Von-Neumann条件？

(2)该格式与Richardson格式有什么关系？

4、讨论求解的古典显格式的稳定性。

5、写出逼近的古典显格式。

6、讨论逼近的显格式

的稳定性。

7、对初值问题：

用截断误差为的方法将右边界条件离散化。

第三章复习题

1、设有一阶拟线性双曲型方程

（1）写出相应的特征线方程及特征线上的微分关系；

（2）熟悉特征线差分计算过程。

2、一阶双曲型方程组的定义、正规形式、特征线及其上的微分关系。

3、对，熟悉以下差分格式：

（1） L-F格式；（2）偏心差分格式；（3）C-I-R格式；

（4） Leap-Frog格式； (5) L-W格式。

4、差分格式偏向与特征线走向的关系，CFL条件的几何意义。

第三章练习题

1、设有，

，取步长h=0.2，，试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）计算u(x,t)在点处的近似值。

2、设有，a，c为常数，考虑差分格式

试讨论（1）该格式的稳定性；（2）该格式的截断误差。

第四章复习题

1、空间完备性的概念。

2、Banach空间、Hilbert空间的概念。

3、定义、内积、范数。

4、广义导数的定义、唯一性，与古典导数的关系。

5、一阶Sobolev空间的定义、内积、完备性；

二阶Sobolev空间的定义、内积、完备性。

6、变分法基本引理、结论。

7、由边值问题适当选取函数空间（集合），建立双线性泛函与线性泛函，提出两种变分问题。

8、古典解与广义解及其关系。

9、叙述Hilbert空间中变分方程解的存在唯一性定理。

10、变分问题的近似解描述以及Ritz-Galerkin方程的形式。

11、传统（古典）Ritz-Galerkin方法的主要缺点。

12、三角形网格剖分的优点和基本要求。

13、什么是单元形状函数？试探函数？试探函数空间？

14、试探函数的两个基本要求？属于哪个函数集合？、等。

（1）满足强制边界条件（如果有的话）；

（2）有适当的广义导数；

（3）是分段（片）m次多项式。

15、节点基函数有什么特性？会带来什么好处：属于哪个函数空间？、等。

16、提高有限元近似解精度的两个基本原则。

17、按什么原则对节点编号，可使有限元方程组带宽最小？

提示：相邻节点编号差的最大者达到最小。带宽：最大的邻点编号差×2+1.

18、有限元方程组的求解用什么方法较好。

19、（重点）常、偏微分边值问题，m=1,2,3时，分别提出单元形状函数和基函数的插值条件，形成有限元方程组的思路，有限元解的基函数表示。

第四章练习题

1、对微分方程边值问题

提出两种变分问题。

2、由Green第一公式推导Green第二公式

并对双调和方程边值问题

建立两个相应的变分问题。

3、针对二维Poisson方程，采用线性元求解，对下图的区域网格剖分，如何编号，有限元方程组带宽最小？带宽是多少？有限元方程组是多少阶？

4、设有边值问题

试建立相应的虚功问题和极小位能问题。

5、用线性有限元法求解边值问题

在处的值。（要求导出其相应的变分方程、变分问题，明确写出双线性泛函和线性泛函的具体形式，以及允许函数空间和试探函数空间。在用有限元方法求解时，仅取两个单元即可。）

第五章复习题

解抛物型方程的有限元方法的思路。

第六章复习题

1、总纲阵存储方法及特点。

2、有限元节点优化方法。

3、有限元程序设计的预处理。

4、对称性及降维问题。

5、有限元方法与有限差分方法的比较。

第六章练习题

1、设有一对称矩阵A，其中写有a ij的元素都是非零元素，其余全为零元素。

请采用两种方法对该矩阵进行非零元素压缩存储（一维存储），并举例说明如何查找。