关于三角形的全部公式
勾股定理:直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。c^2=a^2+b^2 . 正弦定理:
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (R是外接圆的半径)
余弦定理:
a^2=b^2+c^2-2bccosA
b^2=a^2+c^2-2accosB
c^2=a^2+b^2-2abcosC
面积公式:
1.海伦公式△ABC中三边为a,b,c。p=(a+b+c)/
2.
S(abc)=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]即已知三角形三边求面积的海伦公式。
2.已知三角形底a,高h,则S=ah/2
3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C,则S=absinC/2
4.设三角形三边分别为a、b、c,内切圆半径为r
则三角形面积=(a+b+c)r/2
5.设三角形三边分别为a、b、c,外接圆半径为r
则三角形面积=abc/4r
6.已知三角形三边a、b、c,则S=√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]}
7.三阶行列式求面积
| a b 1 |
S△=1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
(注意上式最后取绝对值。)
| a b 1 |
| c d 1 |
| e f 1 |
为三阶行列式,直角坐标系内坐标A(a,b),B(c,d), C(e,f)。
三角形的周长:
L=a+b+c
三角形内角和公式:∠A+∠B+∠C=180°。
常用几何公式大全
常用几何公式大全 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角) 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
最全面的三角形面积公式
最全面的三角形面积公式 一提到三角形面积公式,大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a , 高为h ,则 三角形面积S= 底 ? 高 ÷2 2 ah = B 实际上,三角形面积公式太多啦,上面得公式是最基本的公式,根据条件不同,三角形面积公式也不同。 ②已知三角形的周长为l ,内切圆半径为r ,则三角形面积2 lr S = ③已知三角形的三边长的乘积为L ,外接圆半径为R ,则三角形面积4L S R = ④已知三角形AOB 中,向量 OA a =uu r r ,OB b =u u u r r ,则三角形面积S = 此公式也适用于空间三角形求面积。 ⑤已知在平面直角坐标系中,三角形ABC 的三顶点坐标分别为,11(,)A x y ,22(,)B x y , 33C(,)x y , 则三角形面积1 1223 31 1121 x y S x y x y = 的绝对值1223311321321 2 x y x y x y x y x y x y =++---。
特别地,当(0,0)C ,或经过平移后(0,0)C ,此时,三角形面积12211 2S x y x y =-。 ⑥海伦(Heran )公式,已知△ABC 中,1 ,,,()2 AB c BC a CA b p a b c ====++,则 三角形面积S 我国宋朝时期也有类似的三角形面积公式,即秦九韶公式,也叫三斜求积公式。 S = ⑦已知三角形两边及夹角,则三角形面积公式为 111 sin sin sin 222 S ab C bc A ca B = == ⑧已知三角形两角及夹边,则三角形面积公式为 222sin sin sin sin sin sin 2sin()2sin()2sin() c A B b A C a B C S A B A C B C === +++ ⑨已知三角形两角A 、B 及其中一边的对边a ,则三角形面积公式为 2sin()sin 2sin a A B B S A += ⑩已知空间三角形ABC 的顶点111222333(,,), (,,),(,,)A x y z B x y z C x y z 。 则三角形面积212121313131 11 22 i j k S AB AC x x y y z z x x y y z z =?=------ 的绝对值
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是( ) A .100° B .100°或40° C .40° D .80° 2. 等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是( ) A .40° B .50° C .60° D .30° 3.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是( ) A .100° B .100°或40° C .40° D .80° 4.如图2,△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ,过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论:①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;②DE=BD+CE ;③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和;④BF=CF .其中正确的有( ) A .①②③ B .①②③④ C .①② D .① E D C B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图,C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF ,若∠A=18°,则∠GEF 的度数是( ) A .80° B .90° C .100° D .108° 二、填空题 6.已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它的底角的度数是_________. 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍,则它的顶角是________. 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,求底角的度数 9.已知:△ABC 中,AB=AC ,BD 是AC 上的高,且∠CBD=35°,则∠A= . 10.如图,△ABC 中AB=AC ,EB=FC BD =CE ,∠A=52°,则∠DEF 的度数是____ 11.如图,D 、E 在BC 上,AD=BD ,AE=CE ,若∠ADE=45°,∠AED=110°, 则∠B= ,∠C= ; 若∠ADE=40°,则∠BAC= ; 若∠BAC=120°,则∠DAE= . 12. 如图,∠B=∠D=90°,C 是BD 的中点,MC 平分∠AMD ,∠DCM=35°,∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题
三角形面积计算公式
《三角形面积计算公式》教学设计 四卦小学白保华 教学内容:人教版九年义务教育六年制小学数学第九册三角形面积 教材分析:人教版五年级上册84、85页三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是 在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。 学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方 形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标: 1、让学生经历三角形面积计算公式的探索过程,理解三角形面积公式的来源;并能灵活运用公式解决简单的实际问题。 2、在学习活动中,培养学生的实践动手能力,合作探索意识和能力,培养创新意识和能力。 3、通过实践操作,自主探究,使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题培养团结互助的合作思想品质。 教学重点:三角形面积计算公式的推导。 教学难点:运用拼、剪、平移、旋转等方法,发现正方形、长方形、平形四边形及三角形面积的相互联系推导出三角形面积计算公式。 教具准备:多媒体课件一套,投影仪。 学具准备:工具(尺、剪刀),三组学具(①完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各两个②长方形、正方形、平行四边形各一个③任意三角形若干个) 教学设计: 一、创设问题情境,质疑激励探索 师:同学们,今天老师为大家带来了几位老朋友,你们想和它们见见面吗? 1、课件出示:学生说名称及特征后, 平行四边形 出示关系集合图长方形 正方形
三角形面积公式教学设计(供参考)
三角形面积教学设计 教学内容:人教版五年级上册84----85页 教材分析:三角形的面积是本单元教学内容的第二课时,是在学生掌握了三角形的特征以及长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上学习的,是进一步学习梯形面积和组合图形面积的基础,教材首先由怎样计算红领巾的面积这样一个实际问题引入三角形面积计算的问题,接着根据平行四边形面积公式推导的方法提出解决问题的思路,把三角形也转化成学过的图形,通过学生动手操作和探索,推导出三角形面积计算公式,最后用字母表示出面积计算公式,这样一方面使学生初步体会到几何图形的位置变换和转化是有规律的,另一方面有助于发展学生的空间观念。学情分析:学生在以前的学习中,初步认识了各种平面图形的特征,掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算,学生学习时并不陌生,在前面的图形教学中,学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识,在学习方法上也有一定的基础,教学时从学生的现实生活与日常经验出发,设置贴近生活现实的情境,通过多姿多彩的图形,把学习过程变成有趣的、充满想象和富有推理的活动。 教学目标:1、引导学生用多种方法推导三角形面积的计算公式,理解长方形、平行四边形和三角形之间的内在联系。 2、通过操作使学生进一步学习用转化的思想方法解决新问题。 3、理解三角形的面积与形状无关,与底和高有关,会运用面积公式求三角形面积。 4、引导学生积极探索解决问题的策略,发展动手操作、观察、分析、推理、概括等多种能力,并培养学生的创新意识。 教学重点:理解并掌握三角形面积的计算公式。 教学难点:理解三角形面积的推导过程。 教法与学法:教法:演示讲解、指导实践。 学法:小组合作、动手操作。 教学准备:三角形卡片、多媒体课件 教学过程: 一、情境引入 师:同学们,我们每天都佩戴着鲜艳的红领巾,高高兴兴地来到学校学习新的知识,那你知道做一条红领巾需要多少布料呢?(不知道)我们佩戴的红领巾是什么形状的?(三角形),怎样计算三角形的面积呢?这节课我们就一起来研究三角形的计算方法(板书课题) [设计意图]通过情境的创设,给学生提供现实的问题情境,使学生产生解决问题的欲望,积极主动地参与到学习活动之中。 二、探究新知 1、复习平行四边形面积的求法 师:回忆一下,平行四边形面积计算公式是什么?是怎么推导的?
三角形角度的计算专题
三角形角度的计算专题 一、 选择题 1. 等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是( ) A .100° B .100°或40° C .40° D .80° 2. 等腰三角形的顶角是80°,则一腰上的高与底边的夹角是( ) A .40° B .50° C .60° D .30° 3.等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是( ) A .100° B .100°或40° C .40° D .80° 4.如图2,△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ,过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ,交AC 于点E ,那么下列结论:①△BDF 和△CEF 都是等腰三角形;②DE=BD+CE ;③△ADE 的周长等于AB 与AC 的和;④BF=CF .其中正确的有( ) A .①②③ B .①②③④ C .①② D .① E D C A B H F E D C A B H F G 4题 5题 5.如图,C 、E 和B 、D 、F 分别在∠GAH 的两边上,且AB=BC=CD=DE=EF ,若∠A=18°,则∠GEF 的度数是( ) A .80° B .90° C .100° D .108° 二、填空题 6.已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它的底角的度数是_________. 7.等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍,则它的顶角是________. 8.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,求底角的度数 9.已知:△ABC 中,AB=AC ,BD 是AC 上的高,且∠CBD=35°,则∠A= . 10.如图,△ABC 中AB=AC ,EB=FC BD =CE ,∠A=52°,则∠DEF 的度数是____ 11.如图,D 、E 在BC 上,AD=BD ,AE=CE ,若∠ADE=45°,∠AED=110°, 则∠B= ,∠C= ; 若∠ADE=40°,则∠BAC= ; 若∠BAC=120°,则∠DAE= . 12. 如图,∠B=∠D=90°,C 是BD 的中点,MC 平分∠AMD ,∠DCM=35°,∠CAB 是 第10题 第11题 A B C D E F 12 D A C B M 第12题
三角函数公式总结)
高中三角函数公式大全 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2A )=2 cos 1A - cos(2A )=2 cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -
sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin( 2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA = a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-
形心重心的理论计算公式
§3-4 重心和形心 一、重心的概念: 1、重心的有关知识,在工程实践中是很有用的,必须要加以掌握。 2、重力的概念:重力就是地球对物体的吸引力。 3、物体的重心:物体的重力的合力作用点称为物体的重心。 无论物体怎样放置,重心总是一个确定点,重心的位置保持不变。 二、重心座标的公式: (1)、重心座标的公式 三、物体质心的坐标公式 在重心坐标公式中,若将G=mg,G i=m i g代入并消去g,可得物体的质心坐标公式如下: 四、均质物体的形心坐标公式 若物体为均质的,设其密度为ρ,总体积为V,微元的体积为V i,则G=ρgV,G i=ρgV i,代入重心坐标公式,即可得到均质物体的形心坐标公式如下:
式中V=∑Vi。在均质重力场中,均质物体的重心、质心和形心的位置重合。 五、均质等厚薄板的重心(平面组合图形形心)公式: 令式中的∑A i.x i=A.x c=S y; ∑A i.y i=A.y c=S x 则S y、S x分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。 六、物体重心位置的求法工程中,几种常见的求物体重心的方法简介如下: 1、对称法 凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体,其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。 2、试验法对于形状复杂,不便于利用公式计算的物体,常用试验法确定其重心位置, 常用的试验法有悬挂法和称重法。 (1)、悬挂法 利用二力平衡公理,将物体用绳悬挂两次,重心必定在两次绳延长线的交点上。 悬挂法确定物体的重心方法见图 (2)、称重法 对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械,常用称重法来测定
三角形中的角度计算
三角形中的角度计算 要进行三角形的角度计算,首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °,则两底角为2 1(180°-n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °,则另一个底角也是n °,顶角为180°-2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式: 1、方程法, 2、推理代换法, 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中,AB=AC ,CD 平分∠C ,∠ADC=150°,求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内,已知的∠ADC 是△DBC 的外角,所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角,∠BCD 是底角的一半,可以用∠B 表示,所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角,∠ACD 是底角的一半, ∠ADC 是已知角,所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ,则∠ACB=21(180°-x),∠BCD=4 1(180°-x),由三角形的内角和定理,可得∠B+∠BCD=∠ADC ,即 x+4 1(180°-x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ,则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°, 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°-2×20°=140° 例2、在△ABC 中,∠A :∠B=5:7,∠C 比∠A 大10°,求∠C 解:设∠C=x,则∠A=x -10°,∠B= 57(x-10°),所以有 x+(x -10°)+5 7(x -10°)=180° 解得x=60°,即∠C=60° 例3、D 是△ABC 的BC 边上一点,AD=BD ,AB=AC=CD ,求∠BAC [分析]因为AD=BD ,AB=AC=CD ,所以有∠B=∠BAD=∠C , C B A