人教版高中数学,基本不等式(一)
人教版高中数学同步练习
§3.4 基本不等式:ab ≤
a +
b 2(一) 课时目标
1.理解基本不等式的内容及其证明;
2.能利用基本不等式证明简单不等式.
1.如果a ,b ∈R ,那么a 2+b 2≥2ab (当且仅当a =b 时取“=”号).
2.若a ,b 都为正数,那么当且仅当a =b 时,等号成立),称上述不等式为基本不等式,其中a +b 2
称为a ,b 的算术平均数,ab 称为a ,b 的几何平均数. 3.基本不等式的常用推论
(1)ab ≤????a +b 22≤a 2+b 22 (a ,b ∈R ); (2)当x >0时,x +1x ≥2;当x <0时,x +1x
≤-2. (3)当ab >0时,b a +a b ≥2;当ab <0时,b a +a b
≤-2. (4)a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ca ,(a ,b ,c ∈R ).
一、选择题 1.已知a >0,b >0,则a +b 2,ab , a 2+b 22,2ab a +b
中最小的是( )
A.a +b 2
B.ab
C. a 2+b 22
D.2ab a +b
答案 D
解析 方法一 特殊值法.
令a =4,b =2,则a +b 2=3,ab =8, a 2+b 22=10,2ab a +b =83.∴2ab a +b 最小. 方法二 2ab a +b =21a +1b ,由21a +1b ≤ab ≤a +b 2≤ a 2+b 22,可知2ab a +b 最小. 2.已知m =a +1a -2
(a >2),n =????12x 2-2 (x <0),则m 、n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m 答案 A 解析 ∵m =(a -2)+1a -2+2≥2(a -2)1a -2 +2=4, n =22-x 2<22=4.∴m >n . 3.设a ,b ∈R ,且a ≠b ,a +b =2,则必有( ) A .1≤ab ≤a 2+b 22 B .ab <1 2 C .ab 2 答案 B 解析 ∵ab ≤?? ??a +b 22,a ≠b ,∴ab <1, 又∵a 2+b 22>a +b 2 >0, ∴a 2+b 22>1,∴ab <1 2 . 4.已知正数0 A .a 2+b 2 B .2ab C .2ab D .a +b 答案 D 解析 因为a 、b ∈(0,1),a ≠b ,所以a +b >2ab ,a 2+b 2>2ab ,所以,最大的只能是a 2+b 2与a +b 之一.而a 2+b 2-(a +b )=a (a -1)+b (b -1),又0