初中函数综合教案

教育教师备课手册

教师

姓名

学生姓名填写时间2012.2.1

学科数学年级初三上课时间10:00-12:00 课时

计划

2小时

教学目标

教学内容中考复习函数综合

个性化学习问题解决基础知识回顾，典型例题分析

教学重点、难点

教学过程

一次函数

【教学目标】

1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据实际问题的条件或图象上的点的坐标确定正比例函

数和一次函数的解析式.

2.理解一次函数和正比例函数的图象与性质，理解它们的性质在实际应用中的意义.

3.会用图象法解二元一次方程组，能利用一次函数的图象与性质解决简单的实际问题.

【重点难点】

重点：一次函数的图象与性质.

难点：用图象法解二元一次方程组，及利用一次函数的增减性解决实际问题中的最值.

【考点例解】

例1 已知一次函数的图象经过点（2，5）和（-1，-1）两点.

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）设该一次函数的图象向上平移2个单位后，与x轴、y轴的交点分别是点A、点B，试求AOB

?的面积.

分析：本题主要考查用待定系数法求一次函数的解析式和函数图象的平移.

解答：（1）设一次函数的解析式为y kx b

=+.

把点（2，5）和（-1，-1）的坐标分别代入y kx b

=+，得

25

1

k b

k b

+=

?

?

-+=-

?

，解这个方程组，得

2

1

k

b

=-

?

?

=

?

.

∴一次函数的解析式为21

y x

=-+.

（2）将直线21

y x

=-+向上平移2个单位后，可得23

y x

=-+.

在函数23

y x

=-+中，令0

x=，得3

y=；令0

y=，得230

x

-+=，即

3

2

x=.

∴ 32OA =，3OB =. ∴ 1139

32224

AOB S OA OB ?=?=??=.

反比例函数

一、基础知识

1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x

k y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：

⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1.

⑵比例系数0≠k

⑶自变量x 的取值为一切非零实数。 ⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法

① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数） ② 描点（有小到大的顺序） ③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x

k

y =

（k 为常数，0≠k ）中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。 ⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =

（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x

k

y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。 4．反比例函数性质如下表：

k 的取值

图像所在象限 函数的增减性

o k >

一、三象限 在每个象限内，y 值随x 的增大而减小 o k <

二、四象限

在每个象限内，y 值随x 的增大而增大

5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ） 6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数x

k y =中的两个变量必成反比例关系。 7. 反比例函数的应用

二、典型例题分析

【例1】如果函数2

22

-+=k k

kx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的值是多少？

【解析】有函数图像为双曲线则此函数为反比例函数x

k y =，（0≠k ）即kx y =1

-（0≠k ）又在第

二，四象限内，则0

???<-=-+01222k k k 解得??

???<=

-=0211k k k 或

1-=∴k

1-=∴k 时函数222-+=k k kx y 为x

y 1

-=

【例2】在反比例函数x

y 1

-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3

210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >> 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 解法一：由题意得111x y -

=，221x y -=，3

31x y -= 3210x x x >>> ，213y y y >>∴所以选A

解法二：用图像法，在直角坐标系中作出x

y 1

-

=的图像 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A 解法三：用特殊值法

213321321321,1,1,2

1

1,1,2,0y y y y y y x x x x x x >>∴=-=-=∴-===∴>>>令

【例3】如果一次函数()的图像与反比例函数x

m

n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为（ ）

【解析】

??

?==??

???=-=+∴??? ??-=+=12132

212213n m m n n m x x m n y n mx y 解得，，相交于与双曲线直线 ?????==???-=-=??

?

??=+==+=∴2

211

11121,122211y x y x x y x y x y x y 得解方程组双曲线为直线为 ()11--∴，另一个点为

【例4】 如图，在AOB Rt ?中，点A 是直线m x y +=与双曲线x

m

y =

在第一象限的交点，且2=?AOB S ，则m 的值是_____.

图

解:因为直线m x y +=与双曲线x

m

y =过点A ,设A 点的坐标为()A A y x ,.

则有A

A A A x m

y m x y =

+=,.所以A A y x m =. 又点A 在第一象限,所以A A A A y y AB x x OB ====,. 所以m y x AB OB S A A AOB 2

1

2121==?=?.而已知2=?AOB S . 所以4=m .

二次函数

〖教学目标〗

1． 理解二次函数的概念；

2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二

次函数的图象；

3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2

＋k 的图象，了解特殊与一般相互

联系和转化的思想；

4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；

5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的

最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

一、知识体系

二、知识回顾

1. y=ax 2

2. y=ax 2+c

3. y=a(x-h)2

对函数的再认识

二次函数的定义

二次函数的图象性质 二次函数的表达式

1. 函数表达式及求法

2. 图象法

3. 列表法

二次函数与一元二次方

程

1、 二次函数与一 元二次方

程的关系

2、利用图象求一 元二次方程的近似解 二次函数的应用

1、最大利润

2、 最大面积

3、 坐标系的建立

二次函数

1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2

++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.

【例1】下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是，指出a 、b 、c ． (1)y=1-3x 2

； (2)y=x(x-5)；

(3)y=3x(2-x)＋3x 2

； (4)y ＝(x ＋2)(2-x) (5)y=x 4

＋2x 2

＋1．

2.二次函数c bx ax y ++=2

用配方法可化成：()k h x a y +-=2

的形式，其中

a

b a

c k a b h 4422

-=-=，.

【例2】求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y 轴的抛物线的解析式．

3.抛物线c bx ax y ++=2

中，c b a ,,的作用

（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2

ax y =中的a 完全一样.

（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2

的对称轴是直线

a

b

x 2-

=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左

侧；③0

b

（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.

（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴交点的位置.

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2

与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：

①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0

b

. 4.用待定系数法求二次函数的解析式

（1）一般式：c bx ax y ++=2

.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.

（2）顶点式：()k h x a y +-=2

.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.

【例3】.已知122

12

++-

=x x y (1)把它配方成y ＝a(x-h)2

＋k 形式；

(2)写出它的开口方向、顶点M 的坐标、对称轴方程和最值； (3)求出图象与y 轴、x 轴的交点坐标； (4)作出函数图象；

(5)x 取什么值时y ＞0，y ＜0；

(6)设图象交x 轴于A ，B 两点，求△AMB 面积．

5.直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0, c ).

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2

).

（3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程

02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判

定：

①有两个交点?0>??抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）?0=??抛物线与x 轴相切； ③没有交点?0

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方

程组

c

bx ax y n kx y ++=+=2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l 与G 有两个交点; ②方

程组只有一组解时?l 与G 只有一个交点；③方程组无解时?l 与G 没有交点.

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为()()0021，，，

x B x A ，由于1x 、2x 是方程02

=++c bx ax 的两个根，故

a

c

x x a b x x =

?-=+2121,

y

O

B

C

D 1M x

24A ()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ?=

-=-???

??-=--=

-=

-=44422

212

212

2121

三、典型例题分析

【例1】（2008年泰州市）二次函数342

++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得到，

下列平移正确的是(B)

A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位;

B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位;

C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位;

D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位

【例2】(2010年安徽省芜湖市)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象如图所示，反比例函数y ＝ a x

与正比

例函数y ＝（b ＋c ）x 在同一坐标系中的大致图象可能是（B ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【例3】（2010年浙江省东阳县）如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取734≈）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？（取562≈） 【答案】（1）y=－

4)6(12

1

2+-x （2）y=0, x=6+43︽13 （3）设y=

2)(12

1

2+-m x m=13+26︽18 y=0, x=18±26︽23 ∴ 再向前跑10米

【例4】（2010年四川省眉山）如图，Rt △ABO 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的负半轴和y 轴的正半轴

上，O 为坐标原点，A 、B 两点的坐标分别为（3-，0）、（0，4），抛物线2

23

y x bx c =++经过B 点，且顶点在直线5

2

x =

上．

课堂练习

函数综合试题演练

1、（2006重庆）已知：m n

、是方程2650

x x

-+=的两个实数根，且m n

<，抛物线2

y x bx c

=-++

的图像经过点A(,0

m)、B(0n

，).

(1)求这个抛物线的解析式；

(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；

（注：抛物线2

y ax bx c

=++(0)

a≠的顶点坐标为

2

4

(,)

24

b a

c b

a a

-

-）

(3)P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于H

点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求

出P点的坐标.

[解析]（1）解方程2650,

x x

-+=得

12

5,1

x x

==

由m n

<，有1,5

m n

==

所以点A、B的坐标分别为A（1，0）,B（0，5）.

将A（1，0）,B（0，5）的坐标分别代入2

y x bx c

=-++.

得

10

5

b c

c

-++=

?

?

=

?

解这个方程组，得

4

5

b

c

=-

?

?

=

?

所以，抛物线的解析式为245

y x x

=--+

（2）由245

y x x

=--+，令0

y=，得2450

x x

--+=

解这个方程，得

12

5,1

x x

=-=

所以C点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）.

过D作x轴的垂线交x轴于M.

则

127

9(52)

22

DMC

S

?

=??-=

1

2(95)14

2

MDBO

S=??+=

梯形

，

125

55

22

BOC

S

?

=??=

所以，

2725

1415

22

BCD DMC BOC

MDBO

S S S S

???

=+-=+-=

梯形

.

（3）设P点的坐标为（,0

a）

因为线段BC过B、C两点，所以BC所在的值线方程为5

y x

=+.

那么，PH与直线BC的交点坐标为(,5)

E a a+，

PH与抛物线245

y x x

=--+的交点坐标为2

(,45)

H a a a

--+.

由题意，得①32EH EP =，即2

3(45)(5)(5)2a a a a --+-+=+

解这个方程，得3

2

a =-或5a =-（舍去）

②23EH EP =，即2

2(45)(5)(5)3

a a a a --+-+=+

解这个方程，得2

3a =-或5a =-（舍去）

P 点的坐标为3(,0)2-或2

(,0)3

-.

5、如图14，抛物线E ：342

++=x x y 交x 轴于A 、B 两点， 交y 轴于M 点。抛物线E 关于y 轴对称的抛物线F 交x

轴于

C 、

D 两点。

⑴求F 的解析式；

⑵在x 轴上方的抛物线F 或E 上是否存在一点N ，使以A 、C

N 、M 为顶点的四边形是平行四边形。若存在，求点N 坐标；

若不存在，请说明理由；

⑶若将抛物线E 的解析式改为c bx ax y ++=2

，试探索问题⑵。

[解析] 当y =0时，0342

=++x x ，解得x 1=－3，x 2=－1，

∴A 、B 点坐标分别为（－3，0）、（－1，0） 当x ＝0时，y ＝3，∴M 点坐标为（0，3），A 、B 、M 三点关于y 轴得对称点分别是D 、C 、M ，∴D 、C 坐标为（3，0）、（1，0）

设F 的解析式为32

++=bx ax y

??

?++=++=3

03

390b a b a ∴a ＝1，b ＝－4

∴F 的解析式为342

+-=x x y

（2）存在。假设MN ∥AC ，∴N 点的纵坐标为3。

若在抛物线F 上，当y =3时，3432

+-=x x ，则x 1=0，x 2=4 ∴N 点坐标为(4，3)，∴MN =4，

由(1)可求AC =4，∴MN =AC ，∴四边形ACNM 为平行四边形。

根据抛物线F 和E 关于y 轴对称，故N 点坐标为(4，3)或(－4，3)

(3) 存在。假设MN ∥AC ，∴N 点的纵坐标为c 。设y ＝0，∴02

=++c bx ax

∴a

ac b b x 242-±-=，

∴A 点坐标为(a ac b b 242---，0)，B 点坐标为(a

ac

b b 242-+-，0)

∴C 点坐标为(a

ac

b b 242--，0)，∴AC =a b

在抛物线E 上，当y =c 时，c bx ax c ++=2

，x 1=0，x 2=a

b

- ∴N 点坐标为(a

b

-

，0) NM =0－(a b -

)=a

b

，∴NM =AC ，∴四边形ACMN 为平行四边形。 根据抛物线F 和E 关于y 轴对称，故N 点坐标为(a

b

-，c)或(a b ，c)。

8、（2006吉林长春）如图，在平面直角坐标系中，两个函数62

1

,+-==x y x y 的图象交于点A 。动

点P 从点O 开始沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，作PQ ∥x 轴交直线BC 于点Q ，以PQ 为一边向下作正方形PQMN ，设它与△OAB 重叠部分的面积为S 。 （1）求点A 的坐标。 （2）试求出点P 在线段OA 上运动时，S 与运动时间t （秒）的关系式。

（3）在（2）的条件下，S 是否有最大值？若有，求出t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值；若没有，请说明理由。 （4）若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当正方形PQMN 与△OAB 重叠部分面积最大时，运动时间t 满足的条件是____________。 [解析]

（1）由??

?

??+-==,621

,

x y x y 可得???==.4,4y x ∴A （4，4）。

（2）点P 在y = x 上，OP = t ，

则点P 坐标为).2

2,22(

t t 点Q 的纵坐标为

t 2

2

，并且点Q 在621+-=x y 上。

∴

t x x t 212,62

1

22-=+-=， 即点Q 坐标为)2

2

,

212(t t -。 t PQ 2

2

312-

=。

当t t 2

2

22312=-

时，23=t 。 当时230

≤＜t ， .262

3)22312(222t t t t S +-=-=

当点P 到达A 点时，24=t ，

当242

3＜t＜时， 2

)2

2312(t S -

=

1442362

92

+-=

t t 。 （3）有最大值，最大值应在230

≤＜t 中， ,12)22(2

3

12)824(232623222+--=++--=+-=t t t t t S

当22=t 时，S 的最大值为12。 （4）212≥t 。