五年级数学培优：质数、合数、分解质因数

１、按照约数个数的多少可以把自然数分为、、。

２、4×7=28，4是28的，7是28的，也是28的。

３、91、25、1、87、61、54、97中，质数有，合数有。

把合数分解质因数：

１、一个长方形的面积是130平方厘米，它的长和宽是互质数。这个长方形的长和宽可能是多少？

２、用2520个棱长是1厘米的正方体堆成一个长方体，它的高是12厘米，长和宽都大于高。

它的长和宽各是多少厘米？

３、26÷（）=（）……2，在括号内填入适当的数，使等式成立，共有几种不同的填法？

４、在3张牌上分别写上3个最小的连续奇数，如果随意从其中取出至少一张组成一个数，其中有几个是质数？将它们写出来。

５、小聪的姐姐参加了今年的中学数学竞赛，小聪问姐姐：“这次竞赛你得了多少分？获第几名？”姐姐告诉他：“我得的名次和我的岁数及我的分数乘起来是2910，你看我的成绩和名次各是多少？”

６、⑴两个质数的和是30，这两个质数的乘积的最小值是多少？

⑵两个合数的和是30，这两个合数的乘积的最大值是多少？

７、把9、15、28、30、34、55、77、85这八个数平均分成两组，使每组四个数的乘积相等，应该怎样分？

通过本次学习，我的收获是

。

第一部分必做题

１、(☆)两个质数的和是16，这两个质数的积可能是（）或（）。

２、(☆)前1000个自然数（不包括0）中有168个质数，那么合数的个数有（）个。３、(☆)一个长方体的体积是105立方厘米，它的长、宽、高是三个不同的质数，这个长方体的表面积是（）平方厘米。

４、(☆)判断。

⑴一个质数的约数都是质数。（）

⑵两个质数相乘的积一定是合数。（）

⑶只有合数有质因数，质数没有质因数。（）

⑷一个质数加上2以后，结果还是质数，20以内这样的质数有5个。

（）

⑸质数与质数的和一定是合数。（）

５、(☆)有两个合数，这两个合数又是互质数，这样的数有很多个，如果这两个合数的积是一个最大的四位数，这两个合数是（）和（）。

６、(☆☆)两个质数的和是40，求这两个质数的乘积的最大值是多少？

７、(☆☆)一包糖有224块，要分成块数相等的几包，每包块数要在5块以上、10块以下，共有几种分法？

８、(☆☆)用105个大小相同的正方形拼成一个长方形。请设计不同的拼法。

９、(☆☆)把504与数a相乘，正好得到一个平方数，数a是多少？

第二部分选做题

10、(☆☆)8642013579这个数是质数还是合数？为什么？

11、(☆☆)三个连续自然数的最小公倍数是168 ，这三个数分别是

（）、（）、（）。

12、(☆☆☆)下面四个积中，哪个积与其他的积不相等？（写出分析过程）

①9×28×55 ②15×21×44

③22×35×36 ④10×33×42

13、(☆☆)陈老师有一张电影票，这张电影票的排数与座位号数的最小公倍数是84，最大公约数是

3，那么陈老师的电影票是几排几座？

14、(☆☆☆)一个长方体，前面和右面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高

以厘米为单位的数都是质数，这个长方体的体积和表面积各是多少？

15、(☆☆)a和b是两个不同的质数，并且a比b小。

⑴如果a+b=18，ab=65，那么，a= ，b= 。

⑵如果a+b=18，ab=77，那么，a= ，b= 。

16、(☆☆☆)晓岚家的电话号码是个七位数，它恰好是100以内最大质数与另外几个连续质数

的积，这个积的后四位数恰好是前三位数的10倍，晓岚家的电话号码是多少？

哥德巴赫猜想

二百多年前，有一位德国数学家哥德巴赫，他发现每一个不小于6的偶数，都可以写成两个素数（质数）的和。例如：

6＝3＋3 100＝3＋97 1000＝3＋997

8＝3＋5 102＝5＋97 1002＝5＋997

12＝5＋7 104＝7＋97 1004＝7＋997

………………

哥德巴赫对许多偶数进行了检验，都说明这个推理是正确的。后来，有人对偶数一个一个地验算，一直验算到三亿三千万的数，都表明哥德巴赫这个发现是正确的。

但是，自然数是无限的，是不是这个论断对所有的自然数都正确呢？还必须加以证明。哥德巴赫自己无法证明。1742年他写信给当时有名的大数学家欧拉，请他帮忙作出证明。后来欧拉回信说：他认为哥德巴赫提出的问题是对的，不过他也没有办法证明。因为没能证明就不能成为一条规律，所以只能说是一个猜想。人们就把哥德巴赫提出的问题称为“哥德巴赫猜想”。

从此，哥德巴赫猜想成了一道世界有名的难题。有人称它为“皇冠上的明珠”，它是数学上的一座高峰，谁能攀上这座高峰呢？

哥德巴赫猜想从1742年提出来后，近二百年一直没有人能证明它。

1920年，挪威数学家证明了：每一个很大的偶数（我们叫它大偶数）是九个素数的积加上九个素数的和，简称“（9＋9）”。

1924年，法国的拉德巴哈尔证明了“（7＋7）”（就是说，每个大偶数是七个素数的积加上七个素数的积）。

以后在各国数学家的努力下，包围圈越来越小。证明从（9＋9）→（7＋7）→（6＋6）→……到1972年，我国青年数学家陈景润向这座高峰跨上了一大步，在世界上第一次证明“（1＋2）”，就是任何一个充分大的偶数，都可以表示为一个素数加上两个素数的积。例如：8＝2＋2×3，18＝3＋3×5，98＝7＋13×7。

陈景润的研究成果，引起国际上的重视，国外把（1＋2）这个证明命名为“陈氏定理”。但最终解决哥德巴赫猜想这一世界难题，还需要人们付出艰苦的劳动。