随机序列产生及数字特征估计

实验一：随机序列产生及数字特征估计

一、实验目的

1. 学习和掌握随机数的产生方法。

2. 实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理

1.随机数的产生

随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布，即U(0,1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

=1,=mod(k,N)

=(1.1)

序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。

下面给出了（1.1）式的3 组常用参数：

①N =1010，k =7，周期5107；

②（IBM随机数发生器）N=2 31, k =216+3，周期510 8；

③（ran0）N= 231- 1，k=75 ，周期2109；

由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理1.1 若随机变量X具有连续分布函数F X()，而R为(0,1)均匀分布随机变量，则

有

X= F X-1() (1.2)由这一定理可知，分布函数为F X()的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按(1.2)式进行

变换得到。

2.MATLAB 中产生随机序列的函数

（1）(0,1)均匀分布的随机序列，

函数：rand

用法：x = rand(m,n)

功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。

（2）正态分布的随机序列

函数：randn

用法：x = randn(m,n)

功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。

如果要产生服从N ()分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。

（3）其他分布的随机序列

MATLAB上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，表1.1列出了部分函数。

表1.1 MA TLAB中产生随机数的一些函数

3.随机序列的数字特征估计

对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列X(n)为遍历过程，样本函数为(n)，其中n= 0,1,2 ,, N-1 。那么X(n)的均值、方差和自相关函数的估计为

(1.3)

(1.4)

m=0,±1, ±2…

(1.5)

利用MATLAB的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。

（1）均值函数

函数：mean

用法：m = mean(x)

功能：返回按(1.3)式估计X(n)的均值，其中x为样本序列(n)。

（2）方差函数

函数：var

用法：sigma2 = var(x)

功能：返回按(1.4)式估计X(n)的方差，其中x为样本序列(n)，这一估计为无偏估计。

（3）互相关函数

函数：xcorr(x,y)

用法：c = xcorr(x,y)

c = xcorr(x)

c = xcorr(x,y,’opition’)

c = xcorr(x,’opition’)

功能：xcorr(x,y)计算X(n)与(n)的互相关，xcorr(x)计算X(n)的自相关。

option选项可以设定为：

‘biased’ 有偏估计，即

m=0,±1, ±2…(1.6)

‘unbiased’ 无偏估计，即按(1.5)式估计。

‘coeff’ m = 0时的相关函数值归一化为1。

‘none’ 不做归一化处理。

三、实验内容及结果

1. 采用线性同余法产生均匀分布随机数1000个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。

（1）实验代码：

m.文件代码如下：

function f=suiji1(p)

x=zeros(p,1);

k=7;N=10^10;y0=1; % 第一种方法

x(1)=mod(k*x0,N);

for i=2:1:p

x(i)=mod(k*x(i-1),N);

end

y=x/N;

plot(y)

m=mean(y)

sigma=var(y)

end

（2）实验过程

当p=1000（产生1000个数列）

输入：

suiji1(1000)

m =

0.4813

#理论值为0.5#

sigma =

0.0847

#理论值为1/12 (0.08333)#

得到伪随机数列的图如下：

当p=5000（产生5000个数列）得到伪随机数列的图如下：

输入：

suiji1(5000)

m =

0.4985

#理论值为0.5#

sigma =

0.0852

#理论值为1/12 (0.08333)#

（3）实验结果：

由上述实验过程，可得结果：

均值：m =0.4813 方差：d =0.0847

理论值:m0=0.5,d0=1/12=0.8333,实验结果与理论值相接近，误差比较小。

改变样本个数：N=100000：

m =0.4996 d = 0.0836

可见样本数增大与理论值误差减小，所以样本数越大，误差越小，实验结果越接近理论值。

2. 参数为λ的指数分布的均匀分布函数为利用反函数法产生参数为

0.5的指数分布随机数1000个，测试其方差和相关函数。

（1）实验代码及过程：

输入代码：

a=rand(1,1000);

b=log(1-a)*(-2);

sigma=var(b)

sigma=

4.3328

plot(b)

下图为随机b的图：

再输入：

c=xcorr(b)

plot(c)

（2）实验结果：

方差：sigma =4.3328，相关函数取值绘制在下图中：

结论：

由相关函数取值图可以看到，在中心处相关函数取值大，即相关程度大；在相距远处取值小，即相关程度小。

3、产生N(1,4)的高斯分布，估计均值，方差和相关函数

(1)实验代码及过程

代码如下：

f=randn(1,1000)*2+1;

#或f=normrnd(1,2,1000,1)# m=mean(f);

m =

0.9350

sigma=var(f)

sigma =

4.0139

c=xcorr(f)

plot(f)

plot(c)

(2)、实验结果

结果如下：

均值：m = 0.9350 方差：d = 4.0139

与理论结果接近，结果正确。

四、实验小结

（1）学会了产生随机序列以及估计随机序列的均值、方差、相关函数等数字特征的方法；（2）学习了均匀分布序列的的产生方法、线性同余法，还有三个估计随机序列数字特征的函数，均值函数mean，方差函数var，以及相关函数xcorr的使用；

（3）通过练习，加深了对随机序列的及其数字特征的理解。