高等数学D微积分试题及答案
一、选择题(每题2分)
1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2）
B 、（0，lg2]
C 、（10,100）
D 、（1,2）
2、x=-1是函数x ?()=()
22
1x x x x --的（）
A 、跳跃间断点
B 、可去间断点
C 、无穷间断点
D 、不是间断点
3、试求02lim
x x
→等于（）
A 、-
1
4
B 、0
C 、1
D 、∞ 4、若
1y x
x y
+=，求y '等于（） A 、
22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y
-- D 、
22x y
x y +-
5、曲线
2
21x
y x =
-的渐近线条数为（）
￥
A 、0
B 、1
C 、2
D 、3
6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、
2y x = D 、ln y x = (0)x >
二、填空题（每题2分） 1、
__________
2、、2(1))lim
()1
x n x
f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________
3、21lim
51x x bx a
x
→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________
5、ln
2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________
@
三、判断题（每题2分）
1、2
2
1x y x =
+函数是有界函数 ( )
2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( )
3、lim
β
βαα
=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin
x
y x
=求函数 的导数
2、21
()arctan ln(12
f x x x x dy =-+已知），求
3、2
326x
xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求
【
4、20tan sin lim
sin x x x
x x →-求
5、
计算
6、2
1
0lim(cos )x x x +
→计算
五、应用题
1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R
x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每
件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大（8分） 2、描绘函数
21
y x x
=+
的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01
lim (),lim ()x x f x A f A x
+→+∞→==则 2、证明方程10,1x
xe =在区间（）内有且仅有一个实数
-
一、 选择题
1、C
2、C
3、A
4、B
5、D
6、B 二、填空题 1、0x
= 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-=
三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、×
四、计算题
1、
1sin
1
sin
1sin ln 1
sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )
x
x
x x
x x
y x e e x x x x x x x x x x x
'='='
??=-+????=-+（（
%
2、
22
()112(arctan )121arctan dy f x dx
x
x x dx x x xdx
='=+-++=
3、 解：
2
22
2)2)222302323(23)(23(22)(26)
(23x y xy y y x y
y x y y x y x y yy y x y
--'+'=-∴'=--'----'∴''=
-
4、 解：
2
223000tan sin ,1cos 2
1tan (1cos )12lim lim sin 2
x x x x x x x x
x x x x x x x →→→--∴==当时，原式=
5、 解：
；
652
3
22
22
2
61)6111611
6(1)166arctan 6arctan
x t dx t t
t t t t t t
t t C C
===
+=++-=+=-+=-+=-+??
?
?令原式（
6、 解：
2
2
01
ln cos 0
1lim
ln cos 202
0001
2
lim 1lim ln cos ln cos lim 1
(sin )
cos lim 2tan 1
lim 22x x
x
x x
x x x x x e e
x x
x
x x x x
x x e
+
+
→++++→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：
原式
五、应用题
1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x
222()()()100(20050)2(50)200()45050()0,,()4(50)
4
1
(502)
4
1
0250
2
25L x R x C x ax
x x x x ax x a x L x x a a
L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==
-=
'=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值
2、 解：
()(
)2
3
00,01
202201
D x y x x y x y x y x =-∞?+∞='=-
'==''=+
''==-，间断点为令则令则
渐进线：
3
2lim lim 001
lim x x x y y y x y y x y x x
→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线
是的铅直渐近线无斜渐近线
图象
六、证明题 1、 证明：
lim ()0,0
()11101
()1
lim ()x x f x A
M x M f x A x M
M M x
f A x f A x
εε
ξε
→∞
→∞=∴?>?>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即
2、 证明：
[]()1()0,1(0)10,(1)10
0,1()0,1()(1)0,(0,1)
()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又
则在上单调递增
方程在（）内有且仅有一个实根