正弦定理和余弦定理知识点总结附答案
高频考点一 利用正弦定理、余弦定理解三角形
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(3)(2015 ·广东 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .若a ＝ 3，sin B ＝2，
π
C ＝π
6 ，
则
b ＝ _____ .
答案
(1)B (2)45 °， 30°， 105° (3)1
解析 (1) ∵ b sin A ＝ 6× 22
＝ 3 ，∴ b sin A ∴满足条件的三角形有 2 个． (2) 由题意知 a ＝ 2b ， a 2＝ b 2＋ c 2－2bc cos A ， 222 即 2b 2＝ b 2＋ c 2 － 2bc cos A ， 又 c 2 ＝ b 2 ＋ 2bc ， 21 ∴ cos A ＝ 2 ， A ＝45°， sin B ＝2， B ＝30°，∴ C ＝105 【感悟提升】 (1) 判断三角形解的个数的两种方法 ①代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的值域等判断． ②几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数． A ． 1 个 B ．2个 C ． 0 个 D ．无法确定 (2) 在△ ABC 中，已知 次是 ． sin A ∶sin B ＝ 2∶1，c 2＝ b 2＋ 2bc ，则三内角 A ，B ，C 的度数依 ) 例 1、 (1) 在△ ABC 中，已知 a ＝2， b ＝ 6， A ＝45°，则满足条件的三角形有 ( (2) 已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形．可用正弦定理，也可用余弦定理．用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数． 变式探究】 (1) 已知在△ ABC 中， a ＝ x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则 x 的取 值范围是 ( ) A ．x >2 B ． x <2 C ．2 D ． 2 (2) 在△ ABC 中， A ＝60°， AC ＝2，BC ＝ 3，则 AB ＝ 答案 (1)C (2)1 解析 (1) 若三角形有两解，则必有 a >b ，∴ x >2， a x 2 又由 sin A ＝ sin B ＝ × < 1， b 2 2 可得 x < 2 2， ∴x 的取值范围是 2 BC ＝AC ＋ AB － 2AC · AB cos A ， 化简得 x － 2x ＋ 1＝ 0， ∴x ＝ 1，即 AB ＝ 1. 高频考点二 和三角形面积有关的问题 所以－ cos2 B ＝ sin 2 C . ① π3 又由 A ＝ 4 ，即 B ＋C ＝4π，得 例 2、(2015·浙江 ) 在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ， b ， c ，已知 A ＝ sin 2B －12＝1 2sin C . 3 －cos2 B＝－ cos2 π－C 4 ＝－ cos 2π－ 2C ＝sin2 C＝ 2sin C cos C，② 由①②解得 tan C＝ 2. 【感悟提升】 111 (1) 对于面积公式S＝2ab sin C＝2ac sin B＝2bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2) 与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 【变式探究】四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝ 2. (1) 求C 和BD； (2) 求四边形ABCD的面积． 解 (1) 由题设A 与C互补及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos C＝13－12cos C，① BD＝AB＋DA－ 2AB· DA cos A＝ 5＋ 4cos C．② 由①②得 cos C＝2，BD＝ 7， 因为C 为三角形内角，故C＝60° (2) 四边形ABCD的面积 11 S＝2AB· DA sin A＋2BC· CD sin C 11 ＝2× 1× 2＋2×3×2 sin60 ° ＝2 3. 高频考点三正弦、余弦定理的简单应用 c 例 3、(1) 在△ ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 b A．钝角三角形B．直角三角形 C．锐角三角形D．等边三角形 2B a＋c (2)在△ ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边) ，则△ ABC的形状为 ( ) 2 2c A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 答案 (1)A (2)B 【举一反三】 (2015·课标全国Ⅱ )如图，在△ ABC中，D是BC上的点，AD 平分∠ BAC， △ABD面积是△ ADC面积的 2 倍． sin B (1) 求； 2 (2) 若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长． sin C 解 (1) S△ABD＝2AB· AD sin ∠ BAD， 1 S△ADC＝2AC· AD sin ∠ CAD. 因为S△ABD＝ 2S△ ADC，∠ BAD＝∠ CAD， 所以AB＝ 2AC. sin B AC 1 由正弦定理可得sin C＝AB＝2. (2) 因为S△ ABD∶ S△ADC＝BD∶ DC，所以BD＝ 2. 在△ ABD和△ ADC中，由余弦定理，知 AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos∠ADB， AC＝AD＋DC－ 2AD· DC cos∠ ADC. 故AB2＋ 2AC2＝ 3AD2＋BD2＋ 2DC2＝6， 由(1) 知AB＝ 2AC，所以AC＝ 1. 【感悟提升】 (1) 判断三角形形状的方法 ①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． ②化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状，此时要注意应 用A＋B＋C＝π 这个结论． (2) 求解几何计算问题要注意 ①根据已知的边角画出图形并在图中标示； ②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理． 【变式探究】 (1) 在△ ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，若c－a cos B ＝(2 a－b)cos A，则△ ABC的形状为 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 (2) 如图，在△ ABC 中，已知点 D 在 BC 边上， AD ⊥AC ，sin ∠ BAC ＝2 3 2 ， AB ＝ 3 2， ＝3，则 BD 的长为 __ ． 答案 (1)D (2) 3 π (2)sin ∠ BAC ＝ sin( 2＋∠ BAD ) ＝cos ∠ BAD ， BD 2＝AB 2＋AD 2 －2AB ·AD cos∠BAD 即 BD 2＝ 3， BD ＝ 3. π 1．已知△ ABC 中，内角 A ，B ， C 所对边分别为 a ，b ，c ，若 A ＝ 3 ， b ＝2a cos B ，c ＝ 则△ ABC 的面积等于 ( ) c 2．在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ， b ，c ，若 C ＝2B ，则 为( ) b A ．2sin C B ． 2cos B C ．2sin B D ． 2cos C sin C 解析：由于 C ＝ 2B ，故 sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，所以 sin C ＝ 2cos B ，由正 弦定理可得 sin B sin C ＝ ＝ 2cos B ，故选 B 。 sin B AD ∴ cos ∠ BAD ＝ 22 3 ＝(3 2) 2 ＋32 －2×3 2× 3× 22 3 1， 答案： B c － b sin A 3．已知△ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 ＝ ，则 B ＝( ) c －a sin C ＋ sin B 答案： C 1 4．在△ ABC 中，若 lg （a ＋c ） ＋lg （a －c ） ＝lg b － lg b ＋ c ，则 A ＝（ ） b ＋ c A ． 90° B ．60° C ． 120° D ． 150° 22 2sin 2 B － sin 2 A a ，b ，c. 若 3a ＝2b ，则 sin 2 A 的 值为 ( ) A ． C ．1 答案： D a 解析：由 sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝ ，代入整理2R c － b a c － a ＝ c ＋b c 2－b 2＝ac － 2 a ， 所以 a 2 ＋ c 2 － b 2 ＝ ac ，即 1 cos B ＝ 2， 所以 B ＝ 。 5．在△ ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 解析：由正弦定理可得 2sin s 2B in － 2A sin 2A ＝ 2 s si in n B A 2－1＝2 a b sin A sin A a 2－1，因为 3a ＝2b ，所以b a ＝ 32， 所以 2sin 2B － sin 2A sin 2A ＝2× 32 2－1＝7。 22 6．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且满足 c sin A ＝ 3a cos C ，则 sin A＋sin B的最大值是 ( ) A ．1 D ．3 解析：由 c sin A ＝ 3a cos C ，所以 sin C sin A ＝ 3sin A cos C ，即 sin C ＝ 3cos C ，所以 tan C ＝ 3，C ＝ 3 ，A ＝ 3 － B ，所以 sin A ＋sin B ＝sin 3 －B ＋ sin B ＝ 3sin B ＋ 6 ， 2 π π π 5π ∵0 3 ，∴ 6 6 ， 8. 在△ABC 中, 若 a 2+b 2 C.钝角三角形 D.不能确定 【答案】 C ∴当 B ＋ π 2 ， π 即 B ＝π 3 sin A ＋ sin B 的最大值为 3. 故选 C 。 答案： C 7.在△ABC 中, 若 A= ,B= ,BC=3 , 则 AC=( A. 答案】 由正弦定理可 得 = =2 A.锐角三角形 B. 直角三角形 B. C 。 解 即有 【解析】由余弦定理 2 2 2 :a +b -2abcosC=c 2 2 2 因为 a 2+b 2 , 所以 2abcosC<0, 所以 C 为钝角 , △ABC 是钝角三角形 9. 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 = , 则 B= ( ) A B. C. D. 答案】 C. 10. 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边长分别为 >b 解析】由余弦定理得 2a 2=a 2+b 2-2abcos120° ,b 2+ab-a 2=0, 即 + -1=0, = <1, 故 b 11. 在△ ABC 中 , a=15,b=10,A=60°, 则 cosB= 再由 b a,b,c. 若 C=120°,c= a , 则 ( 解析】由正弦定理 (2) 12. 在 △ABC 中 , 三 个 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 sin 2 A+sin 2C-sin 2B= sinAsinC, 则 B= . 解析】在△ ABC 中,因为 sin 2 A+sin 2C-sin 2B= sinAsinC, 答案: 13. △ABC 中, 点 D 是 BC 上的点 ,AD 平分∠ BAC,BD=2DC. (1) 求 . (2) 若∠BAC=60°, 求 B. 【解析】 (1) 如图, 由正弦定理得 : = , = , 因为 AD 平分∠ BAC,BD=2DC, 14. 在△ ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 bcosC=3acosB-ccosB. 2 因为 C=180° -( ∠BAC+B),∠BAC=60°, 所以 sinC=sin( ∠BAC+B) cosB+ sinB, 答 案: = 所以 由(1) 知 2sinB=sinC, 所以 tanB= , 即 B=30° 为 a,b,c, 若 所以利用正弦定理得 :a 2+c 2-b 2= ac, 所以 cosB= , 所以 B= . (1) 求 cosB 的值 . (2) 若· =2,且 b=2 ,求 a和 c 的值. 【解析】 (1) 由正弦定理得 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 则 2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB, 故 sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB, 可得 sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB, 即 sin(B+C)=3sinAcosB, 可得 sinA=3sinAcosB. 又 sinA ≠ 0, 因此 cosB (2) 由· =2,可得 accosB=2, 2 2 2 2 2 由 b =a +c -2accosB, 可得 a +c =12, 所以(a-c) 2=0,即 a=c, 所以 a=c= . 15.在△ABC 中 , 角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 点 (a,b) 在直线 x(sinA-sinB)+ysinB=csinC 上 . (1) 求角 C 的值 . (2 ) (2) 所以 0 则= 16. 如图 ,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= . (1) 求 cos ∠CAD 的值 . 于是 sin α=sin( ∠BAD- ∠CAD) =sin ∠ BADcos ∠CAD- cos ∠BADsin ∠CAD cosB=cosA+co s cosA sinA=si n 因为 A+B= , 且 A + + = 所以 A= ,B= ,C= (2) 若 cos ∠BAD=- , 即 A ,s 2 2 1 2 b －a ＝2c . (1) 求 tan C的值； (2) 若△ ABC的面积为 3，求b 的值． 2 2 1 2 解 (1) 由b2－a2＝2c2及正 弦定理得 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做 ()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则 ()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式； 另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了 二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++ 等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.3 1 4-n 例2．（1）求7 (12)x +的展开式的第四项的系数； （2）求9 1()x x -的展开式中3 x 的系数及二项式系数 《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+= （3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列. 二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 二项式定理（第1课时） 一、内容和内容解析 内容：二项式定理的发现与证明． 内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合计数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视． 二、目标和目标解析 目标： （1）能通过多项式乘法，归纳概括出二项式定理内容，并会用组合计数模型证明二项式定理． （2）能从数列的角度认识二项式的展开式及其通项的规律，并能通过特例体会二项式定理的简单应用． （3）通过二项式定理的发现过程培养学生的数学抽象素养，以及用二项式定理这个模型培养学生数学建模素养． 目标解析： （1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法． （2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利 、基本知识点 n On 1n 1. 1 rnrr nn, 1、二项式疋理：(a b) Ca 6a b C.a b C n b (n N ) 2、几个基本概念 (1)二项展开式：右边的多项式叫做(a b)n的二项展开式 (2)项数：二项展开式中共有n 1项 (3)二项式系数：C n (r 0,1,2, ,n)叫做二项展开式中第r 1项的二项式系数 (4)通项：展开式的第r 1项，即T r 1 C；a n r b r (r 0,1, ,n) 3、展开式的特点 (1) 系数都是组合数，依次为c,,c：,c n,…,c n (2) 指数的特点①a的指数由厂0(降幕)。 ②b的指数由0 * n (升幕)。 ③a和b的指数和为n。 (3) 展开式是一个恒等式，a, b可取任意的复数，n为任意的自然数。 4、二项式系数的性质： (1)对称性： 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等?即C m c：m (2)增减性与最值 二项式系数先增后减且在中间取得最大值 n 当n是偶数时，中间一项取得最大值c n2 n 1 n 1 当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值=CF 二项式定理 c0 c1 c2 (3)二项式系数的和：Cn Cn Cn Cn C：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和2n 即C0+Cn+L W + L =2n-1 二项式定理的常见题型 一、求二项展开式 1?“ (a b)n”型的展开式 例1?求(3 . x1 )4的展开式；a J x 2. “(a b)n”型的展开式 —1 例2?求)4的展开式； J V 3?二项式展开式的“逆用” 例3?计算 1 3C：9C2 27 C3 .... ( 1)勺匕：； 二、通项公式的应用 1.确定二项式中的有关元素 例4.已知(￡.. X)9的展开式中x3的系数为9，常数a的值为_______________ x \ 2 4 2.确定二项展开式的常数项 例5. (-x 31 )10展开式中的常数项是_________________ 3' X 高中数学讲义 1 思维的发掘 能力的飞跃 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫 做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时， 其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系 数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 近似计算或者估计 在△ABC ，已知A ＝60°，B ＝45°，c ＝2，解三角形 [解题过程] 在△ABC 中，C ＝180°－(A ＋B ) ＝180°－(60°＋45°)＝75°. sin 75°＝sin(45°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30° ＝22×32＋22×12 ＝2(3＋1)4＝6＋24 根据正弦定理： a ＝c sin A sin C ＝2sin 60°sin 75°＝2×3 2 2(3＋1)4＝6(3－1)＝32－ 6， b ＝ c sin B sin C ＝2sin 45° sin 75°＝2× 222(3＋1) 4 ＝2(3－1)． [题后感悟] 已知两角和一边(如A ，B ，c )，求其他角与边的步骤是： (1)C ＝180°－(A ＋B )； (2)用正弦定理，a ＝c sin A sin C ； (3)用正弦定理，b ＝c sin B sin C . , 思路点拨： 已知两边及一边对角，先判断三角形解的情况， ∵a>b ，∴A>B ，B 为锐角，故有一解，先由正弦定理求角B ， 然后由内角和定理求C ，然后再由正弦定理求边 c. 1．(1)已知A ＝45°，B ＝30°，c ＝10.求b . (2)在△ABC 中，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，求c . 解析： (1)∵A ＋B ＋C ＝180，∴C ＝105°. 又∵sin 105°＝sin(45°＋60°) ＝sin 45°·cos 60°＋cos 45°·sin 60° ＝2＋64， ∴b ＝c sin B sin C ＝10×sin 30° sin 105°＝10× 122＋64 ＝5(6－2)． (2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴C ＝30°. 又∵b sin B ＝c sin C ， ∴c ＝b sin C sin B ＝22×sin 30°sin 45°＝ 22×12 2 2 ＝2. 在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，解三角形． 二项式定理知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、二项式定理 ()n n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100+?++?++=+--( )* N n ∈. 展开式具有以下特点： （1）项数：共1+n 项. （2）二项式系数：依次为组合数n n n n n C C C C ，?,,,2 1 . （3）每一项的次数是一样的，都为n 次，展开式依a 的降幂、b 的升幂排列展开.特别地， ()n n n n n n x C x C x C x +?+++=+22111. 二、二项式展开式的通项（第1+r 项） 二项式展开的通项为r r n r n r b a C T -+=1().,,3,2,1,0n r ?=.其中r n C 的二项式系数.令变量（常用x ）取1， 可得1+r T 的系数. 注 通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或系数.在应用通项公式时要注意以下几点： ①分清r r n r n b a C -是第1+r 项，而不是第r 项； ②在通项公式r r n r n r b a C T -+=1中，含n r b a C T r n r ,,,,,1+这6个参数，只有n r b a ,,,是独立的，在未知n r ,的 情况下利用通项公式解题，一般都需要先将通项公式转化为方程组求n 和r . 三、二项式展开式中的系数 （1）二项式系数与项的系数 二项式系数仅指n n n n n C C C C ，?,,,2 1 而言，不包括字母b a ,所表示的式子中的系数.例如： ()n x +2的展开式中，含有r x 的项应该是n r n r n r x C T -+=21，其中r n C 叫做该项的二项式系数，而r x 的系数应该是 r n r n C -2（即含r x 项的系数）. （2）二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即 22110,,--===n n n n n n n n n C C C C C C ，…，r n n r n C C -=. ②二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数n 是偶数，中间项是第12+n 项，其二项式系数n n C 2 最大；如果二项式的幂指数n 是奇数，中间项有两项，即为第21+n 项和第 12 1 ++n 项，它们的二项式系数21-n n C 和21 +n n C 相等并且最大. （3）二项式系数和与系数和 ①二项式系数和 011+12n n n n n n C C C ++?+==（） . 二项式定理知识点总 结 二项式定理 一、二项式定理： ()n n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+--ΛΛ110（*∈N n ）等号右边的多项式 叫做()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。 对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项 （2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n （3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设 x b a ==，1，则()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+-ΛΛ101（*∈N n ） （4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n b a +展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式()n b a + 二、二项展开式的通项：k k n k n k b a C T -+=1 二项展开式的通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用 对通项k k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解： （1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n （3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素 例1．n n n n n n C C C C 13 21393-++++Λ等于 （ ） A ．n 4 B 。n 43? C 。134-n D.314-n 例2．（1）求7(12)x +的展开式的第四项的系数； 二项式定理知识点、题型与方法归纳 一．知识梳理 1．二项式定理：)()(*110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ．其中) ,,2,1,0(n r C r n Λ=叫二项式系数．式中的r r n r n b a C -叫二项展开式的通项，用1+r T 表示，即通项r r n r n r b a C T -+=1. 2．二项展开式形式上的特点: (1)项数为n ＋1； (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1 n ，一直到C n － 1n ，C n n . 3．二项式系数的性质： (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5 n ＋…＝2 n － 1. 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) B A.6 B.7 C.8 D.9二项式定理知识点总结
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