高三数学综合模拟试卷 (一)
高三数学综合模拟试卷 （一）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共 ?小题，每小题 分，共 ?分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的
? 已知映射B A f →：，其中R B A ==，对应法则，：222
+-=→x x y x f 若
对实数B k ∈，在集合?中不存在原象，则k 的取值范围是 （ ）
?? 1≤k
? 1
? ()()3511x x +?-的展开式中3x 的系数为 （ ）
?? 6- ? 6 ? 9- ? 9
? 在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则9111
3a a -的值为
（ ）
?? ?? ? ?? ? ?? ? ??
? 已知
3sin()45x π-=
，则sin 2x 的值为 （ ） ?? 19
25
? 16
25
? 14
25
? 7
25
? 设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45?东经120?，乙地位于南纬75?东经120?，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）
? 6
R
π
? 56R π ? 23R
π
? 若c b a 、、是常数，则“
0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有02>++c x b x a ”的 （ ）
?? 充分不必要条件 ? 必要不充分条件 ?? 充要条件
? 既不充分也不必要
条件
? 双曲线20082
2
=-y x 的左、右顶点分别为1A 、2A ，P 为其右支上一点，且
21214A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于 （ ）
?? 无法确定 ?? 36π
? 18π
? 12π
? 已知直线01=-+by ax （b a ,不全为0）与圆502
2
=+y x 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 （ ）
?? ??条 ? ??条 ? ??条 ? ??条
? 从 名女生， 名男生中选出 名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 （ ）
??
4284C C ? ?
33
84C C ? ? 6
12C
? 42
84A A ?
?? （理科做） 22
11(1)(1)i i
i i -++=+- （ ）
?? i
? i -
? ?
? 1-
（文科做）如图，函数)(x f y =的图象是中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的两段弧，则不等式x x f x f +-<)()(的解集为 （ ）
??{
}2
2,02|≤<<<-x x x 或
?{}22,22|≤<-
<≤-x x x 或
???
?≤
??-<≤-222,222|x x x 或 ?{
}0,22|≠<
<-x x x 且
第 列
第 列 第 列 第 列 第 列 第一行 第二行 ? ? ? ? 第三行 ? ? ? ? …
…
?
?
则 ???在第 行第 列
?? 第 ??? 行第 ? 列 ?? 第
??? 行第 ? 列
? 第 ??? 行第 ? 列 ?
第 ??? 行第 ? 列
?? 半径为 的球面上有?、 、 、 四点，且??，??，??两两互相垂直，则ABC ?、
ACD ?、ADB ?面积之和ABC ACD ADB S S S ???++的最大值为 （ ）
?? ? ? ??
? ?? ? ??
第Ⅱ卷（非选择题共 ?分）
二、填空题：本大题共 小题，每小题 分，共 ?分。把答案填在答题卡相应位置。
?? （理科做）2222lim __________(1)n n n n C C n -→∞+=+
（文科做）命题“若b a ,都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是?????????
??
函数y =的定义域是 ?
?? 定义一种运算“*”对于正整数满足以下运算性质：
（ ）220061*=；（ ）(22)20063[(2)2006]n n +*=?*，则20082006*的值是
?? 如果直线1+=kx y 与圆
042
2=-+++my kx y x 相交于N M 、两点，且点N M 、关于直线0=+y x 对称，则不等式组
??
?
??≥≤-≥+-000
1y my kx y kx 所表示的平面区域的面积为
?????????
三、解答题：本大题共 小题，共 ?分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ?? （本小题满分 ?分，第一、第二、第三小问满分各 分）
已知函数
1()lg
1x
f x x -=+ （ ）求()f x 的定义域 （ ）求该函数的反函数1
()f x - （ ）判断1
()f x -的奇偶性
?? （本小题满分 ?分，第一、第二小问满分各 分）某港口水的深度 ?（米）
经长期观察，? ?（?）的曲线可以近似地看成函数sin y A t b =+的图象 （Ⅰ）试根据以上数据，求出函数)(t f y =的近似表达式；
（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 米或 米以上时认为是安全的
（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为 ??米 如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）
?? （文科做本小题满分 ?分，第一、第二小问满分各 分）已知某种从太空飞
船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为1
3，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的
（ ）第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；
（ ）第二小组进行试验，到成功了 次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率
（理科做本小题满分 ?分第一、第二小问满分各 分）某城市有甲、乙、丙 个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是 ??， ??， ??，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；
（Ⅱ）记“函数?（?）＝? － ξ?＋ 在区间??，＋∞)上单调递增”为事件?，求事件?的概率
?? （本小题满分 ?分，第一、第二小问满分各 分）
如图，在斜三棱柱???－? 中，侧面?? ⊥底面???，侧棱?? 与底面???成 ?°的角， ?? ?? 底面???是边长为 的正三角形，其重心为?点。?
是线段 ? 上一点，且 ??31
? ?
（ ）求证： ??∥侧面?? ；
（ ）求平面 ??与底面???所成锐二面角的大小
?? （本小题满分 ?分，第一小问满分 分，第二、第三小问满分各 分）设函
数
d cx bx ax x f 42)(2
3++-=（?、?、?、?∈ ）图象关于原点对称，且? ?时，)(x f 取极小值.
32-
（ ）求?、?、?、?的值；
（ ）当]1,1[-∈x 时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；
（ ）若]1,1[,21-∈x x 时，求证：
34|)()(|21≤
-x f x f
?? （本小题满分 ?分，第一、第二小问满分各 分）过抛物线2
2(y px p =>0)的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于,A B 两点
（ ）试证明,A B 两点的纵坐标之积为定值；
（ ）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，试探索三条直线,,AN MN BN 的斜率之间的关系，并给出证明
高三数学综合模拟试卷 （一）参考答案 ? ?
提示：设k x x =+-222
，据题意知此方程应无实根
()()02422
<-?--=?∴k ， 1021
? ?
提示：()()()()()[]3
23511111x x x x x +-?-=+?-
()()
642233112x x x x x -+-?+-=
∴展开式中3
x 的系数为()()632=-?- 故选
? ?
提示：设等差数列{}n a 的公差为d ， 由等差数列的性质知：88512024a a =∴=
∴91199119891132()2()21
22416
333333a a a a a a d a a a -+--?-======，选 ?
? ?
提示：由已知得3sin )5x x -=，两边平方得19
(1sin 2)225x -=
，求得7
sin 225x =
或令4x π-=α，则
3sin 5=α，所以27sin 2sin(2)cos212sin 225x π=-==-=
ααα ? ?
提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠
? ????，∴ ?、 两点间的球面距离为31
× ?? 23R
π 选 ?
? ?
提示：易知
0402<->c a b a 且?02
>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立。 反之，02>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立不能推出0402
<->c a b a 且 反例为当00a b c ==>且时也有
02
>++c x b x a 对任意R ∈x 恒成立 “0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ，有
02
>++c x b x a 的充分不必要条件，选?? ? ?
提示：设),(y x P ，0>y ，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，则
,tan 1a x y H PA +=
∠ a x y
H PA -=∠2tan （ 其中20082=a ）
∴1tan tan 2
22
21=-=∠?∠a x y H PA H PA ∴
221π
=
∠+∠H PA H PA
设 x A PA =∠21 ， 则x H PA 52=∠
∴
25π
=
+x x ∴
12π
=
x ， 即
1221π
=
∠A PA ， 故选 ??
? ?
提示：先考虑0,0≥≥y x 时，圆上横、纵坐标均为整数的点有)7,1(、)5,5(、)1,7(，依圆的对称性知，圆上共有1243=?个点的横纵坐标均为整数，经过其中任意两点的割线
有66212=C 条，过每一点的切线共有 ?条，又考虑到直线01=-+by ax 不经过原点，
而上述直线中经过原点的有 条，所以满足题意的直线共有7261266=-+条，故选 ?
? ?
提示：应从 名女生中选出 人， 名男生中选出 人，有4
2
84C C ?种选法，故选?? ??（理科做） ?
提示：()()
2
2
1111i
i
i i -++
=+-11111
2222i i i i i i -+---++=+=-- 故选 ?
（文科做）?
提示：由图象知)(x f 为奇函数，故)()(x f x f -=-
∴原不等式可化为
2)(x x f <
，此不等式的几何含义是)(x f 的图象在2)(x
x g =
图象下方的对应的x 的取值集合，将椭圆142
2=+y x 与直线2x y =
联立得 14422=+x x ，
2,22±==∴x x
观察图象知,2202≤<<<-x x 或故选??
?? ?
提示： 每行用去 个偶数，而 ???是第 ???÷ ?????个偶数
又 ???÷ ?
43250
前 ??行共用去 ??× ?????个偶数，剩下的 个偶数放入 ??行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大，且前空一格，
∴ ???在 ??行，第 列 故选 ?
?? ?
提示：由??，??，??两两互相垂直，将之补成长方体知?? ?? ?? （ ）
???
111
222ABC ACD ADB S S S AB AC AC AD AD AB
???++=??+??+??
≤222222444AB AC AC AD AD AB +++++ 222322AB AC AD
++=
等号当且仅当AB AC AD ==取得，所以ABC ACD ADB S S S ???++的最大值为 ? ，选
?
?? （理科做） 3
2
提示：
2
22
2(1)
3232lim
lim (1)(1)2n n
n n n n n C C n n -→∞→∞-?
+==
++
（文科做） 若b a ,不都是偶数，则b a +不是偶数 ?? （●??，＋∞）
提示：由已知得0210>-x ，即0210>-x
，所以2lg >x
?? 1003
3
提示：设(2)2006n n a *= 则1(22)2006n n a ++*=且11a =
13n n a a +∴= 13n n a -∴=， 即1(2)20063n n -*=，1003200820063∴*=
?? 41
提示： N M 、两点，关于直线0=+y x 对称，
1=∴k ，又圆心)
2,2(m k --在直线0=+y x 上
22=--∴m k 1-=∴m
∴
原不等式组变为???
??≥≤+≥+-0001y y x y x 作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为41
?? 解：（ ）
10,1 1.1x
x x ->-<<+由
得故函数的定义域是（－ ， ）
（ ）由1lg 1x y x -=+，得1101y
x x -=
+（y ∈ ），所以
110110y y x -=+， 所求反函数为1()f x -=110110x
x
-+ （x ∈ ） （ ） 1()f x --=110110x x ---+ 101
110x x -+ －1()f x -，所以
1()f x -是奇函数 ?? 解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数? ?（?）的周期? ??，振幅? ?，
? ??
∴
10
6
sin
3+=t
y π（ ≤?≤ ?）
（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于 ?????????（米）
∴511106 sin
3.t
≥+π ∴6 sin t π21≥解得，Z)
(k 652662∈+≤≤+πππππk t k
Z)(k 512112∈+≤≤+k t k
在同一天内，取 ?或
∴ ≤?≤ 或 ?≤?≤ ?
∴该船最早能在凌晨 时进港，下午 ?时出港，在港口内最多停留 ?个小时。 ?? （文科做）
解：（ ） 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是 2
3
233
31117()C 1C 33327P A ??????=-+= ?
?
???
????
（ ） 第二小组在第 次成功前，共进行了 次试验，其中三次成功三次失败，且恰
有两次连续失败，其各种可能的情况种数为2
4A 12= 因此所求的概率为
3
3
12132
()12333729P B ????=??=
? ?????
（理科做）
解：（?）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点” 为事件? ，? ，? 由已知? ，? ，? 相互独立， （? ） ???， （? ） ???， （? ） ????
客人游览的景点数的可能取值为 ， ， ， ? 相应地，客人没有游览的景点数的可能取值为 ， ， ， ，所以ξ的可能取值为 ， ?
（ξ ?） ?（? ·? ·? ） ?（321A A A ??）
?（? ） （? ） （? ） ?)()()(321A P A P A ??????????????????，
（ξ ?） ?－ ?????????
所以ξ的分布列为
?ξ ???????????????????
（Ⅱ）解法一 因为,
49
1)23()(22ξξ-+-=x x f
所以函数)
,23
[13)(2+∞ξ+ξ-=在区间x x x f 上单调递增，
要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.
34
,22
3≤≤ξξ即 从而.
76.0)1()34
()(===≤=ξξP P A P
解法二：ξ的可能取值为 ， ?
当ξ ?时，函数
),2[13)(2
+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ ?时，函数),2[19)(2
+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增， 所以.76.0)1()(===ξP A P
?? 解：（ ）延长 ?交 ?于?， ∵Δ ?? ∽Δ???， ?＝
21
??
∴ ?＝21 ＝21
?，从而?为 ?的中点
∵?为Δ???的重心，∴?、?、?三点共线，且FA FG ＝ 1FB FE ＝31
，∴??∥?? ，
又???侧面?? ， ∴??∥侧面??
（ ）在侧面?? 内，过 作 Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面?? ⊥底面???，
∴ ?⊥底面???? 又侧棱?? 与底面???成 ?°的角， ?? ?， ∴∠ ?＝ ?°， ?＝１， ?＝3
在底面???内，过?作??⊥??，垂足为?，连 ?? 由三垂线定理有 ?⊥??， 又平面 ??与底面???的交线为ＡＦ，∴∠ ??为所求二面角的平面角
∴??＝??＋ ?＝ ，∠???＝ ?°， ∴??＝???????°＝23
， 在 ?Δ ??中，???∠ ??＝HT H
B 1＝332 ，
从而平面 ??与底面???所成锐二面角的大小为??????33
2
?? 解（ ）∵函数)(x f 图象关于原点对称，∴对任意实数)()(x f x f x -=-有，
d cx bx ax d cx bx ax 42422323--+-=+---∴，即022=-d bx 恒成立 0,0==∴d b
c ax x f cx ax x f +='+=∴233)(,)(，
1=x 时，)(x f 取极小值3203,32-=+=+∴-c a c a 且，解得1
,31-==c a （ ）当]1,1[-∈x 时，图象上不存在这样的两点使结论成立
假设图象上存在两点),(11y x A 、),(22y x B ，使得过此两点处的切线互相垂直，
则由,1)(2-='x x f 知两点处的切线斜率分别为1,12
22211-=-=x k x k ，
且1)1()1(2
221-=-?-x x （ ?）
1x 、]1,1[2-∈x ，0)1()1(,01,01222122
21≥-?-∴≤-≤-∴x x x x 此与（?）相矛盾，故假设不成立
证明（ ）
)1,(,1,0)(,1)(2
--∞∈±=='-='x x x f x x f 得令， 或0)(,)1,1(;0)(,),1(<'-∈>'+∞∈x f x x f x 时时，
]1,1[)(-∴在x f 上是减函数，且
32
)1()(,32)1()(min max -===
-=f x f f x f
∴在?－ ， ?上，]1,1[,,32
|)(|21-∈≤
x x x f 于是时，
34
3232|)(||)(||)()(|2121=
+≤+≤-x f x f x f x f
?? （ ）证明：设1122(,),(,)A x y B x y 有122y y pm ?=-，下证之：
设直线AB 的方程为 x ty m =+与
22y px =联立得
消去x 得2
220y pty pm --= 由韦达定理得
122y y pm ?=-，
（ ）解：三条直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列，下证之：
设点(,)N m n -，则直线AN 的斜率为
11AN y n
k x m -=
+
直线BN 的斜率为
22BN y n k x m -=
+
1222
1222AN BN y n y n
k k y y m m p p
--∴+=
+
++1
222122()2()22p y n p y n y pm y pm --=+++ 1221
12221122121212()()
2()2()y n y n y y n y y n p p y y y y y y y y y y -----=+=?--- 12121212()222()2n y y n n n
p p p y y y y y y pm m -=?=?=?=-
--
又直线MN 的斜率为
02MN n n
k m m m -==-
-- 2AN BN MN k k k ∴+= 即直线,,AN MN BN 的斜率成等差数列