2012年辽宁高考试题(理数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集{}=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9U ，集合{}=0,1,3,5,8A ，集合{}=2,4,5,6,8B ，则

()()=U U C A C B

A ．{}5,8

B ．{}7,9

C ．{}0,1,3

D ．{}2,4,6

【命题意图】本题主要考查集合的补集、交集运算，是容易题. 【解析】()()(){}=C =7,9U U U C A C B A B ,故选B.

2.复数

2-=2+i i A ．34

-55

i

B ．34+

55i C ．41-5i D ．3

1+5

i 【命题意图】本题主要考查复数的除法运算，是容易题.

【解析】()()()2

2-2-3-434===-2+2+2-555

i i i i i i i ，故选A. 3. 已知两个非零向量,a b

满足+=-a b a b ，则下面结论正确

A ．//a b

B ．a b ⊥

C ．=a b

D ．+=-a b a b

【命题意图】本题主要考查平面向量运算，是简单题.

【解析1】+=-a b a b ，可以从几何角度理解，以非零向量,a b

为邻边做平行四边形，

对角线长分别为+,-a b a b ，若+=-a b a b

，则说明四边形为矩形，所以a b ⊥ ，故选B.

【解析2】已知得22+=-a b a b ，即2222-2+=+2+=0a ab b a ab b ab a b ∴∴⊥

，

故选B.

4. 已知命题()()(

)()12212

1

:,,--0p x x R f x f x x x ?∈≥，则p ?是

A ．

()()()()1

2

2

1

2

1

,,--0x x R f x f x x x ?∈≤

B ．()()

()()12212

1

,,--0x x R f x f x x x ?∈≤

C ．

()()()()122121,,--<0x x R f x f x x x ?∈

D ．()()

()()12212

1

,,--<0x x R f x f x x x ?∈

【命题意图】本题主要考查全称命题的否定，是容易题.

【解析】全称命题的否定形式为将“?”改为“?”，后面的加以否定，即将“()()()

()2121--0f x f x x x ≥”改为“()()()

()2121--<0f x f x x x ”，故选C.

5. 一排9个座位坐了3个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 A ．33!? B ．()3

33!? C ．()4

3!

D ．9!

【命题意图】本题主要考查相邻的排列问题，是简单题.

【命题意图】每家3口人坐在一起，捆绑在一起3!，共3个3!，又3家3个整体继续排列有3!种方法，总共有()4

3!，故选C.

6. 在等差数列{}n a 中，已知48+=16a a ，则该数列前11项和11=S A ．58 B ．88 C ．143 D ．176

【命题意图】本题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式，是简单题.

【解析】4866+=2=16=8a a a a ∴，而()

11111611+==11=882

a a S a ，故选B. 7.

已知()sin -cos 0,αααπ∈，则tan α=

A ．1- B

．2-

C

．2

D ．1

【命题意图】本题主要考查同角三角函数基本关系式、特殊角的的三角函数，是中档题. 【解析1

】()sin -cos 0,αααπ∈，两边平方得1-sin 2=2,α

()sin 2=-1,20,2,ααπ∈332=

,=,24

ππ

ααtan =-1α∴，故选A. 【解析2】由于形势比较特殊，可以两边取导数得cos +sin =0,tan =-1ααα∴

8. 设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤??

≤≤??≤≤?

，则2+3x y 的最大值为

A ．20

B ．35

C ．45

D ．55

【命题意图】本题主要考查简单线性规划，是中档题. 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由图知目标函数过点()5,15A 时，2+3x y 的最大值为55，故选D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 值是

A ．-1

B ．

23 C ．3

2

D ．4 【命题意图】本题主要考查程序框图知识，是中档题.

【解析】当=1i 时，经运算得2

=

=-12-4S ； 当=2i 时，经运算得()22

==2--13

S ；

当=3i 时，经运算得23=

=222-3S ； 当=4i 时，经运算得2

==432-2S ；

当=5i 时，经运算得2

==-12-4

S ；故选D. 从此开始重复，每隔4一循环，所以当=8i 时，经运算得=4S ；接着=9i 满足输出条件，输出=4S

10. 在长为12cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于322

cm 的概率为 A ．

16

B ．

13 C ．23 D ．45

【命题意图】本题主要考查几何概型及应用意识.是中档

题

.

【解析】如图所示，令=,=AC x CB y ，则()+=12>0,y>0x y x ，矩形面积设为S ，则

()==12-32

S xy x x ≤，解得0<48<12x x ≤≤或，该矩形面积小于322

cm 的概率为82

=123

，故选C.

11. 设函数)(x f ()x R ∈满足()()()(),=2-f x f x f x f x -=，且当[]0,1x ∈时，()3=f x x .又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22??????

上的零点个数为

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【命题意图】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性、函数图像、函数零点等基础知识，是难题.

【解析】由()()f x f x -=知,所以函数)(x f 为偶函数，所以()()()=2-=-2f x f x f x ，所

以函数)(x f 为周期为2的周期函数，且()()0=0,1=1f f ，而()()=c o s g x x x π

为偶函数，且()1130==-==0222g g g g ??????

? ? ?????

??

，在同一坐标系下作出两函数在

13-,22??????上的图像，发现在13-,22??

????

内图像共有6个公共点，则函数()()()=-h x g x f x 在13-,22??

????

上的零点个数为6，故选B.

12. 若[)0,+x ∈∞，则下列不等式恒成立的是

A ．2

1++x

e x x ≤ B

211

1-+24x x ≤

C ．21cos 1-2

x x ≥ D ．()2

1ln 1+-8

x x x ≥

【命题意图】本题主要考查不等式恒成立问题，是难题.

【解析】验证A ，当3

3

2

=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，，故排除A ；验证B ，当1

=2

x 时，，

3

，而111113391-+===<22441648484848??，故排除B ； 验证C ，令()()()2

1=cos -1+,'=-sin +,''=1-cos 2

g x x x g x x x g x x ，显然()''>0g x 恒成立 所以当[)0,+x ∈∞，()()''0=0g x g ≥，所以[)0,+x ∈∞，()2

1=cos -1+2

g x x x 为增函数，

所以

()()0=0g x g ≥，恒成立，故选C ；验证D ，令

()()()()()

2-311=ln 1+-+,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ，令()'<0h x ，解得0<<3x ，所以当0<<3x 时，()()<0=0h x h ，显然不恒成立，故选C.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．

【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算，是简单题.

【命题意图】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3

，高为

1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为

()243+41+31+2-2=38ππ????

14.已知等比数列{}n a 为递增数列，且()2510+2+1=,2+=5n n n a a a a a ，则数列{}n a 的通项公式

=n a ____________．

【命题意图】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想，是简单题. 【解析】设等比数列

{}n a 的公比为q ，则由()

+2

+12+=5n n

n a a a 得，

222+2=5,2-5+2=0q q q q ，

解得1==2

q 或q 2，又由2510=a a 知，()249

11=a q a q ，所以1=a q ，因为{}n a 为递增数列，所以1==2a q ，=2n n a

15. 已知,P Q 为抛物线2=2x y 上两点，点,P Q 的横坐标分别为4,-2，过,P Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 ．

【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点，是中档题.

【解析】2

1=

,'=2

y x y x ，所以以点P 为切点的切线方程为=4-8y x ，以点Q 为切点的切线方程为=-2-2y x ，联立两方程的1

-4

x y =??=?

16. 已知正三棱锥-P ABC ，点,,,P A B C ,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为 ．

【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题，是难题. 【解析】如图所示，O 为球心，'O 为截面ABC 所在圆的圆心，

设===PA PB PC a ，,,PA PB PC 两两相互垂直，

==AB BC CA ，所以'=

3

CO a ，'=3PO a ， 2

2

+=3??????

，解得=2a ，所以PO ，

'=

3

OO 三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角,,A B C 成等差数列。

（1）求cos B 的值；

（2）边,,a b c 成等比数列，求sin sin A C 的值（l bylfx ）

【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列概念、正余弦定理应用，是容易题.

【解析】（1）由已知1

2=+,++=,=

,cos =

32

B A

C A B C B B π

π∴ ……6分

（2）解法一：2

=b ac ，由正弦定理得23sin sin =sin =4

A C B

解法二：2=b ac ，222221+-+-=cos ==222a c b a c ac B ac ac ，由此得22

+-=,a c ac ac 得=a c

所以===3A B C π，3

sin sin =4

A C ……12分

18. （本小题满分12分）

如图，直三棱柱-'''ABC A B C ，=90BAC ∠?，=='AB AC AA λ，点,M N 分别为'A B 和''B C 的中点

（1）证明：//''MN AACC

平面； （2）若二面角'--A MN C 为直二面角，求λ的值 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结','AB AC ，由已知=90,=BAC AB AC ∠?

三棱柱-'''ABC A B C 为直三棱柱，

所以M 为'AB 中点.又因为N 为''B C 中点 所以//'MN AC ，又MN ?平面''A ACC

'AC ?平面''A ACC ，因此//''MN AACC 平面 ……6分 （2）以A 为坐标原点，分别以直线,,'AB AC AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系-O xyz ，如图所示 设'=1,AA 则==AB AC λ，

于

是

()()()()()()0,

A B λλ

， 所以1,0,,,,12222M N λλλ????

? ?????

，设()111=,,m x y z 是平面'A MN 的

法向量，

由'=0,=0m A M m MN ?????

得11111-=0221+=022

x z y z λλ??

?????，可取()=1,-1,m λ 设()222=,,n x y z

是平面MNC 的法向量，

由=0,=0n NC n MN ????? 得22222-+-=0221+=0

22

x y z y z λλλ??

?????，可取()=-3,-1,n λ 因为'--A MN C 为直二面角，所以()()2=0,-3+-1-1+=0m n λ?

即

，解得λ12分

19. （本小题满分12分）

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷” （1）根据已知条件完成下面的22?列联表，并据此资料你是否

（2采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷“人数为X .若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X

附：()2

112212212

-=n n n n n n n n n χ，

【命题意图】本题主要考查频率分布直方图的应用、独立性检验、随机变量的分布列、期望、方差计算，考查运用所学知识解决实际问题能力，是中档题. 【解析】（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22?

将2 ……3分

()()22

1122122121+2++1+2-1003010-4515100=== 3.0307525455533

n n n n n n n n n χ???≈???

因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. ……6分

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为

14

. 由题意13,X B ?? ? ，从而X 的分布列为

……10分

()13==3=44E X np ?，()()139

=1-=3=4416

D X np p ??. (12)

分

20. （本小题满分12分）

如图，椭圆()22

022:+=1>b>0,a,b x y C a a b

为常数，动圆222111:+=,<

为0C 的左、右顶点，1C 与0C 相交于,,,A B C D 四点 （1）求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程；

（2）设动圆222

22:+=C x y t 与0C 相交于',',',

'A B C D 四点，其中2<

与矩形''''A B C D 的面积相等，

证明：2212+t t 为定值

【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析

几何中的定值问题，考查转化与化归能力、运算求解能力，是难题. 【解析】设()()1111,,,-A x y B x y ，又知()()12-,0,,0A a A a ，则 直线1A A 的方程为 ()1

1=

++y y x a x a

①

直线2A B 的方程为

()1

1-=

--y y x a x a

② 由①②得 ()2

2

221221-=--y y x a x a

③

由点()11,A x y 在椭圆0C 上，故可得221122+=1x y a b ，从而有222112=1-x y b a ?? ???

，代入③得

()22

2

2-=1<-,<0x y x a y a b

……6分 （2）证明：设()22',A x y ，由矩形ABCD 与矩形''''A B C D 的面积相等，得

2222112211224=4,=x y x y x y x y ∴，因为点,'A A 均在椭圆上，所以222222121

2221-=1-x x b x b x a a ???? ? ?????

由12t t ≠，知12x x ≠，所以22212+=x x a 。从而22212+=y y b ，因而222212+=+t t a b 为定值…

12分

21. （本小题满分12分）设()(

)()=ln +1+,,,f x x ax b a b R a b ∈为常数，曲线

()=y f x 与直线3

=2

y x 在()0,0点相切.

（1）求,a b 的值；

（2）证明：当0<<2x 时，()9<+6

x

f x x

【命题意图】本题主要考查函数的切线及恒成立问题，考查运算求解能力，是难题. 【解析】（1）由()=y f x 的图像过()0,0点，代入得=-1b 由()=y f x 在()0,0处的切线斜率为

32，

又=0=013'==++12

x x y a a x ??

???，得=0a …3分

（2）（证法一）由均值不等式，当>0x 时，

+1+1=+2x x

+12

x

记

()()9=-

+6x h x f x x ，

则

(

)

(

)

()

()()

2

2

15

4'=+-

+

2

+

+

1+6+

x

h x x x

x x x ()()()()

3

2

+6-216+1=4+1+6x x x x ，令()()()3

=+6-216+1g x x x ，则当0<<2x 时， ()()2

'=3+6-216<0g x x （lby lfx ）

因此()g x 在()0,2内是减函数，又由()0=0g ，得()<0g x ，所以()'<0h x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，

于是当0<<2x 时， ()9<+6

x

f x x …12分

（证法二）

由（1）知()()=l n +1+f x x ，由均值不等式，当>0x 时，+1+1=+2x x ，

+12

x

令()()=ln +1-k x x x ，则()()1-0=0,'=-1=<0+1+1

x k k x x x ，故()<0k x ，即()ln +10x 时，()3

<

2f x x ，记()()()=+6-9h x x f x x ，则当0<<2x 时， ()()()()()31

'=++6'-9<++6-9

2+1h x f x x f x x x x ? ?

()()()(()()()()()11=

3+1++6-18+1<3+1++63+-18+12+12+12x x x x x x x x x x x ????

?? ?????????()

()=7-18<04+1x x x 因此()h x 在()0,2内是减函数，又由()0=0h ，得()<0h x ，即()9<+6x

f x x

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，O 和'O 相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，连结DB 并延长交O 于点E . 证明：（I ）=AC BD AD AB ； （II ）=AC AE 【命题意图】本题主要考查几何选讲的基础知识，是简单题. 证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，

所以A C B D ?? 。从而

=A C

A B A D B D

，即=A C B D A D A B

……4分

（2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D ∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得E

A D A

B D ?? 从而=AE AD

AB BD

，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，圆221:+=4C x y ，圆()2

2

2:-2+=4C x y

（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标（用极坐标表示） （2）求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程

【命题意图】本题主要考查圆的极坐标方程、直线的参数方程，是简单题. 【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 解=2=4cos ρρθ

??

?得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ????

? ????? (5)

分

注：极坐标系下点的表示不唯一

（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθ

ρθ??

?

，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,

故圆1C 与圆2C

的公共弦的参数方程为=1

=x y t ?≤??

（或参数方程写成=1

=x y y y

?≤?? (10)

分

（解法二）

将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ??

?

，得cos =1ρθ，从而1

=cos ρθ

于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 3

3x y ππ

θθ?≤≤??

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知()()=+1f x ax a R ∈，不等式()3f x ≤的解集为{}

-21x x ≤≤ （1）求a 的值 （2）若()-22x f x f k ??

≤

???

恒成立，求k 的取值范围 【命题意图】本主要考查含绝对值不等式的解法及绝对值不等式的意义，是容易题. 【解析】（1）由+13ax ≤得-42ax ≤≤，又()3f x ≤的解集为{}

-21x x ≤≤，所以 当0a ≤时，不合题意

当>0a 时，42

-x a a

≤≤，得=2a …5分 （2）记()()=-22x h x f x f ??

???，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2

x h x x x x ?

?≤?

???

?≥??，

所以()1h x ≤，因此1k ≥ ……10分