高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后,原因有三:一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础,做好准备;二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容,本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础,与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想;三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想,本节内容安排“空间直角坐标系”,为以后的学习作铺垫,正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成,主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点:空间直角坐标系,空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点:右手直角坐标系的理解,空间中的点与坐标的一一对应。 知识点:空间直角坐标系的相关概念,空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点:理解空间直角坐标系的建立过程,以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点:通过空间直角坐标系的建立,体会由二维空间到三维空间的拓展和推广,让学生建立发展的观点;通过空间点与坐标的对应关系,进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点:如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点:空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点:空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别;空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点:不同空间直角坐标系下点的坐标的不同;空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示;直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系(一维坐标系和二维坐标系),当我们建立空间直角坐标系(三维坐 x y z表示。 标系)后,空间中任意一点可用有序实数组(,,)
工程独立坐标系的建立与统一
龙源期刊网 https://www.360docs.net/doc/0c2722034.html, 工程独立坐标系的建立与统一 作者:卢自来 来源:《中国新技术新产品》2015年第21期 摘要:本文论述了工程测量为什么要建立工程独立坐标系,工程独立坐标系中高程投影 变形和高斯平面投影变形的综合影响,有时需要建立多个工程独立坐标系,在这里浅谈一下工程独立坐标系的统一问题。 关键词:工程测量;工程独立坐标系;投影变形;统一 中图分类号:P223 文献标识码:A 众所周知,国家坐标系的中央子午线为固定的几条经线(3°带的中央经线为3N,6°带的 中央经线为6N-3,N为国家坐标系的带号)。高程投影为0m。工程独立坐标系的中央子午线一般选用测区平均经度,高程投影面一般选用测区的平均高程面。而国家坐标系的中央子午线则往往偏离测区平均经度较远,不能满足要求。因此工程建设必须建立工程独立坐标系,对于一些较大的工程,由于经度跨度较大以及高差较大,一个独立坐标系也不能满足要求,有时需要建立多个工程独立坐标系,而业主为了施工方便,又要求把几个工程独立坐标系统一到一个工程独立坐标系下,这里又牵涉到工程独立坐标系的统一问题。 一、高斯平面投影变形的影响 根据高斯投影原理,高斯平面上长度投影变形的大小与距离中央子午线的横坐标值密切相关。计算公式为: 式中: -长度相对误差; y-边两端点的平均横坐标值; R-为地球曲率半径。 由坐标换带计算可算得不同投影带边缘的横坐标值,并由上式计算出长度投影变形值(边缘距中央子午线的距离以纬度32°为基础)。 由表1可以看出,为了限制投影变形值,工程测量不能简单的使用国家3度带和6度带的国家坐标系,因为工程测量一般要求投影变形不大于1/40000。为使投影变形不大于1/40000,按照上面公式反算,工程独立坐标系的带宽应为45101米,即57′。
高斯平面直角坐标系的建立
空间数据的地理参照系和控制基础 4、高斯—克吕格投影 高斯—克吕格投影是一种横轴等角切椭圆柱投影。它是将一椭圆柱横切于地球椭球体上,该椭圆柱面与椭球体表面的切线为一经线,投影中将其称为中央经线,然后根据一定的约束条件即投影条件,将中央经线两侧规定范围内的点投影到椭圆柱面上,从而得到点的高斯投影(图3-2-5)。将一球椭球体地球装在椭圆柱内上下切点为中央经线。 高斯投影的条件为: (1)中央经线和地球赤道投影成为直线且为投影的对称轴; (2)等角投影; (3)中央经线上没有长度变形。 根据高斯投影的条件推导出的高斯—克吕格投影的计算公式为: 式中:X、Y为点的平面直角坐标系的纵、横坐标;
φ、λ为点的地理坐标,以弧度计,λ从中央经线起算; S为由赤道至纬度φ处的子午线弧长; N为纬度φ处的卯酉圈曲率半径; 其中η为地球的第二偏心率,a、b则分别为地球椭球体的长短半轴。 高斯投影由于是等角投影,故没有角度变形,其沿任意方向的长度比都相等,其面积变形是长度的两倍。对高斯—克吕格投影长度变形的研究可以依下述长度比表达式进行: 由该长度比公式可以分析出高斯投影变形具有以下特点: (1)中央经线上无变形; (2)同一条纬线上,离中央经线越远,变形越大; (3)同一条经线上,纬度越低,变形越大; 由此可见,高斯投影的最大变形处为各投影带在赤道边缘处,为了控制变形,我国地形图采用分带方法,即将地球按一定间隔的经差(6°或3°)划分为若干相互不重叠的投影带,各带分别投影。1:2.5万至1:50万的地形图均采用6°分带方案,即从格林尼治零度经线起算,每6°为一个投影带,全球共分为60个投影带。我国领土位于东经72°到136°之间,共包括11个投影带(13带~22带)。1:1万及更大比例尺地形图采用3°分带方案,全球共分为120个投影带。图3—4给出了高斯投影的6°带和3°带分带方案。
沪科版八年级上册《第11章平面直角坐标系》单元测试题含答案
第11章平面直角坐标系单元测试 一、选择题 1.在平面直角坐标系中,位于第四象限的点是( ) A. (-1,-3) B. (2,1) C. (-2,1) D. (1,-2) 【答案】D 2.在教室里确定某同学的座位需要的数据个数是() A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 3.将点P(-2,3)向右平移3个单位得到点P1,点P2与点P1关于原点对称,则P2的坐标是() A. (-5,-3) B. (1,-3) C. (-1,-3) D. (5,-3) 【答案】C 4.如图所示的象棋盘上,若“帅”位于点(1,﹣2)上,“相”位于点(3,﹣2)上,则“炮”位于点() A. (1,﹣2) B. (﹣2,1) C. (﹣2,2) D. (2,﹣2) 【答案】B 5.在平面直角坐标系中,将点P(﹣2,3)向下平移4个单位得到点P′,则点P′所在象限为() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 6.在平面直角坐标系中,已知点A(2,m)和点B(n,﹣3)关于x轴对称,则m+n的值是() A. ﹣1 B. 1 C. 5 D. ﹣5 【答案】C
7.如图,A,B的坐标为(2,0),(0,1),若将线段AB平移至A1B1,则a+b的值为() A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 8.在平面直角坐标系中,点P(2,3)关于y轴的对称点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 9.在平面直角坐标系中,已知点P(2,1)与点Q(2,﹣1),下列描述正确是() A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称 C. 关于原点对称 D. 都在y=2x的图象上 【答案】A 10.线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-1,4)的对应点为C(2,3),则点B(-4,-1)的对应点D 的坐标为() A. (-7,-2) B. (-7,0) C. (-1,-2) D. (-1,0) 【答案】C 11.如图,若以解放公园为原点建立平面直角坐标系,则博物馆的坐标为() A. (2,3) B. (0,3) C. (3,2) D. (2,2) 【答案】D 12.已知点A(3-p,2+p)先向x轴负方向平移2个单位,再向y轴负方向平移3个单位得点B(p,-q),则点B的具体坐标为() A. B. C. D. 【答案】B 二、填空题
建立空间直角坐标系的几个常见思路
建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法,运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系.依据空间几何图形的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系,是运用坐标法解题的关键.下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略. 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-, ,. 设1BC 与CD 所成的角为θ, 则11317cos BC CD BC CD θ==. 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB =,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3 π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3 π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1(0,2,0)、3102c ??- ? ??? ,,、133022C ?? ? ?? ?,,. 设302E a ?? ? ??? ,,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =, 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ,,,,
RTK测量中独立坐标系的建立
R T K测量中独立坐标系的建立 RTK测量中独立坐标系的建立 摘要:介绍GPS-RTK测量中WGS-84大地坐标系与独立坐标系转换的方法及南方测绘工程之星数据处理中坐标转换的方法,同时结合工程实例予以验证。 关键词:GPS-RTK测量;WGS-84大地坐标系;独立坐标系;坐标转换 1 引言 在水利工程测量中,多数情况下工程所处位置地形复杂,交通不便,通视条件较差,采用以经纬仪、全站仪测量为代表的常规测量常常效率低下。随着GPS-RTK测量系统的使用,由于它具有观测速度快,定位精度高,经济效益高等特点,现在我院多数水利工程测量都是采用RTK测量技术来完成。对于GPS-RTK系统来说,由于它采用的是WGS-84固心坐标系,而在实际工程应用中,由于顾及长度变形、高程异常等影响而采用独立坐标系,这就需要将RTK测量采集的数据在两坐标系中进行转换。 2 国家坐标系及独立坐标系的建立 2.1 国家坐标系的建立 在我国,由于历史原因先后采用不同的参考椭球体和大地起算数据而形成多个国家坐标系,主要国家坐标系有1954北京坐标系、1980西安坐标系、2000国家坐标系和WGS-84坐标系。前两个是参心坐标系,后两个是固心坐标系。由于他们采用不同的椭球体参数,所以地面上同一个点在不同的坐标系中有不同的坐标值。 国家坐标系的主要作用是在全国建立一个统一的平面和高程基准,为发展国民经济、空间技术及国防建设提供技术支撑,也为防灾、减灾、环境监测及当代地球科学研究提供基础资料。 2.2 独立坐标系的建立
在工程应用中,由于起算数据收集困难、测区远离中央子午线及满足特殊要求等诸多原因,如在水利工程测量中,常要测定或放样水工建筑物的精确位置,要计算料场的土石方贮量和水库的库容。规范要求投影长度变形不大于一定的值(如《工程测量规范》为2.5cm/km,《水利水电工程测量规范(规范设计阶段)》为5.0cm/km)。如果采用国家坐标系统在许多情况下(如高海拔地区、离中央子午线较远地方等)不能满足这一要求,这就要求建立地方独立坐标系。 在常规测量中,这种独立坐标系只是一种高斯平面直角坐标系,而在采用GPS-RTK采集数据时,独立坐标系就是一种不同于国家坐标系的参心坐标系。 跟国家坐标系一样,建立独立坐标要确定的主要元素有:坐标系的起算数据、中央子午线、参考椭球体参数及投影面高程等。对于起算数据,可以采用国家坐标系的坐标和方位角或任意假设坐标和方位角。在RTK测量中,我们常采用基线的某一端点的单点定位解作为起点,然后以另一点定向,用测距仪测出基线边长,经改正后算出基线端点的坐标;中央子午线常采用测区中央的子午线;投影面常采用测区的平均高程面。参考椭球体一般是基于原来的参考椭球体做某种改动,使改变后的参考椭球面与投影面拟合最好,投影变形可以减到最小,也便于与国家坐标系统进行换算。 3 坐标系的转换 GPS-RTK接收机采集的坐标数据是基于WGS-84椭球下的大地坐标,而我们经常使用的独立坐标系是基于某种局部椭球体下的平面直角坐标,这两种坐标是不同坐标基准下的两种表现形式。利用WGS-84下的大地坐标来推求独立坐标系中的平面直角坐标,必然要求得两坐标系之间转换参数。求取转换参数的基本思路是利用两坐标系中必要个数的公共点,根据相应的椭球参数及中央子午线采用最小二乘法严密平差解算转换参数,具体操作是由转换模型把不同坐标基准下的坐标转换为同基准下的不同坐标形式,再进行同基准下不同坐标形式的转换,从而得到所要的独立坐标系中的平面直角坐标。转换的难点是WGS-84椭球与独立坐标系局部椭球的变换。 3.1 常用的坐标转换方法
国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算
国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算 作者姓名:岳雪荣 学号: 20142202001 系(院)、专业:建筑工程学院、测绘工程14-1 2016 年 6 月 6 日
国家坐标系与地方独立坐标系坐标转换方法与计算 (建筑工程学院14测绘工程专业) 摘要 随着我国经济的发展的突飞猛进,对测量精度要求的建设也越来越高,就是以便满足实际运行要求。但在一些城市或大型工程建设中可能刚好在两个投影带的交界处,布设控制网时如果按照标准的3度或者1.5度带投影,投影变形会非常大,给施工作业带来不便,此时需要建立地方独立坐标系。认识国家坐标系的转换和地方独立坐标系统有一定的现实意义,如何实现两者的换算,一直是关注的工程建设中的热点问题。因此,完成工程测量领域国家坐标定位成果与地方独立坐标成果的转换问题,以适应城市化和实际工程的需要。 关键词:国家坐标;独立坐标;坐标转换
目录 1绪论 1.1背景和意义 1.2主要内容 1.3解决思路和方法 2 建立独立坐标系的方法3 2.1常用坐标系统的方法介绍 2.2确定独立坐标系的三大要素9 2.3减少长度变形的方法10 2.4建立独立坐标系的意义12 3 国家坐标系与地方坐标系的坐标转换13 3.1常用坐标系的坐标转换模型13 3.2投影面与中央子午线及椭球参数的确定14 3.3国家坐标与地方坐标的转换思路15 4算例分析17 结论20 参考文献错误!未定义书签。
1绪论 1.1背景和意义 随着社会的经济快速发展,尤其是近十多年来空间测量技术突飞猛进,得到了长足的发展,其精度也大幅提高。从测量的发展史来看,从简单到复杂,从人工操作到测量自动化、一体化,从常规精度测量到高精度测量,促使大地坐标系有参心坐标系到大地坐标系的转化和应用。大地测量工作已有传统的二维平面坐标向三位立体空间坐标转化,逐步形成四维空间坐标系统。 在测绘中,地方独立坐标系和国家坐标系为平面坐标系的两种坐标系统。对于工程测量和城市建设过程,建设区域不可能都有合适的投影子午线,势必可能有所差异,这样一来作业区域的高程和坐标或者是工程关键区域的高程和坐标能够与国家大地基准的参考椭球有较大的出入,在这种情况下,根据不同的投影区国家坐标系统,可能就会出现投影变形导致严重错误。建立地方独立坐标系统来降低高程归化影响和是归化投影变形,误差控制在一个小范围的数据计算和实际大致相符,不需要任何修改,从而可以满足工程建设和实际应用。 就当前而言,测量工作重要的触及应用三种常用的大地坐标系统,即为地方独立坐标系,地心坐标系,参心坐标系 [1]。地心坐标系:以地球质心为根据建立的坐标系,包括CGCS2000国家大地坐标系,GPS平差后的WGS-84坐标系等。参心坐标系:参心坐标系是以参考椭球为基准的大地坐标系,包括54北京坐标系和80西安坐标系等。独立坐标系:以自己情况而定的独立坐标,采用新椭球,投影到高斯平面上,计算参数,在结合相关数据解算得到,如城市建设坐标系。它们统称为地固坐标系统。有机结合在一起对于整个坐标系统来说具有很大的应用价值,解决了实际生活中各种的工程测量问题,如土地申报工程,矿产调查工程,全国土地调查工程等等。根据现在的经济建设情况,我们应该结合实际,展开建立国家大地坐标与地方独立坐标的研究工作是非常必要的。这一点也是目前需要解决的问题。 为了更方面的需求和发展,也使得更好地创建国家坐标系与地方独立坐标系的关系。在这里引入了”GPS坐标”这个概念。在这里我们用以工程测量,成为大型工程建设控制网和城建控制网的主要手段。基以GPS坐标系建立的精度高的独立坐标系,将方便于GPS较高精确的、高效的获取城建坐标和高程需求,有利于GPS与GIS的有机结合,进一步提升城市的综合能力,加速城市的现代化建设,对工程建设具有巨大的辅助作用[2]。根据GPS坐标系建立的地方独立坐标系是未来的希望。
平面直角坐标系构建知识结构图
平直角坐标系构建知识结构图教学设计 教学目标 知识与技能 1、会建立平面直角坐标系解决问题 2、建立平面直角坐标系的知识结构图过程与方法 通过问题串的设计,层层引导学生积极构建知识结构图,渗透对学生数学知识的严谨性、逻辑性的培养。 情感态度价值观 进一步培养学生严谨的数学态度和思维。 教学重难点 教学重点:构建平面直角坐标系结构图 教学难点:构建平面直角坐标系结构图 教学过程 (一)设计情境,导入新课 小明、小丽、小华三人周末相约到生态园游玩 活动一:某一时刻他们停留在竖琴广场,三人对着景区示意图发现, 如下描述竖琴广场的位置(图中小正方形2,2)竖琴广场的坐标是(长)
葡萄竖琴广望亭九和植物动物园 7654葡萄园32竖琴广场望湖亭1654 — 1 - 2123 — 3 - 5 - 7 - 6 - 4X0 九和塔一1植物园一2 - 3动物园—4 活动二:随后小明提议,接下来到植物园,你能帮助他们读岀植物园的坐标吗? 2问题:能读 岀其余各个景点的坐标吗? :在3问题y 轴上的景点有哪些?在 x 轴上的景点有哪些? 4问题: 在第一、三象限角平分线上的景点有哪些? :连接竖琴广场和动物园的直线与坐标轴有何位置 1000m 的边长代表. 问题1:能建立平面直角坐
关系?他们之间的距离是多少?5问题.
- 4 1 y ................... 葡萄竖琴广望亭一一一一一一一九和一植物一—动物园一4 葡萄园竖琴广场望亭湖xO 九和塔植物园动物园
葡萄竖琴广望亭九和植物动物园 76543葡萄园2竖琴广场望亭湖1651 —2 - 1234 —
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 . 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 就是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--u u u u r ,,, (010)CD =-u u u r ,,. 设1BC u u u u r 与CD uuu r 所成的角为θ, 则11317cos BC CD BC CD θ==u u u u r u u u r g u u u u r u u u r . 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB = ,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3 π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1(0,2,0)、3102c ??- ? ???,,、13302C ?? ? ??? ,,. 设30E a ?? ? ??? ,,且1322a -<<,
2018年沪科版八年级上《第11章平面直角坐标系》课时练习含答案
第11章平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第1课时平面直角坐标系及点的坐标 1.在平面直角坐标系中,点(-1,2)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.如图,下列各点在阴影区域内的是( ) A.(3,1) B.(-3,1) C.(3,-1) D.(-3,-1) 3.若点P(m-2,m+3)在y轴上,则点P的坐标为( ) A.(0,-5) B.(5,0) C.(0,5) D.(-5,0) 4.如果用(7,1)表示七年级一班,那么八年级五班可表示成________.5.在平面直角坐标系中,点P(2,-5)到y轴的距离是________.6.如图,分别写出点A,B,C,D的坐标. 第2课时坐标平面内的图形 1.过点A(-3,2)和点B(-3,5)作直线,则直线AB( ) A.平行于y轴 B.平行于x轴 C.与y轴相交 D.与y轴垂直 2.在平面直角坐标系中,线段BC∥x轴,下列说法正确的是( ) A.点B与点C的横坐标相等 B.点B与点C的纵坐标相等 C.点B与点C的横坐标与纵坐标都相等
D.点B与点C的横坐标与纵坐标都不相等 3.某中学2018届新生入学军训时,小华、小军、小刚的位置如图所示.如果小军的位置用(0,0)表示,小刚的位置用(2,2)表示,那么小华的位置可表示为( ) A.(-2,-1) B.(-1,-2) C.(2,1) D.(1,2) 4.如图,在平面直角坐标系中,三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(-2,3),C(-3,0),则三角形ABC的面积是( ) A.4 B.6 C.10 D.12 5.如图,三角形ABC在6×7的正方形网格中,小正方形的边长为1.请建立适当的平面直角坐标系,并写出三个顶点A,B,C的坐标. 11.2 图形在坐标系中的平移 1.将点P(2,1)向左平移2个单位后得到点P′,则点P′的坐标是( ) A.(2,3) B.(2,-1) C.(4,1) D.(0,1) 2.如图,将四边形ABCD向上平移2个单位,那么点A的对应点的坐标是( ) A.(1,1) B.(3,1) C.(3,-1) D.(3,-3) 3.线段CD是由线段AB平移得到的,点A(-2,3)的对应点为C(-2,-1),则点B(1,1)的对应点D的坐标为( ) A.(1,-3) B.(1,3) C.(-1,-3) D.(-1,3) 4.将点A(-3,-5)先向上平移4个单位,再向左平移3个单位得到点B,则点B的坐
空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 . 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2,底面ABCD 是直角梯形,∠A 为直角,AB ∥CD ,AB =4,AD =2,DC =1,求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值. 解析:如图1,以D 为坐标原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则C 1(0,1,2)、B (2,4,0), ∴1(232)BC =--,,,(010)CD =-, ,. 设1BC 与CD 所成的角为θ, 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==. 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB ⊥侧面BB 1C 1C ,E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点,EA ⊥EB 1.已知2AB = ,BB 1=2,BC =1,∠BCC 1=3π.求二面角A -EB 1-A 1的平面角的正切值. 解析:如图2,以B 为原点,分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴,过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系. 由于BC =1,BB 1=2,AB =2,∠BCC 1=3 π, ∴在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,有B (0,0,0)、A (0,0,2)、B 1 (0,2,0)、3102c ??- ? ???,,、13302C ?? ? ??? ,,.
设302E a ?? ? ???,,且1322a -<<, 由EA ⊥EB 1,得10EA EB =, 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ,,,, 233(2)2044a a a a =+-=-+=,∴13022a a ????--= ? ???? ?, 即12a =或32a =(舍去).故3102E ?? ? ??? ,,. 由已知有1EA EB ⊥,111B A EB ⊥,故二面角A -EB 1-A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角. 因11(002)B A BA ==,,,31222EA ? ?=-- ? ??,, 故11112cos 3 EA B A EA B A θ= =,即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3,在四棱锥V -ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面VAD 是正三角形,平面VAD ⊥底面ABCD . (1)证明AB ⊥平面VAD ; (2)求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值. 解析:(1)取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系. 设AD =2,则A (1,0,0)、D (-1,0,0)、B (1,2,0)、 V (0,0,3),∴AB =(0,2,0),VA =(1,0,-3). 由(020)(103)0AB VA =-=, ,,,,得
八年级数学上册 第11章 平面直角坐标系 11.1 平面内点的坐标 第1课时 平面直角坐标系教案
第十一章平面直角坐标系 11.1平面内点的坐标 第1课时平面直角坐标系 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.理解平面直角坐标系以及横轴、纵轴、原点、坐标等的概念; 2.理解坐标平面内的点与有序实数对的一一对应关系; 3.能在方格纸中建立平面直角坐标系来描述点的位置. 【过程与方法】 1.通过画坐标系,由点找坐标等过程,发展学生的数形结合意识、合作交流意识; 2.通过对一些点的坐标进行观察,探索坐标轴上点的坐标有什么特点,纵坐标或横坐标相同的点所连成的线段与两坐标轴之间的关系,培养学生的探索意识. 【情感、态度与价值观】 让学生认识数学与人类生活的密切联系和对人类历史发展的作用,提高学生参加数学学习活动的积极性和好奇心. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 理解平面直角坐标系的有关知识;在给定的平面直角坐标系中,会根据点的位置写出它的坐标. 【教学难点】 坐标轴上的数字与坐标系中的坐标之间的关系. ◇教学过程◇ 一、情境导入 假如你到了某一个城市旅游,那么你应怎样确定旅游景点的位置呢?下面给出一张某市旅游景点的示意图,根据示意图(如图),回答以下问题: (1)你是怎样确定各个景点位置的? (2)“大成殿”在“中心广场”南、西各多少个格?“碑林”在“中心广场”北、东各多少个格?
(3)如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看作一个单位长度,那么你能表示“碑林”的位置吗?“大成殿”的位置呢? 二、合作探究 1.平面直角坐标系、横轴、纵轴、横坐标、纵坐标、原点的定义和象限的划分. 在了解有关平面直角坐标系的知识后,再返回刚才讨论的问题. 结论:如果以“中心广场”为原点作两条互相垂直的数轴,分别取向右、向上的方向为数轴的正方向,一个方格的边长看作一个单位长度,则“碑林”的位置是(3,1),“大成殿”的位置是(-2,-2). 问题:在(3)的条件下,你能把其他景点的位置表示出来吗? 结论:能,钟楼的位置是(-2,1),雁塔的位置是(0,3),影月湖的位置是(0,-5),科技大学的位置是(-5,-7). 2.例题讲解 典例写出图中多边形ABCDEF各顶点的坐标.此图中各顶点的坐标是否永远不变?你能举个例子吗? [解析]多边形ABCDEF各顶点的坐标分别为 A(-2,0),B(0,-3),C(3,-3),D(4,0),E(3,3),F(0,3).不是.当坐标轴的位置发生变动时,各点的坐标相应地变化.若以线段BC所在的直线为x轴,纵轴(y轴)位置不变,如图, 则六个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(0,0),C(3,0),D(4,3),E(3,6),F(0,6).再思考这个结论是否是永恒的. 结论:不是.还能再改变坐标轴的位置,得出不同的坐标.继续进行坐标轴的变换,总结一下共有多少种不同的变换方式. 3.想一想 在上例中,(1)点B与点C的纵坐标相同,线段BC的位置有什么特点? (2)线段测定位置有什么特点? (3)坐标轴上点的坐标有什么特点? 【归纳总结】(1)坐标轴上的点的坐标中至少有一个是0;横轴上的点的纵坐标为0,纵轴上的点的横坐标为0.