七年级培优竞赛第7讲同类项

第七讲物以类聚——话说同类项

俗话说“物以类聚，人以群分”．在数学中，我们把整式中那些含相同的字母、并且相同字母的次数也分别相同的单项式看作一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．整式的加减实质就是去括号合并同类项．

整式的加减这一章涉及到许多概念，准确地掌握这些概念并注意它们的区别与联系是解相关问题的基础，归纳起来就是要注意以下几点：

理解“三式”和“四数”的概念、熟悉“两种排列”、掌握三个法则．

解与整式加减相关问题时，有括号先去括号，有同类项先合并同类项，这样能使解题过程大为简化．

例题

【例1】当x 的取值范围为时，式子431744+---+-x x x 的值恒为一个常数，这个值是．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

思路点拨去掉绝对值符号、合并同类项后，式子应不再含“x ”的项，由此得出x 的取值范围．

注：数学概念是容的基础．是数学推理和论证的基础．科学研究表明，概念的形成过程中，人们的心理活动经历着以下阶段：

(1)辨别不同的事物； (2)抽象一类事物的共同属性； (3)用简洁的语言符号给概念下定义、定名称．

在概念学习中，应注意以下策略： (1)关键字词理解的策略； (2)正、反例对比策略；

(3)相似概念比较策略；(4)概念系统化策略．

【例2】已知,,0b a b a ≠=+则化简)1()1(+++b b

a a a

b 得( )． A ．2a B ．2b C ．十2 D ．一2

(江苏省竞赛题)

思路点拨由已知条件可推得多个关系式，这是解本例的关键．

【例3】已知x ＝2，y=一4时，代数式19975213=++by ax ，求当2

1,4-=-=y x 时，代数式49862433

+-by ax 的值．

思路点拨一般的想法是先求出a ，b 的值，这是不可能的(为什么?)解本例的关键是：将给定的x 、y 值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的联系，整体代人求值．

【例4】已知关于；的二次多项式5)2()3(3223-++++-x x x b x x x a ，当 x=2时的值为一17，求当x=一2时，该多项式的值．

(“希望杯”邀请赛培训题)

思路点拨设法求出a ，b 的值，解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a ，b 的等式．

【例4】(1)已知：5∣(x+9y)(x ，y 为整数)，求证：5∣(8x 十7y) ．

(2)试证：每个大于6的自然数n 都可表示为两个大于1且互质的自然数之和．

(全国初中数学联赛试题)

思路点拨 (1)尝试把8x+7y 写成x+9y 的倍数与5的倍数的代数和的形式，(2)逆用整式的加减，将每一类自然数表示为两个式子的和，并证明它们互质，注意分类讨论．

注：解代数式化简求值问题的基本方法有：将字母的值代入或字母间的关系整体代入等．关键是对代数式进行恰当变形，其中去括号、添括号能改变代数式的结构，是变形求简的一

种常用工具．

“回到定义中去”，这是美国著名数学家玻利亚称为的一种解题方法，在解题遇到困难的时候，请记住“回到定义中去”这个重要的思考提示．

欲证明一个多项式能被某数整除，常需对该多项式进行适当的变换，或对字母进行代换，充分利用巳知条件及整除的有关性质解决问题．

数学中有许多可以类比的对象，如数与式，整数与整式．教学中的许多结论就是通过类比得到的，同时类比也是学习数学中的一种有效方法．

学力训练

1．已知m n x b a b a 22132--与是同类项，那么x n m )2(-= ．

(江苏省竞赛题)

2．已知代数式(2x 2+ax-y+6)－(2bx 2-3x+5y-1)．

(1)当a= ，b= 时，此代数式的值与字母x 的取值无关；

(2)在(1)的条件下，多项式3(a2-2ab-b2)一(4a 2+ab+b 2)的值为．

3．已知a=1999，则200133314232323-+---+-a a a a a a = ．

4．已知当x=一2时，代数式13++bx ax 的值为6，那么当 x=2时，代数式13++bx ax 的值是．

(安徽省中考题)

5．火车站和机场都为旅客提供打包服务，如果长、宽、高分别为x 、y 、z 的箱子按如图的方式打包，则打包带的长至少为( )．

A ． 4x+4y+10z

B ．x+2y+3z

C ． 2x+4y+6z

D ． 6x+8y+6z

(太原节中考题)

6．同时都含有字母c b a 、、，且系数为1的7次单项式共有( ) ．

A ．4个

B ．12个

C ． 15个

D ．25个

(北京市竞赛题)

7．有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示：则代数式c b a c b a a -+-++-化简后的结果是( )．

A ．2一a

B ．2a 一2b

C ．2c —a

D ．a

8．已知252=+-n m ，那么6036)2(52--+-m n n m 的值为（）．

A ．80 S ．10 C ．210 D ．40

9．把一个正方体的六个面分别标上字母A 、B 、C 、D 、E 、F 并展开如图所示，已知：2234y xy x A +-=，2223y xy x C --= ，)(2

1A C B -=

，C B E 2-=，若正方体相对的两个面上的多项式的和都相等，求D 、F ．

10．已知单项式c b y x 25.0与单项式12125.0--n m y x 的和为m n y x 625.0，求abc 的值．

11．对于整式6x 5+5x 4+4x 3+3x 2+2x+2002，给定x 的一个数值后，如果小颖按四则运算的规则计算该整式的值，需算15次乘法和5次加法．小明说：“有另外一种算法，只要适当添加括号，可以做到加法次数不变，而乘法只算5 次”．小明同学的说法是的．(填“对”或“错”)

( “希望杯”邀请赛试题)

12．若5,3,2=--=-=-d c c b b a ，则)())((d a d b c a -÷--＝．

13．当x ＝2时，代数式13+-bx ax 的值等于一17，那么当x ＝一1时，代数式 12ax —3bx 3—5的值等于．

(北京市“迎春杯”竞赛题)

14．将1，2，3，……，100这100个自然数，任意分为50组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作a ，另一个记作b ，代入代数式)(2

1b a b a ++-中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得50个值，则这50个值的和的最大值是．

15．计算1+2—3—4+5+6一7一8+9+10—1l 一12……+1993+1994—1995一

1996+1997+1998—1999—2000，最后结果是( )．

A ．0

B ．一1

C ．1999

D ．一2000

16．已知0>-

a b a 且，则ab b a b a +++-等于( )． A ．2a+2b+ab B ．一ab C ．一2a 一2b+ab D ．一2a+ab

17．已知代数式2

4352)(dx x cx bx ax x +++，当x ＝l 时，值为l ，那么该代数式当x ＝一l 时的值是( )．

A ．1

B ．一l

C ．0

D ．2

( “希望杯”邀请赛试题)

18．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值x x x x p 101913121-+-++-+-= 的值恒为一常数，则此值为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ． 5

(安徽省竞赛题)

19．(1)已知a 、b 为整数，且n ＝l0a+b ，如果17│a 一5b ，请你证明：17│n ．

(2)已知一个三位数，它的百位数字加上个位数字再减去十位数字所得的数是11的倍数．证明：这个三位数也是11的倍数．

20．在一次游戏中，魔术师请一个人随意想一个三位数abc (c b a 、、依次是这个数的百位、十位、个位数字)，并请这个人算出5个数acb 、bac 、bca 、b ca 与cba 的和N ，把N 告诉魔术师，于是魔术师就可以说出这个人所想的数abc ．

现在设N=3194，请你当魔术师，求出数abc 而来．

21．x 、y 、z 均为整数，且11 │7x+2y —5z ，求证：1l │3x 一7y 十12z ．

(北京市竞赛题)

22．计算多项式d cx bx ax +++23的值时有以下3种算法，分别统计3种算法中的乘法次数．

①直接计算：d cx bx ax +++23时共有3十2+l ＝6(次)乘法；

②利用已有幂运算结果：x x x ?=23，计算d cx bx ax +++23时共有2+2+1= 5(次)乘法； ③逐项迭代：[]d x c x b ax d cx bx ax +++=+++)(23，其中等式右端运算中含有3次乘法．

请问：(1)分别使用以上3种算法，统计算式

1098291100a x a x a x a x a +++++ 中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．

(2)对n 次多项式n n n n n a x a x a x a x a +++++---122110 （其中n a a a a ,,,,210 为系数，n>1），分别使用以上3种算法统计其中乘法的次数，并比较3种算法的优劣．

参考答案

七年级数学上册培优强化训练10

1、（10分）在研究运算（+8）－（+10）时，一学生进行了如下探索：因为（－2）+（+10）=+8，所以(+8)－(+10)=－2；另一方面(+8)+(－10)=－2，于是(+8)－(+10)=(+8)+(－10)，由此概括出有理数的一个运算法则，这个法则是，用字母可以表示成__________. 2、（10分）小红家粉刷房间，雇用了5个工人，干了10天完成，用了某种涂料150升，费用为4800元，粉刷面积是150m 2 ,最后结算时,有以下几种方案：方案一：按工计算，每个工30元（1个人干一天是1个工）；方案二：按涂料费用算，涂料费用的30%作为工钱；方案三：按粉刷面积算，每平方米付工钱12元；请你帮小红家出主意，选择方案_____付钱最合算. 3、（10分）如图,是一个正方体纸盒的表面展开图,请在其余三个正方形内分别填入适当的数,使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数. 4、（10分）两个角大小的比为7﹕3，它们的差是72°，则这两个角的数量关系是（） A. 相等 B. 互补 C. 互余 D. 无法确定 5、（10分）图表示从上面看一个由相同小立方块搭成的几何体得到的平面图形，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，则从正面看该几何体得到的平面图形为（） 6、（16分）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如下图），此图揭示了 (a+b)n （n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．例如： 0()1a b +=，它只有一项，系数为1； 1()a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2； 222()2a b a ab b +=++，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4； 33223()33a b a a b ab b +=+++，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…… 根据以上规律．．．．．．，解答下列问题： 2 1 -5 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 … 1 2 1 2 4 3 第5题 A ． B ．Ｃ．

人教版七年级数学上册培优资料(精华)

七年级数学上册培优训练

第一讲有理数（一）一、【问题引入与归纳】 1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。 2、有理数的两种分类： 3、有理数的本质定义，能表成 m n （0,,n m n ≠互质）。 4、性质：① 顺序性（可比较大小）； ② 四则运算的封闭性（0不作除数）； ③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。 5、绝对值的意义与性质： ① (0) ||(0) a a a a a ≥?=?-≤? ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。 ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。二、【典型例题解析】： 1、若|||||| 0,a b ab ab a b ab +- 则的值等于多少？ 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方 3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求 220062007 ()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。 4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ) A.2a B.2a - C.0 D.2b 5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（） A.2 B.3 C.9 D.6 6、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b ------中有几个负数？

7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0， b a ， b 的形式，求20062007a b +。 8三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且 ||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac = +++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。三、课堂备用练习题。 1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006 2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1) 3、计算：5917336512913248163264 +++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。 5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求 || abc abc 的值。

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：二元一次方程组解的讨论

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】 1．二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组

初中数学七年级上培优练习册全集(人教版)

初中数学七年级上培优练习册全集(人教版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

初中数学练习册七年级（上）人教版目录：第一章有理数 1.1 有理数的概念 1.2 有理数的运算 1.3 近似数与科学计数法 1.4 单元测试第二章整式加减 2.1 整式的加减 2.2 单元测试第三章一元一次方程 3.1 解一元一次方程 3.2 列方程解应用题（一） 3.3 列方程解应用题（二） 3.4 单元测试第四章图形认识初步 4.1 多姿多彩的图形 4.2 平面图形 4.3 单元测试期末模拟试卷（一）期末模拟试卷（二）期末模拟试卷（三）有理数第一章有理数一、全章知识结构 2

3 二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类定义：整数和分数统称为有理数有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 1、按整数分数分类 2、按数的正负性分类?????? ???????????????负分数负整数负数零正分数正整数正数有理数. 3、在数轴上分类数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴的作用：（1）用数轴上的点表示有理数；（2）在数轴上比较有理数的大小；（3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义；（4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x| 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数： ?????????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲几何最值

第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例题求解【例1】如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。（陕西省中考题）思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。例1

例2 【例2】如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题）思路点拨设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值例3

(人教版)七年级数学上册培优辅导讲义

最新人教版七年级数学上册培优辅导讲义第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量应该包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A．－18% B．－8% C．＋2% D．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A．－5吨B．＋5吨C．－3吨D．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间15：00，纽约时问是_ ___ 【例２】在－ 22 7 ，π，0，0.033 . 3这四个数中有理数的个数（ ) A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ?? ? ? ? ?? ? ?? ?? ?? ? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；

（2）按整数、分数分类，有理数 ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 正整数整数0 负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－ 22 7是分数，0.033 . 3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C．【变式题组】 01．在7，0，15，－ 1 2 ，－301，31.25，－ 1 8 ，100，1，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 . 02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置15，－ 1 9 ， 2 15 ，－ 13 8 ，0.1，－5.32，123, 2.333 【例３】（宁夏）有一列数为－1， 1 2 ，－ 1 3 ， 1 4 ，－ 1 5 ， 1 6 ，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－ 1 2007 . 【变式题组】 01（湖北宜昌）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8…观察并猜想第六个数是 . 02．（毕节）毕达哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数1，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为__ __ . 【例４】（2008年河北张家口）若1＋ m 2 的相反数是－3，则m的相反数是____. 【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级第1题：下列命题：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：B 解析：（1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确（2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确（3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确（4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条答案：B 解析：根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形所以共有7条

七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数

27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。（“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z

【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。（2）请解释图中点B的实际意义。图像理解（3）求慢车和快车的速度。（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？（江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

黄东坡数学培优竞赛新方法平行四边形与平移变换(答案)

例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB= S△ABC．

（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）； ∴△BDF、△EFC均为RT三角形例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．

解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC，可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC，再证△PED≌△PFB．得PB=PD． ∴ABCD为平行四边形．例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．

七年级数学培优竞赛教案

奥数培训之趣味数学生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一，民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。第一次见店又见花后，酒有：12-x ；第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ；第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。

解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得，则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能．解：设杯中原有水量为a ，依题意可得，第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后：乙杯中含红墨水的比例是a m a +，乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +，再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①

七年级数学上册培优强化训练14新人教版

七年级数学上册培优强化训练14新人教版 1.在直线m 上顺次取A ﹨B ﹨C 三点,使AB=10cm, BC=4cm,如果点O 是线段AC 的中点,则线段OB 的长为（） A. 3 cm B. 7cm C. 3cm 或7 cm D.5cm 或2cm 2.小红的妈妈将一笔钱存入银行, 银行三年期（整存整取）的年利率为 3.69%，三年到期时扣除20%的利息税后可取出5442.8元.若设小红妈妈存入银行x 元,则可列方程为（）. A. x ·3.69%×3×（1－20%）=5442.8 B.（x ＋x ·3.69%×3）·（1－20%）=5442.8 C. x ＋x ·3.69%×（1－20%）=5442.8 D. x ＋x ·3.69%×3×（1－20%）=5442.8 3. 已知射线OA,由O 点再引射线OB ﹨OC,使∠AOB=600,∠BOC=300, 则∠AOC 的度数是______. 4.用平面去截一个几何体,若截面的形状是长方形,则原几何体可能是____________________(只填写一个即可). 5.爱护花草树木是我们每个同学应具备的优秀品质,但总有少数同学不走边上的路而横穿草坪.如图所示,请你用所学的数学知识来说明他们这种错误做法的原因是 . 6.方程3（y －2）+1=5y －2（2y －1）的解是 7.化简求值：x 2－2(x 2－3xy)+3（y 2－2x y ）－2y 2，其中x =2 ,y=－1. 8.小明每天早晨要到距家1300米的学校去上学,一天小明到校后发现忘了带数学书，于是打电话让爸爸给他送书.爸爸立即以每分钟180米的速度赶往学校,同时小明以每分钟80米的速度往家赶,二人在途中相遇后，小明马上拿书以同样的速度返回学校.问小明在取书过程中共花费了多少时间? 9.请根据图中提供的信息,回答下列问题 : （1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元? （2）甲﹨乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯.为了迎接新年,两家商场都在搞促销活动. 甲商场规定: 这两种商品都打九折;乙商场规定: 买一个暖瓶赠送一个水杯.若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯,请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由. 84元 38元教学楼图书馆草坪

七年级数学上册培优计划

七年级数学上册培优计划在培优班成立后的第一节课，刚开始，焦主任给学生介绍这个班级的情况以及他们自身的情况，看得出来学生是特别重视的，后来由于这些学生来自于三个班级，我便让学生们之间做了简单的熟悉，之后这节课剩下20分钟左右，我便对这20个同学进行了一个摸底测试，本来我是准备了6个题目，第1题（难度最大）和第6题（难度其次）相对较难，中间的2、3、4、5相对来说难度不大，属于强化题。由于时间关系，我便让学生先做中间4个题目，到了下课时间，只有两三个同学完成，因此这次摸底试题我是在课下规定了一个时间让学生上交的，后来的经过我的批改，我发现学生完成情况并不是很乐观，其中有一个题目全班没有一个人正确，而这个题目并不难，只是这个知识点学习的时间有点儿早，因此学生可能有所遗忘。其实这样也说明了，目前在我们这个培优班并没有真正的特别强大的尖子生。三、具体计划：因此针对学生的情况，对于培优工作，我目前打算从以下几个方面来入手：（1）培养学生良好的学习习惯。目前学生处于七年级，知识难度还不是特别大，逻辑思维能力以及空间想象能力的差异体现的还不是特别明显，因此从现在开始培养学生良好的学习习惯，有助于学生后期的数学学习。数学是一门考查学生思维能力的学科，需要学生静下心来去思考，因此教

会学生思考，在数学学习中显得尤为重要，当学生碰到不会的题目时，我会先让他们思考，如果实在没有头绪，我会一步步的去引导他们，慢慢的让他们自己去探索，最终体会到成功的乐趣。虽然教会学生思考的这个过程会比较慢，但我一直相信：慢慢来，才比较快。 (2)注重教给学生解题思路的开阔与灵活。数学的巧妙很多时候在于对于同一道题目，会有多种不同的解法，在我看来，有的时候一节课教会学生同一题的5种解法比教会学生5道题更有意义。教会学生举一反三，对于同一道题彻底弄懂弄透，那么下次再碰到类似题目的话学生也能够通过自己的思考解决问题。而目前有相当一部分的学生是教什么会什么，不教就不会，说明学生的变通能力有待提高。 (3)讲练结合，知识内化。对于课堂，一直以来，学生才是主角，课堂是他们的主战场，我的角色其实就是引导他们在正确的道路上越走越坚定，培养他们的自信心。对于培优班的学生，我的想法是刚开始慢慢的培养他们、教他们，到后期慢慢的变成我看着他们上课，给他们出示问题，把课堂留给他们，让他们自己讨论、解决、分享知识的获得。这样的话，回到自己的班级，他们都能够成为一个个数学课堂的顶梁柱。在培优的路上，其实我的经验也并不丰富，不过我会尽自己最大的努力用心去做这个事情，希望在以后的课堂中我能够和学生共同学习、共同成长、一起成就最好的我们!

七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数

第二十讲质数与合数趣题引路】由超级计算机运算得到的结果2859433－1是一个质数，则2859433＋1是（） A ．质数 B ．合数 C ．奇合数 D ．偶合数解析 ∵2859433－1，2859433，2859433＋1．是三个连续正整数，∵2859433－1的末位数字是1．∴2859433 是偶合数，∵上述三个数中一定有一个能被3整除，而2859433－1是质数，∴2859433＋1的末位数字是奇数且能被3整除，故2859433＋1是奇合数．故选C ．同学们，你们知道什么是“哥德巴赫猜想”吗？二百多年前，德国数学家哥德巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和．如6＝3＋3，12＝5＋7等．对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例．到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的“1＋2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为“陈氏定理”．知识延伸】 1．正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：（1）只有一个正约数的数，它只能是1；（2）只有两个正约数的数，如2，3，11这样的数叫质数；（3）有两个以上正约数的数，如4，10，12这样的数叫合数． 2．（1）2是最小的质数，也是唯一的偶质数；除2以外，其余的质数都是奇数。（2）质数有无穷多；合数也有无穷多．证明假设只有有限多个质数，设为P 1，P 2，P 3，…，P n 考虑P 1P 2P 3…P n ＋1，由假设可知，P 1P 2P 3…P n ＋1是合数，它一定有一个质因数P ，显然，P 不同于P 1，P 2，P 3，…，P n ，这与假设P 1，P 2，P 3，…，P n 为全部质数矛盾． 3．质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判定．如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，41，43来除2003，它们都不能整除2003，而下一个质数47，它的平方472＝2209大于2003，由此就可判定2003为质数。 4．算术基本定理对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解式将是唯一的，即正整数N （N ＞1）可以唯一表示为12 12m a a a m N P P P =??? 其中，P 1，P 2，…，P m 为质数，且P 1＜P 2＜…＜P m ，a 1，a 2，…，a m 为正整数. 5．对于正整数N 的质因数标准分解式12 12m a a a m N P P P =??? 根据乘法原理，它的正约数个数为（1＋a 1）（1＋a 2）…（1＋a m ）．它的所有约数之和为 ()()()() 12 11221+++1+++1+++m a a a m m S N P P P P P P =???????????? 121 11 1212111=111 m m m p p p p p p ααα+++---???---. 而且仅当N 为平方数时，它的正约数个数为奇数.

七年级数学上册上册数学压轴题培优测试卷

七年级数学上册上册数学压轴题培优测试卷一、压轴题 1．在3×3的方格中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都相等，我们把这样的方格图叫做“等和格”。如图的“等和格”中，每行、每列及对角线上的3个代数式的和都等于15. （1）图1是显示部分代数式的“等和格”，可得 a=_______（含b的代数式表示）；（2）图2是显示部分代数式的“等和格”，可得a=__________,b=__________; （3）图3是显示部分代数式的“等和格”，求b的值。（写出具体求解过程） 2．概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方．如：222 ÷÷，()()()() 3333 -÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222 ÷÷记作3 2，读作“2的3次商”，()()()() 3333 -÷-÷-÷-记作()43-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n个()0 a a≠相除记作 n a，读作“a的n次商”．（1）直接写出结果： 3 1 2 ?? = ? ?? ______，()42-=______．（2）关于除方，下列说法错误的是（） A．任何非零数的2次商都等于1 B．对于任何正整数n，()1 11 n- -=- C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？（3）试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 () 4 3-=______ 6 1 5 ?? = ? ?? ______

西安交大少年班入学考试试题

数学：全国数学竞赛或联赛的题要做，黄东坡的《培优竞赛新方法》的竞赛内容。物理：省赛水平，力电为主，去年光声都没考。语文：古文要注意，作文关注社会热点。英语：看高中词汇，做高考阅读和完型填空。化学：去年没考，建议天原杯的原题。面试：10个科普，一个一分钟回答，一个动手能力操作，一个团队合作项目，再问你什么事情让你成长最多。面试时要努力争取发表意见的机会但不要让人觉得你爱出风头过于张扬，要把握一个度。科普：书香门第是什么意思？被蚊子叮了为什么痒？兔子上山快还是下山快为什么？NBA单场最高得分是多少？一分钟：砖块的用处？空城计被识破了会怎么样？团队合作：每人在一张纸上画一笔，并起一个名字。动手：如何把一张纸变得最长，要有创意。数学是最难的一门，甚至有好多高中奥赛的题，千万不要指望都做出来，重要的是心态，不要慌，能做多少做多少就行了。语文重要的是阅读量，都是初中生没看过的，如果你平常看的课外书比较多，应该不成问题。英语吗，我英语比较好，当时考了全河北省第一，所以觉得比较简单，呵呵，给不出什么建议，抱歉啦。物理不难，要做一本叫《初中生物理培优教程》，有大量原题。面试要落落大方，大胆些，抢到说话的主动权，无论发生什么紧急状况，千万不要怵，因为那是评委给你设的套！题目很多，我是去年的，我们先是自我介绍，然后专家会根据你的介绍向个人提问题。不过，呵呵，有的会问提前写好的问题，我们那一组有两道题挺好“如果照相时摄影师没有安排你位置，你会选择坐在哪里？”，“你如何看待学校里阴盛阳衰（女生比男生强势）的问题？”反正，我觉得这种题，你最好答的成熟一些，比如我前面有个人答第一个题，她竟说在最边上！当时我觉得她就挂掉了。不过因人而异，表达自己就好，专家通常能看出你是不是很真实，最忌讳虚假！！！然后就是看了一幅图片，我记得当时是一只母鸡喂养一只小狗，然后写下自己的感想，然后依次发言，我的建议，写的不要太详细，关键字写上就好，这样发言时自由空间比较大。然后是动手操作，我知道两道题：用一个纸杯，一根吸管，胶带，一根牙签（好像是），一个组做一个能下落时间最长的飞行器，一个组我记得是做能从斜面上滑下能直线运动且运动最远的模型。反正你只要做得比同组人做的好就行了。比较式的那种呵呵，你比同组强就行了。我是女生，我觉得女生其实挺占优势，至少我们做得差不多就行了，不过最后的环节，他们问你可不可以实验一下，一定要实验哦，否则我个人认为你的主动性得分就会大打折扣。还有最简单有效的模型有时就比奇异形状好。既省时间，又好想。最后一个环节，我们是集体合作将一个字改成画，“旮”。我们组做得超级好。因为我们提前就商量

(完整版)七年级数学(下)培优试题

七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4

7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，（1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用）（1）（2）（3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q

七年级培优竞赛第7讲同类项

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