第二节 离散型随机变量

第二章随机变量及其分布

●第一节随机变量及其分布

●第二节离散型随机变量

●第三节连续型随机变量

●第四节随机变量的分布函数

●第五节随机变量函数的分布

●第六节几种重要的离散型分布

●第七节几种重要的连续型分布

为了描述随机变量X ，我们不仅需要知道随机变量X 的取值，而且还应知道X 取每个值的概率.

一、离散型随机变量的概念

设X 是一个离散型随机变量，它可能取的值是x 1,x 2,….

从中任取3 个球例

其中(k =1,2, …) 满足：

k p ,0≥k p k =1,2, …

（1）∑=k p 1

（2）

用这两条性质判断一个函数是否是

概率函数

二、离散型随机变量的概率分布

解: 依据概率函数的性质:

()1

k

P X k ==∑P(

X =k )≥0,

1

!k k A Ae

k λ

λ

∞

===∑A ≥0

从中解得

欲使上述函数为概率函数应有

A e

λ

-=例(P39)设随机变量X 的概率函数为：

(),!

k P X k A k λ

==k =0,1,2, …,试确定常数A .0

>λ

{} 0,1,2,!

0k

X P X k e

k k X

如果随机变量的概率函数为其中>为常数，则称服从参数为的泊松(Poisson)分布。λ

λ

λλ-==

=

三、表示方法（1）列表法：2

,1,0,)(35

2

33==

=-k C

C

C

k X P k k 再看例

任取3 个球

X 可能取的值是0,1,2

0.1

0.30.6

k

P K

012

X 0 1 2

例(P38)随机变量X 只取两个值和，并且已知

0x 1x 01()1()P X x p P X x p

==-==称这种只取两个值的分布为两点分布。

特别：若

010,1,

x x ==则称X 服从参数为p 的0-1分布。其分布表为：

0 1

X

p 1 p

p

-思考：随机变量X 服从参数为1/3的0-1分布，则P(X=0)＝？

2/3

k 1-k

k P(X =x )=p (1-p)

k =0,1

四、举例

例(P38)对于掷一颗骰子的试验，以X 表示出现的点数，写出随机变量X 的概率分布。

特别地：当p=0.5时，(0-1)分布是均匀分布

注

1

{} 1,2,3,4,5,6

6

P X k k 解===1

{} 1,2,,k i j X P X x k n

n

i j x x X 如果随机变量的概率函数为且当时，,则称服从离散型均匀分布。

===≠≠

例某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p ，求所需射击发数X 的概率函数.

解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，P (X =1)=P (A 1)=p ,

A k = {第k 发命中}，k =1, 2, …，

设

于是

p

p ?-=)1()()2(21A A P X P ==)()3(321A A A P X P ==p

p ?-=2

)1(

,2,1=k p

p k X P k ?-==-1

)1()(可见

这就是求所需射击发数X 的概率函数.

若随机变量X 的概率函数如上式，则

称X 服从参数为p 的几何分布.不难验证:

1

)1(1

1

=?-

∑∞

=-k k p p X 1 2 …

n …

P

p p q … …

列出概率分布

如右表所示

,2,1=k p

p k X P k ?-==-1

)1()(1

n pq -p q -=1

例(P39)设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏

信号灯，每盏信号灯以概率2/3允许汽车通过和以概率1/3禁止汽车通过。以X 表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯盏数。求X 的概率分布及如下概率P{X≤3/2}，P{3/2

P{X=0}=1/3

P{X=1}=2/3×1/3=2/9P{X=2}=2/3×2/3×1/3=4/27

P{X=3}=2/3×2/3×2/3=8/27

P{X≤3/2}P{3/2

=1/3+2/9=15/27X 0 1 2 3

P

13

29

427

827

注:离散型随机变量在某一区间上的概率等于该区间上所有可能取值对应的概率之和。

只要知道了随机变量的概率分布，就可以计算与该随机变量有关的事件的概率.

离散型随机变量由它的概率函数唯一确定.

内容小结

2. 离散型随机变量的概率函数的定义和性质

3. 几种常见的离散型随机变量及其概率分布

两点分布(0-1分布)

离散型均匀分布

几何分布

泊松分布