数学 第一讲全等三角形的性质及判定(一)

第一讲全等三角形的性质及判定（一）

一、要点提示

1、全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。能够相互重合的顶点、边、角分别叫做对应的顶点、对应边、对应角。全等符号为“≌”。

2、组成全等三角形的基本图形：

（1）平移型：如图所示（对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到）

（2）轴对称型：如图所示（重合的顶点就是全等三角形的对应顶点）。

（3）旋转型：如图所示。它们可以看成以某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在对应顶角、某些角的和或差中。

3、全等三角形的性质： ●对应角相等

●对应边相等 ●对应边上的中线相等 ●对应边上的高相等

●对应角的角分线相等 4、全等三角形的判定方法：

（1）边角边定理（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （2）角边角定理（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。 （3）边边边定理（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等。

（4）斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两具直角三角形全等。 5、判定三角形全等的基本思路：

6

、全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，

已知一边一角

边为角的对边→找任意一角→AAS

边就是角的一条边

找这条边上的另一角→ASA 找这条边上的对角→AAS 找该角的另一边→SAS

已知两边

找夹角→SAS

找直角→HL 找另一边→SSS

找两角的夹边→ASA

找任意一边→AAS

已知两角

在证明的过程中，注意有时会添加辅助线。

7、主要考点：能通过判定两个三角形全等，进而可以证明两条线段间的位置关系和大小关系，而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等，是几何证明的基础，进而还会涉及到数学思想中的转化思想和构造法等。

二、全等三角形的判定公理

1、边角边公理(SAS)

有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”)。

例1已知：如图，∠1＝∠2，AB ＝AD 。 求证：△ABC ≌△ADC

变式 已知，如图，等腰△ABC 与△ADE 中，,AB AC AD AE ==,且CAB EAD ∠=∠.

求证：CE BD =

思考:将上图中的△ACB 绕点A 沿顺时针方向旋转,上述结论是否成立? 例2 已知CE=CB ，∠1=∠2，AC=DC ，求证：△ABC ≌△DEC

2、角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”)。

例3 已知AB ∥DE ，BC ∥EF ，D ，C 在AF 上，且AD=CF ，求证：△ABC ≌△DEF ；

B

C

D

变式:已知:如图,A B∥CD,AD∥BC,求证:(1)AB=CD (2)∠B=∠

D

:

3、角角边推论(AAS)

有两角和其中一角的对边相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”)。例4．已知M是AB的中点，∠1=∠2，∠C=∠D，求证：△AMC≌△BMD；

例5.已知：∠B＝∠C，BE＝CF，求证DE＝DF

A

F E

B C

变式:求证:三角形的一边两端到这边的中线或中线延长线的距离相等

4、边边边公理(SSS)

有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)。

例6 已知：如图。A、C、F、D在同一直线上，AF=DC，AB=DE，BC=EF，

求证：△ABC≌△DEF

B

C

D

F

A

D

变式:已知,如图,在△ABC中,M在BC上,D在AM上,AB=AC,DB=DC 求证

:MB=MC

注：SSA,AAA不能作为判定三角形全等的方法

5、斜边、直角边公理(HL)

有斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)。例7．已知：BE⊥CD，BE=DE，BC=DA，求证：①△BEC≌△DAE ② DF⊥BC

变式:已知,如图,AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD

求证:BE⊥

AC

6、针对两个三角形不同的位置关系，总结出寻找对应边，对应角的规律：

①有公共边的，公共边一定是对应边； ②有公共角的，公共角一定是对应角； ③有对顶角的，对顶角一定是对应角；

④两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（角）；一对最短的边（或最小的角）是对应边（角） ⑤全等三角形中，对应角所对的边．．．是对应边，两个对应角所夹的边．．．是对应边； ⑥全等三角形中，对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角对应角。

三、角平分线

1.角平分线的定义。

(1)如果以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，那么这条射线称作这

个角的平分线。

(2 )角平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。

2．角平分线的性质定理和逆定理。

(1)性质定理：在角平分线上的点到这个角两边的距离相等。

已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D 、E ； 求证：PD=PE 。

(2)逆定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D 、E ，PD=PE 。 求证：点P 在∠AOB 的平分线上。

证明：

A

E O

3．三角形角平分线的性质：三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三条边的距离相等。

4．互逆命题与互逆定理．

例8 已知：如图，OD ⊥AD ，OH ⊥AE ，DE 交GH

于O ． （1） 若∠1=∠2，求证：OG=OE ． （2） 若OG=OE ，求证：∠1=∠2

变式:已知:如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,DE ⊥AB 于E,DF ⊥AC 于F , 求证:AD ⊥EF

E

H

一）、补充条件型试题

【例题1】

如图，已知∠ACB=∠DBC ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的 一 个条件是_________.（只需填写一个你认为合适的条件即可）

O

D

C

B

A

【练习】

①如图，已知，在△ABC 和△DCB 中，AC=DB ，若不增加任何字母与辅助线，要使

△ABC ≌△DCB ，则还需要增加的一个条件是__________.

D

C B A

E

D C

B

A

②如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B=∠C ，那么补充下列一个条件后，仍然无法判

断△ABE ≌△ACD 的是 （ ）

A. AD=AE

B. ∠AEB=∠ADC

C. BE=CD

D. AB=AC

二）、组合条件型试题

【例题2】

如图，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，加以证明. ①AB=DE ；②AC=DF ；

③∠ABC=∠DEF ；④BE=CF.

F

E

D

C

B

A

【练习】

1.如图，给出下列三个式子：①EC=BD ；②∠BDA=∠CEA ；③AB=AC

请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明.

E D

C

B

A

2．．如图．．．1．－．10．．，．AB ．．⊥．BC ．．，．Δ．ABE ．．．≌．Δ．ECD ．．．．判断．．．AE ．．与．DE ．．的关系，并证明你的结论．．．．．．．．．．．．．

3．．已知：如图．．．．．．4．－．5．，．AB ．．⊥．AE ．．，．AD ．．⊥．AC ．．，∠．．E ．＝∠．．B ．，．DE ．．＝．CB ．．．．

求证：

．．．．

．．．AD

．．＝．AC

4．．已知：如图

．．的交点，且

．．．．．MQ

．．．．

．．和．NR

．．＝．NQ

．．．中，

．．．MPN

．．．．．．4．－．6．，在△

．．MQ

．．H．是高

求证：

．．.．

．．．HN

．．＝．PM

5．．已知：如图

．．，．ED

．．．．

．．，．AE

．．＝．AC

．．＝．AB ．．．．．．5．－．5．，．AE

．．⊥．AB

．．，．BC

．．⊥．AB

求证：

．．．．

．．⊥．AC

．．．ED

6．．已知：如图．．．．．．5．－．6．，．DE ．．⊥．AC ．．，．BF ．．⊥．AC ．．，．AD ．．＝．BC ．．，．DE ．．＝．BF ．．.．

求证：．．．AB ．．∥．DC ．．.．

7．．已知：如图．．．．．．6．－．8．，．AC ．．与．BD ．．交于．．O ．点，．．AB ．．∥．DC ．．，．AB ．．＝．DC ．．．． （．1．）求证：．．．．AC ．．与．BD ．．互相平分；．．．．．

（．2．）若过．．．O ．点作直线．．．．l ．，分别交．．．．AB ．．、．DC ．．于．E ．、．F ．两点，．．．

求证：．．．OE ．．＝．OF ．．.．

课后作业

1．．已知：如图．．．．．．3．－．1．，．AB ．．、．CD ．．相交于．．．O ．点，．．AO ．．＝．CO ．．，．OD ．．＝．OB ．．．． 求证：∠．．．．D ．＝∠．．B ．．． 分析：要证∠．．．．．．D ．＝∠．．B ．，只要证．．．．______．．．．．．≌．______．．．．．． 证明：在△．．．．．AOD ．．．与△．．COB ．．．中，．．

??

?

??=∠=∠=),______(),______(______),(OD CO AO

∴． △．AOD ．．．≌△．．______ ．．．．．．（． ）．．． ∴． ∠．D ．＝∠．．B ． （．______．．．．．．）．．．

2．．已知：如图．．．．．．3．－．2．，．AB ．．∥．CD ．．，．AB ．．＝．CD ．．．求证：．．．．AD ．．∥．BC ．．．． 分析：要证．．．．．AD ．．∥．BC ．．，只要证∠．．．．．______．．．．．．＝∠．．______．．．．．．，． 又需证．．．______．．．．．．≌．______．．．．．．．． 证明：∵．．．． AB ．．∥．CD ．． （． ），．． ∴． ∠．______．．．．．．＝∠．．______ ．．．．．．（． ），．． 在△．．______．．．．．．和△．．______．．．．．．中，．．

??

?

??===),

______(______),______(______),______(______ ∴． Δ．______．．．．．．≌．Δ．______ ．．．．．．（． ）．．． ∴． ∠．______．．．．．．＝∠．．______ ．．．．．．（． ）．．． ∴． ______．．．．．．∥．______．．．．．．（． ）．．．

2．．已知：如图．．．．．．4．－．1．，．PM ．．＝．PN ．．，∠．．M ．＝∠．．N ．．求证：．．．．AM ．．＝．BN ．．．． 分析：∵．．．．PM ．．＝．PN ．．，∴．． 要证．．AM ．．＝．BN ．．，只要证．．．．PA ．．＝．______．．．．．．，． 只要证．．．______．．．．．．≌．______．．．．．．．． 证明：在△．．．．．______．．．．．．与△．．______．．．．．．中，．．

??

?

??∠=∠=∠=∠),

______(______),______(______),

______(______

∴． △．______．．．．．．≌△．．______ ．．．．．．（． ）．．． ∴．PA ．．＝．______ ．．．．．．（． ）．．．

∵．PM ．．＝．PN ．． （． ），．． ∴．PM ．．－．______．．．．．．＝．PN ．．－．______．．．．．．，即．．AM ．．＝．______．．．．．．．．

3．．已知：如图．．．．．．4．－．2．，．AC ．．BD ．．．求证：．．．．OA ．．＝．OB ．．，．OC ．．＝．OD ．．．． 分析：要证．．．．．OA ．．＝．OB ．．，．OC ．．＝．OD ．．，只要证．．．．______．．．．．．≌．______．．．．．．．． 证明：∵．．．． AC ．．∥．BD ．．，∴．． ∠．C ．＝．______．．．．．．．． 在△．．______．．．．．．与△．．______．．．．．．中，．．

??

?

??==∠∠=∠),

______(______),______(),

______(C AOC

∴．______．．．．．．≌．______ ．．．．．．（． ）．．． ∴． OA ．．＝．OB ．．，．OC ．．＝．OD ．． （． ）．．．