专题7.7：椭圆定义问题的研究与拓展

【问题提出】

问题1：一动圆与已知圆O 1：(x+3）2+y 2=1外切，与圆O 2：(x-3）2+y 2=81内切，则动圆圆心的轨迹方程为_________

问题2：已知圆柱的底面半径为，4与圆柱底面成

30角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程与离心率__________________. 拓展：能否对结论做一般推广？

问题3:已知F 是椭圆14

2=+y x 左焦点，定点)1,3(A ，P 为椭圆上的一个动点，则PF PA 2+的最小值为 . 7

问题4：椭圆第三定义：与两个定点(,0)B a -,(,0)C a 连线的斜率乘积等于定值2

2b a

(,0)a b >的动点A 的轨迹方程是______________，其轨迹是________________.

思考：考虑其逆命题，成立吗？【探究拓展】

探究1：椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积

为．

拓展1：能否对结论作一般性推广？结论如何？拓展2：在双曲线中能否给出类似的结论？

变式：已知AB 是过双曲线2

2221y x a b

-=的中心的一条弦，P 是双曲线上异于顶点的一点，设直线,PA PB 的

斜率分别为12,k k ，则12k k ?=___________

探究2：椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 上任意经过原点的弦

的两个端点与椭圆上的任一点（除这两点外）连线斜率

之积为

变式１：如图，若D 为椭圆12

2=+y x 的右顶点，直线AD 、PD 交直线3=x 于,E F 两点，则EF 的最小

值为．

你能利用我们所探究的结论来解决吗？

变式2：已知椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，A 、B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不

同于A 、B 的一点，直线PA 、PB 斜倾角分别为α、β，则

cos()

αβαβ-+=_______.

3 变式3：如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b

+=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25

F BF ∠=，则直线CD 的斜率为

拓展1：在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆12

2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P ，A

两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B .设直线P A 的斜率为k .

（1）若直线P A 平分线段NM 时，求k 的值；

（2）当k =2时，求点P 到直线AB 的距离d ；

（3）对任意的k ＞0，求证：P A ⊥PB ．你能利用我们所探究的结论来解决（3）吗？

拓展2：请将圆中的其它性质类比到椭圆中，进行探究．

（1）圆的垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦．类比：椭圆中，过原点平分椭圆弦的直线与弦所在直线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）；

（2）圆的切线定理：过切点的直径垂直于圆的切线．类比：椭圆中，椭圆上一点与原点连线的斜率与该点处切线的斜率之积是否为一定值？（假设它们的斜率存在）．

拓展3：椭圆

214

x y +=与x 轴交与,A B 两点，P 是椭圆上任一点，直线,PA PB 分别与直线103x =交与,M N 两点，问以MN 为直径的圆是否过定点？定点为14

(

,0)3

，(2,0)

拓展4：已知椭圆2

214

x y +=的左顶点为A ，过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于,M N 两点（1）当直线AM 斜率为1时，求点M 的坐标

（2）当直线AM 斜率为k 时，直线MN 是否过x 轴上的一定点

（1）64(,)55

M ∴-

6(,0)5

（2）由

:(2),:(2)AM y k x AN y x K

=+=-

+ 由22222

(2)4(2)444

y k x x k x x y =+??++=?+=? 22

164

(14)161640,214M k k x k x k x k -+++-=∴-=+

222

2222828414(,)1414414M M k x k k k M k k k

y k ?-=?-?+∴?++?=?+?

，同理222

284(,)44k k N k k --++ 2222

22246

420514(,0)62865

16164428(14)5145

k k k k k P k k k k k k k +-∴====

----+++

+ 2222

4205428616164445

PM PN k

k k k k k k k k k

k -

-+==∴=---++

拓展5：已知,A B 是椭圆2

214

x y +=上关于x 轴对称的两点，P 是椭圆上任一点，直线,PA PB 分别与x 轴交于点(,0),(,0)M m N n 两点，求证：mn 为定值解：设,(),0,(),,(),,(),,(001111n N m M y x P y x B y x A -0

101

00010100)

(y y x x y m x x x y y m x y --=-?--?-∴ -=∴0x m 01010)(y y x x y --=0

0y y x y y x -- ∴

010100x x y y n x y ---=-)(010

0x x y y y n x ++-=-∴

010100)(y y x x y x n +-+

=∴0

010y y x y y x ++=

444)

44()44(2

0212

12020212

0=--=

----=

--=

∴y y y y y y x y y y y y x y y x mn 为定值

拓展6：如图，已知椭圆1E 方程为22221(0)x y a b a b

+=>>，圆2E 方程为222

x y a +=，过椭圆的左顶点

A 作斜率为1k 直线1l 与椭圆1E 和圆2E 分别相交于

B 、

C ．

（1）若11k =时，B 恰好为线段AC 的中点，试求椭圆1E 的离心率e ；

（2）若椭圆1E 的离心率e =

，2F 为椭圆的右焦点，当2||||2BA BF a +=时，求1k 值；（3）设D 为圆2E 上不同于A 的一点，直线AD 的斜率为2k ，当2

122k b k a

=时，试问直线BD 是否过定点？

若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

解：（1）当11k =时，点C 在y 轴上，且(0,)C a ，则

(,)22a a B -，由点B 在椭圆上，得22

22()()221a a

a b

-+=，∴2213b a =，222

22213c b e a a =

=-=，∴3

e =．

1F ，由椭圆定义知，12||||2BF

BF a +=， ∴1||||BF BA =，则点B 在线段1AF 的中垂线上，∴2

B a c

x +=-，又12c e a =

=，∴12

c a =，b =，∴34B a x =

-，代入椭圆方程得4B

y =±

=8a ±，∴1B B y k

x a

+=2±．（3）法一：由12222(),1,

y k x a x y a

b =+???+=??得2222

122

()0k x a x a a b +-+=， ∴x a =-，或2221222

()

a b k a x b a k -=+， ∵B x a ≠-，∴22212221()B a b k a x b a k -=+，则21

1222

2()B B ab k y k x a b a k =+=+．由2222

(),,

y k x a x y a =+??+=?得222

22()0x a k x a -++=，得x a =-，或2222(1)1a k x k -=+，同理，得2

(1)

1D a k x k -=+，22221D ak y k =+，当2122k b k a =时，42

22222242222222

2()

()B b a b k a a b k a x b a b k b k a

--==++，22222

2B ab k y a b k =+，

222

2222

222222

2222222

2211

()(1)

1BD

ab k ak a b k k k k a a b k a k a b k k -++==----++，∴ BD ⊥AD ，∵2E 为圆， ∴ ∠ADB 所对圆2E 的弦为直径，从而直线BD 过定点（a ,0）. 法二：直线BD 过定点(,0)a ，证明如下：

设(,0)P a ，(,)B B B x y ，则：22

221(0)B B x y a b a b

+=>>

222222

12222222

()1B B B AD PB

PB B B B y y y a a a a b k k k k b b x a x a b x a b a ==??=?=-=-+--，所以PB AD ⊥，又PD AD ⊥

所以三点,,P B D 共线，即直线BD 过定点(,0)P a .

拓展7：已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为6

3，且过点(6，2)．设M 是椭圆C 上的一点，P 、Q 、

T 分别为点M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点， N 为椭圆C 上异于点M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ．（1）求椭圆C 的方程；

（2）当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程．

（1

）由题意得：22

621,c a a b ?=????+=?? 解之得：a 2=12，b 2=4，所以椭圆C 的方程为：14

122

121=+y

x ．（2）设M (x 1，y 1)为椭圆C 上的任意一点（x 1y 1≠0），N (x 2，y 2)，动点E 的坐标为（x ，y ），则P (－x 1，y 1)，

Q (－x 1，－y 1)，T (x 1，－y 1)．所以14

122

121=+y

x ， (1)

122

2=+y

x ． ……(2) (1)－(2)，得04))((12))((21212121

=-++-+y y y y x x x x ．所以

))(())((21212121-=-+-+x x x x y y y y ，即13MN QN k k ?=-．

又MN ⊥MQ ，1MN QM k k ?=-，1

1y x k MN -

=，所以113NQ y

k x =．

直线QN 的方程为1111)(3y x x x y y -+=

，直线PT 的方程为x x y

y 1

1-=．从而得1121

,21y y x x -==

．所以y y x x 2,211-==．由（1），可得)0(13

≠=+xy y x ，此即为所求的轨迹方程．【专题反思】你学到了什么？还想继续研究什么？