2011考研数学归纳-线性代数(基本公式)
线性代数
(一) 行列式
考试内容对应公式、定理、概念
行列式的概念和基本性质、行列式按行（列）展开定理
行列式按行（列）展开定理
(1)
1122
,
(),
0,
ij n n i j i j in jn
A i j
A a a A a A a A
i j
?
?=
?
=+++=?
≠
??
设则
或
1122
,
0,
i j i j ni nj
A i j
a A a A a A
i j
?=
?
+++=?
≠
??
即**,
AA A A A E
==其中
11211
12222
12
*()()
n
T
n ji ij
n n nn
A A A
A A A A A A
A A A
??
?
?
?
===
?
?
?
??
(2)设,A B为n阶方阵，则AB A B B A BA
===
但A B A B
±=±不一定成立
(3)||||,
n
kA k A A n
=为阶方阵
(4)111
|||;||||(|*|||2
T n
A n A A A A A A A n
---
===≥设为阶方阵，则|若可逆）（）5||||,
A O A C A O
A B A B
O B O B C B
===
（），为方阵，
但1||||.
m m mn
n n
O A
A B
B O
?
?
=-
（）
(6)范德蒙行列式12
1
111
12
111
()
n
n i j
j i n
n n n
n
x x x
D x x
x x x
≤<≤
---
==∏-
设A是n阶方阵，(1,2,)
i
i n
λ= 是A的n个特征值，则1
||
n
i
i
Aλ
=
=∏
(二)矩阵
考试内容对应公式、定理、概念
矩阵的概念，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，
矩阵：ij m n a m n ?个数排成行列的表格11121212221
2n n m m mn a a a a a a a a a ???????????? 称为矩阵，简记为,().ij m n A a m n ?=或若，则称A 是n 阶矩阵或n 阶方阵.
矩阵的线性运算
1矩阵的加法 设(),()ij ij A a B b ==是两个m n ?矩阵，则m n ? 矩阵()ij ij ij C c a b ==+称为矩阵A 与B 的和，记为A B C +=
2矩阵的数乘 设()ij A a =是m n ?矩阵，k 是一个常数，则m n ?矩阵()ij ka 称为数k 与矩阵A 的数乘，记为kA .
3矩阵的乘法 设()ij A a =是m n ?矩阵，()ij B b =是n s ?矩阵，那么m s ?矩阵()ij C c =，其中 11221n
ij i j i j in nj ik kj k c a b a b a b a b ==+++=∑ 称为A B 与的乘积的乘
积，记为C AB =
方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充要条件，伴随
矩阵，
11*T A A A -、、三者之间的关系
1)(),(),(),()T T T T T T T T T T A A AB B A kA kA A B A B ===±=±
1111111
12)(),(),(),A A AB B A kA A k
-------===
但 111()A B A B ---±=±不一定成立，
23)(*)*||(3)n A A A n -=≥，()***,AB B A =
1()**(2).n kA k A n -=≥但()***A B A B ±=±不一定成立
11114)()(),()*(*),(*)()*T T T T A A A A A A ----===
2有关A*的结论
1)**||AA A A A E ==
1122)|*|||(2),()**,(*)*||(3)n n n A A n kA k A A A A n ---=≥==≥
3)若A 可逆，则11*||,(*)*||
A A A A A A -==
4)若A 为n 阶方阵，则,()(*)1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =??
==-??<-?
3有关1
A -的结论
;||0;();0A AB E A r A n A A Ax ?=?≠?=???=可逆可以表示为初等矩阵的乘积；无零特征值；只有零解
换，初等矩阵，矩阵的秩，矩阵等价，分块矩阵及其运算1）秩r（A）=行秩=列秩；
2）()min(,);
m n
r A m n
?
≤
3）0()1
A r A
≠?≥；
4）()()();
r A B r A r B
±≤+
5）初等变换不改变矩阵的秩
6）()()()min((),()),
r A r B n r AB r A r B
+-≤≤特别若AB O
=则()()
r A r B n
+≤
7）若1
A-存在()();
r AB r B
?=若1
B-存在
()();
r AB r A
?=
若()()();
m n
r A n r AB r B
?
=?=
若()()();
m s
r A n r AB r A
?
=?=
8）()0
m s
r A n Ax
?
=?=只有零解
2分块求逆公式
11
1
A O A O
O B O B
--
-
??
??
= ?
?
????
；
1111
1
A C A A CB
O B O B
----
-
??
-
??
= ?
? ?
????
；
11
111
A O A O
C B B CA B
--
---
??
??
= ?
? ?
-
????
；
11
1
O A O B
B O A O
--
-
??
??
= ?
?
????
这里A，B均为可逆方阵
(三) 向量
考试内容对应公式、定理、概念
向量的概念，向量的线性组合和线性表示，向量的线性相关与线
性无关1有关向量组的线性表示
(1)
12
,,,
s
ααα
线性相关?至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)
12
,,,
s
ααα
若线性无关，
12
,,,
s
ααα
，β线性相关?β可以由12,,,s
ααα
惟一线性表示.
(3)β可以由12,,,s
ααα
线性表示
?
1212
,,,)(,,,,
s s
r
ααααααβ
=
r(）
2有关向量组的线性相关性
(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.
(2) ①n个n维向量
122
,]|0
n n
αααααα
?≠
1
线性无关|[，，，，
n个n维向量
12
,
n
ααα
线性相关
2
,,,]|0
n
ααα
?=
1
|[，
③若12,S ααα 线性无关，则添加分量后仍线性无关； 或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关 向量组的极大线性无关组，等价向量组，向量组
的秩
1有关向量组的线性表示
(1)12,,,s ααα 线性相关?至少有一个向量可以用其余向量线性表示.
(2)12,,,s ααα 若线性无关，12,,,s ααα ，β线性相关?β 可以由12,,,s ααα 惟一线性表示. (3)β可以由12,,,s ααα 线性表示
?1212,,,)(,,,,)s s r r ααααααβ= (
向量组的秩与矩
阵的秩之间的关系，向量空间及相关概念
1设()m n r A r ?=，则A 的秩()r A 与A 的行列向量组的线性相关性关系为： (1)若()m n r A r m ?==，则A 的行向量组线性无关. (2)若()m n r A r m ?=<，则A 的行向量组线性相关. (3)若()m n r A r n ?==，则A 的列向量组线性无关. (4)若()m n r A r n ?=<，则A 的列向量组线性相关
n 维向量空间的基变换和坐标变换，过渡矩阵
1基变换公式及过渡矩阵
若12,,,n ααα 与12,,,n βββ 是向量空间V 的两组基，则基变换公式为 111212122212121212
(,,,)(,,,)(,,,)n n n n n n n nn c c c c c c C c c c βββαααααα??????==?????? 其中C 是可逆矩阵，称为由基12,,,n ααα 到基12,,,n βββ 的过渡矩阵 2坐标变换公式
若向量γ在基12,,,n ααα 与基12,,,n βββ 的坐标分别是
12(,,,)T n X x x x = ，12(,,,)T n Y y y y = 即
11221122n n n n x x x y y y γαααβββ=+++=+++ ，则向量坐标
变换公式为1X CY Y C X -==或
其中C 是从基12,,,n ααα 到基12,,,n βββ 的过渡矩阵
向量的内积，线性无关向量组的正交规范化方法
内积：1122(,)T T n n a b a b a b αβαββα=+++== Schmidt 正交化
若12,,,s ααα 线性无关，则可构造12,,,s βββ 使其两两正 交，且i β仅是12,,,i ααα 的线性组合(1,2,,)i n = ，再把i β
单位化，记i i i
β
γβ=，则12,,,i γγγ 是规范正交向量组.其中
11βα=， 2122111(,)
(,)
αββαβββ=-
313233121122(,)(,)
(,)(,)αβαββαββββββ=--
…………………………………
121121112211(,)(,)(,)
(,)(,)(,)
s s s s s s s s s αβαβαββαβββββββββ----=----
规范正交基，正
交矩阵及其性质
1正交基及规范正交基
向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基
(四)线性方程组
考试内容
对应公式、定理、概念
线性方程组的克
莱姆法则，奇次线性方程组有非零解的充分必要
条件
1克莱姆法则
线性方程组1111221121122222
1122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=??
+++=????+++=? ，如果系数行列式0D A =≠，则方程组有唯一解
1212,,,n n D D D
x x x D D D
=
== ，其中j D 是把D 中第j 列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式. 2 n 阶矩阵A 可逆0Ax ?=只有零解.,b Ax b ??=总有唯一解，一般地， ()0m n r A n Ax ?=?=只有零解.
非奇次线性方程
组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构
1设A 为m n ?矩阵，若()m n r A m ?=，则对Ax b =而言必有()(),r A r A b m == 从而Ax b =有解. 2设12,,s x x x 为Ax b =的解，则1122s s k x k x k x +++ 当121s k k k +++= 时仍为Ax b =的解；但当
120s k k k +++= 时，则为0Ax =的解.特别
12
2
x x +为Ax b =的解；3122()x x x -+为0Ax =的解. 3非齐次线性方程组Ax b =无解()1()r A r A b ?+=?不能由A 的列向量12,,,n ααα 线性表示. 奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组
的通解.
1齐次方程组0Ax =恒有解(必有零解).当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此0Ax =的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是()n r A -，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系. 2 12,,,t ηηη 是0Ax =的基础解系，即 (1) 12,,,t ηηη 是0Ax =的解； (2) 12,,,t ηηη 线性无关；
(3) 0Ax =的任一解都可以由12,,,t ηηη 线性表出.
1122t t k k k ηηη+++ 是0Ax =的通解，其中12,,,t k k k 是任意常数.
(五)矩阵的特征值和特征向量
考试内容对应公式、定理、概念
矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，1设λ是A的一个特征值，则
21
,,,,(),,,*
m T
kA aA bE A A f A A A A
-
+有一个特征值分别为
21
||
,,,,(),,,,
m
A
k a b f
λλλλλλλ
λ
-
+且对应特征向量相同（T A
例外）.
2若
12
,,,
n
λλλ
为A的n个特征值，则
111
,||
n
n n
i ii i
i i i
a A
λλ
===
==
∑∑∏
从而||0
A A
≠?没有特征值.
3设
12
,,,
s
λλλ
为A的s个特征值，对应特征向量为12
,,,
s
ααα
，若
1122
,
s s
k k k
αααα
=+++
则
1122111222 n n n n n n n
s s s s s
A k A k A k A k k k
ααααλαλαλα
=+++=++
相似变换、相似矩阵的概念及性
质，1若A B
，则
(1)11
,,**.
T T
A B A B A B
--
(2)
11
||||,,()()
n n
ii ii
i i
A B A b r A r B
==
===
∑∑
(3)||||,
E A E B
λλ
-=-对λ
?成立
矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩
阵，1设A为n阶方阵，则A可对角化?对每个i k重根特征值iλ，有()
i i
n r E A k
λ
--=
2设A可对角化，则由1,
P AP
-=Λ有1
A P P-
=Λ，从而1
n n
A P P-
=Λ
3重要结论
(1)若,
A B C D
，则
A O
B O
O C O D
????
????
????
.
(2)若A B
，则()(),()()
f A f B f A f B
，其中()
f A为关于n阶方阵A的多项式.
(3)若A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩(A)
实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵1相似矩阵：设,A B为两个n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得1
B P AP
-
=成立，则称矩阵A B
与相似，记为A B
.
2相似矩阵的性质
如果A B
则有
(1)T T
A B
(2)11
A B
--
()
A B
若，均可逆
(3)()
k k
A B k
为正整数
(4),,
E A E B A B
λλ
-=-从而有相同的特征值
(5),,
A B A B
=从而同时可逆或同时不可逆
(6))(),
A B E A E B A B
λλ
=-=-
秩(秩,、不一定相似
(六)二次型
考试内容对应公式、定理、概念
二次型及其矩阵表示，合同变换与合同矩阵，二次型的秩1n个变量
12
,,,
n
x x x
的二次齐次函数
12
11
(,,,)
n n
n ij i j
i j
f x x x a x y
==
=∑∑
，其中(,1,2,,)
ij ji
a a i j n
== ，称为n元二次型，简称二次型. 若令11121
1
221222
12
,,
n
n
n n n nn
a a a
x
x a a a
x A
x a a a
??
??
??
??
??
??
==
??
??
??
??
????
这二次型f可改写成矩阵
向量形式T
f x Ax
=.其中A称为二次型矩阵，因为(,1,2,,)
ij ji
a a i j n
== ，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵A的秩称为二次型的秩.
惯性定理，二次型的标准形和规范形1惯性定理
对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理.
2标准形
二次型
12
(,,,)T
n
f x x x x Ax
==
经过合同变换x Cy
=化为2
1
r
T T T
i i
i
f x Ax y C ACy d y
=
===∑称为
f()
r n
≤的标准形.在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由()
r A的秩唯一确定.
3规范形
任一实二次型f都可经过合同变换化为规范形22222
121
p p r
f z z z z z
+
=+++---
，其中r A
为的秩，p为正惯性指数，r p
-为负惯性指数，且规范型唯一.
用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性1设A正定?1
(0),,,*
T
kA k A A A
-
>正定；||0,
A>A可逆；0
ii
a>，且||0
ii
A>
2 A，B正定?A+B正定，但AB，BA不一定正定
3 A正定()0,0
T
f x x Ax x
?=>?≠
?A的各阶顺序主子式全大于零
?A的所有特征值大于零
?A的正惯性指数为n
??可逆阵P使T
A P P
=
?存在正交矩阵Q，使
1
1,
T
n
Q AQ Q AQ
λ
λ
-
??
?
?
==
?
?
?
??
其中0,1,2,,.
i
i n
λ>= 正定?1
(0),,,*
T
kA k A A A
-
>正定；
||0,
A>A可逆；0
ii
a>，且||0
ii
A>
线性代数公式大全最全最完美
线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；
2020年考研线性代数重点内容和典型题型总结
XX年考研线性代数重点内容和典型题型总结线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视.线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，因此，专家们提醒广大的xx年的考生们必须注重计算能力.线性代数在数学一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，学好线代也是必要的。下面，就将线代中重点内容和典型题型做了总结，希望对xx年考研的同学 们学习有帮助。 行列式在整张试卷中所占比例不是很大，一般以填空题、选择题 为主，它是必考内容，不只是考察行列式的概念、性质、运算，与行列式有关的考题也不少，例如方阵的行列式、逆矩阵、向量组的线性相关性、矩阵的秩、线性方程组、特征值、正定二次型与正定矩阵等问题中都会涉及到行列式.如果试卷中没有独立的行列式的试题，必 然会在其他章、节的试题中得以体现.行列式的重点内容是掌握计算 行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶.但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进 行恒等变形，化简之后再展开.另外，一些特殊的行列式(行和或列和相等的行列式、三对角行列式、爪型行列式等等)的计算方法也应掌握.常见题型有：数字型行列式的计算、抽象行列式的计算、含参数 的行列式的计算.关于每个重要题型的具体方法以及例题见《xx年全国硕士研究生入学统一考试数学120种常考题型精解》。 矩阵是线性代数的核心，是后续各章的基础.矩阵的概念、运算及理论贯穿线性代数的始终.这部分考点较多，重点考点有逆矩阵、伴
随矩阵及矩阵方程.涉及伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩及包含伴随矩阵的矩阵方程是矩阵试题中的一类常见试题.这几年还经常出现有关初等变换与初等矩阵的命题.常见题型有以下几种：计算方阵的幂、与伴随矩阵相关联的命题、有关初等变换的命题、有关逆矩阵的计算与证明、解矩阵方程。 向量组的线性相关性是线性代数的重点，也是考研的重点。xx年的考生一定要吃透向量组线性相关性的概念，熟练掌握有关性质及判定法并能灵活应用，还应与线性表出、向量组的秩及线性方程组等相联系，从各个侧面加强对线性相关性的理解.常见题型有：判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的命题。 往年考题中，方程组出现的频率较高，几乎每年都有考题，也是线性代数部分考查的重点内容.本章的重点内容有：齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明、齐次(非齐次)线性方程组的求解(含对参数取值的讨论).主要题型有：线性方程组的求解、方程组解向量的判别及解的性质、齐次线性方程组的基础解系、非齐次线性方程组的通解结构、两个方程组的公共解、同解问题。 特征值、特征向量是线性代数的重点内容，是考研的重点之一，题多分值大，共有三部分重点内容：特征值和特征向量的概念及计算、方阵的相似对角化、实对称矩阵的正交相似对角化.重点题型有：数
考研数学线代定理公式汇总
考研数学线代定理公式汇总
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
3 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+
4 ? ? ????? →???? :;具有 向量组等价矩阵等价()反身性、对称性、传递性矩阵相似()矩阵合同() √ 关于12,,,n e e e ???： ①称为n ? 的标准基，n ? 中的自然基，单位坐标向量87p 教材； ②12,,,n e e e ???线性无关； ③12,,,1n e e e ???=； ④tr =E n ； ⑤任意一个n 维向量都可以用12,,,n e e e ???线性表示. 行列式的定义 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算： ①行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.
考研数学线性代数行列式的计算方法
考研数学线性代数行列式的计算方法考研数学线性代数行列式的计算方法 一、基本内容及历年大纲要求。 本章内容包括行列式的定义、性质及展开定理。从整体上来看，历年大纲要求了解行列式的概念，掌握行列式的性质，会应用行列 式的性质及展开定理计算行列式。不过要想达到大纲中的要求还需 要考生理解排列、逆序、余子式、代数余子式的概念，以及性质中 的相关推论是如何得到的。 二、行列式在线性代数中的地位。 行列式是线性代数中最基本的运算之一,也是考生复习考研线性 代数必须掌握的基本技能之一(另一项基本技能是求解线性方程组)，另外，行列式还是解决后续章节问题的一个重要工具，不论是后续 章节中出现的重要概念还是重要定理、解题方法等都与行列式有着 密切的联系。 三、行列式的计算。 由于行列式的计算贯穿整个学科，这就导致了它不仅计算方法灵活，而且出题方式也比较多变，这也是广大考生在复习线性代数时 面临的第一道关卡。虽然行列式的计算考查形式多变，但是从本质 上来讲可以分为两类：一是数值型行列式的计算;二是抽象型行列式 的计算。 1.数值型行列式的计算 主要方法有： (1)利用行列式的定义来求，这一方法适用任何数值型行列式的 计算，但是它计算量大，而且容易出错;
(2)利用公式，主要适用二阶、三阶行列式的计算; (3)利用展开定理，主要适用出现零元较多的行列式计算; (4)利用范德蒙行列式，主要适用于与它具有类似结构或形式的行列式计算; (5)利用三角化的思想，主要适用于高阶行列式的计算，其主要思想是找1，化0，展开。 2.抽象型行列式的计算 主要计算方法有： (1)利用行列式的性质，主要适用于矩阵或者行列式是以列向量的形式给出的; (2)利用矩阵的运算，主要适用于能分解成两个矩阵相乘的'行列式的计算; (3)利用矩阵的特征值，主要适用于已知或可以间接求出矩阵特征值的行列式的计算; (4)利用相关公式，主要适用于两个矩阵相乘或者是可以转化为两个矩阵相乘的行列式计算; (5)利用单位阵进行变形，主要适用于既不能不能利用行列式的性质又不能进行合并两个矩阵加和的行列式计算。 我们究竟该做多少年的真题? 建议大家在刚开始复习的时候，不要去做真题，因为以你刚开始复习的程度还不足以支撑起真题的难度和深度。我们做真题的时间是在我们的强化阶段结束之后，也就是提高阶段和冲刺模考去做真题。 应该怎么样去做真题? 第一：练习重质不重量
考研线代公式总结
1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；
最全线性代数公式笔记
线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
线性代数公式大全——最新修订(突击必备)
线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解；
?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵：
考研数学线性代数知识点梳理
从近几年的真题来看，数学线性代数出题没有过多的变化，2014年的考研[微博]学子们，如何做到在千军万马中胜出，需要我们提前准备，更要做到心中有数，下面跨考教育[微博]数学教研室张老师就考研中线性代数部分的复习重点 在考前再给大家梳理一遍。 一、行列式与矩阵 第一章《行列式》、第二章《矩阵》是线性代数中的基础章节，有必要熟练 掌握。 行列式的核心内容是求行列式，包括具体行列式的计算和抽象行列式的计 算，其中具体行列式的计算又有低阶和高阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于相关性质，矩阵部分出题很灵活，频繁出现的知识点包括矩阵运算的运算规律、运算性质、矩阵可逆的判定及求逆、矩阵的秩的性质、初 等矩阵的性质等。 二、向量与线性方程组 向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。 向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。 解线性方程组可以看作是出发点和目标。线性方程组(一般式) 还具有两种形式：(1)矩阵形式，(2)向量形式。 1)齐次线性方程组与线性相关、无关的联系 齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当变量都为零时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。 齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：①有唯一零解；②有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的变量只能全为零才能使等式成 立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为零的变量使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关无关的概念就是为了更好地讨论线 性方程组问题而提出的。
考研数学三必背知识点：线性代数
线性代数必考知识点 一、行列式 1、逆序数 一个排列n i i i i ,,,321若有类似21i i 时，我们称21i i 组成一个逆序。一个排列中逆序总的个数之和称为逆序数，记为)(21n i i i 2、行列式性质 (1) 行列式行列互换，其值不变，即T A A (2) 行列式两行或两列互换，其值反号。 (3) 行列式某行或某列乘以k 等于行列式乘以k 。 (4) 行列式某行货某列乘以k 加到另一行或列上，行列式值不变。 (5) 行列式两行或两列对应成比例，则行列式为零。 (6) 行列式某行或某列元素为零，则行列式为零。 (7) 上、下三角行列式其值为主对角线上元素乘积。 (8) 行列式值等于对应矩阵所有特征值的乘积，即n A 21 (9) 齐次线性方程组0 Ax 有非零解n A r A )(0 3、行列式行列展开定理 (1) 余子式ij j i ij A M )1( (2) 代数余子式ij j i ij M A )1( 4、三阶行列式展开公式 33211232231131221332211331231233221133 32 3123222113 1211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 二、矩阵 1、矩阵运算 (1) 矩阵加减法即是将对应元素进行加减。 (2) 矩阵乘法是将对应行与对应列元素相乘再相加。 (3) 矩阵除法是乘以逆矩阵。 (4) 矩阵加减法满足交换律、结合律，乘法满足结合律、分配率。 (5) n 阶方阵一般可以有1*,,, A A A A T 四大基本矩阵运算 2、矩阵的行列式 (1) A k kA A A n T , (2) A B B A BA AB 3、矩阵转置 (1) T T T T T T T T T T A B AB kA kA B A B A A A )(,)(,)(,)( (2) **11)()(,)()(T T T T A A A A
2020考研 线性代数_常用公式
考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也
可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组
线性代数公式大全
概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ
考研数学公式(高数-线代-概率)40923
考研数学公式(高数- 线代-概率)40923 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 π π
精心整理线性代数公式大全
1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法;
数二考研线代公式
第一章 1.1 行列式展开式 1.1.1 定义 1.1.2 按行按列展开 1.1.3 上下三角行列式 1.1.4 副对角线 1.1.5 拉普拉斯展开式 设A 是m 阶矩阵,B 是n 阶矩阵 1.1.6 特征值形式 [a b b b b b b a =1.2 公式 第二章 2.1 矩阵运算 2.1.1 矩阵乘法运算 2.1.1.1. 2.1.1.2. 2.1.1. 3. 2.1.1.4. []βαT n n b b a a A A r n =???? ??????=?= 1 11)(阶矩阵 其中T α为矩阵中的第一列，β为第一列的倍数 2.1.2 矩阵逆的运算 2.1.2.1. 二阶矩阵逆的运算公式 2.1.2.2. 2.1.3 矩阵转置的运算 T T A A)(λλ=
2.1.4 矩阵伴随的运算 2.1.5 矩阵的秩 2.1.6 分块矩阵运算 2.1.6.1. 矩阵分块乘法 2.1.7 矩阵乘法转化为方程组 r(B)} min{r(A),<=r(C)，C 则0,B 0,A 即，B 、A ，C =AB 若因为线性无关线性无关 ≠≠ 2.1.9 矩阵的高次幂 2.2 幂零矩阵的性质 性质1：A 为幂零矩阵的充分必要条件是A 的特征值全为0。 性质2：A 为幂零矩阵的充分必要条件为0k k Z trA +?∈ = 性质4：若A 为幂零矩阵，则A 一定不可逆但有1,1A E E A +=-= 性质6：若A 为幂零矩阵，B 为任意的n 阶矩阵且有AB BA =，则AB 也为幂零矩阵 性质10：与幂零矩阵相似的矩阵仍为幂零，且幂零指数相同并相似于严格上三角形 性质11：若A 为幂零矩阵，则,,,()A A A mA m Z *+'-∈都为幂零矩阵，特别有2()0A *= 2.3 方阵可逆等价条件 第三章 3.1 线性表出与线性相关
线性代数公式精简版
1、行列式 1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 逆序数计算 2. 行列式的重要公式： （1）、主对角行列式：主对角元素的乘积； （2）、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()----===T T T T A A A A A A *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 方阵行列式性质。(1)||||;(2)||||;(3)|||||===T n A A A A AB A B λλ 注意：矩阵乘法不满足交换律。 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ??? = ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1A B -，即：1(,)(,)c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,)r A b E x ，则A 可逆，且1x A b -=； 4. 矩阵秩的基本性质： ①、0()min(,)m n r A m n ?≤≤； ②、()()T r A r A =； ③、若A B ，则()()r A r B =； ④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+； ⑥、()()()r A B r A r B +≤+； ⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；
2019考研数学一线性代数复习内容有哪些
2019考研数学一线性代数复习内容有哪些 来源：智阅网 考研数学一的线性代数的公式概念结论尤其多，而且很多概念和性质之间的联系也多，特别是每年线性代数的大题考试内容，往往一个公式或者结论不知道，后面的过程就无法做下去。同时，线代对抽象思维及推理能力的考察比较多，所以考生在复习中要重点注意。 首先，基础过关。 线代概念很多，重要的有代数余子式、伴随矩阵、逆矩阵、初等变换与初等矩阵、正交变换与正交矩阵、秩(矩阵、向量组、二次型)、等价(矩阵、向量组)、线性组合与线性表出、线性相关与线性无关、极大线性无关组、基础解系与通解、解的结构与解空间、特征值与特征向量、相似与相似对角化、二次型的标准形与规范形、正定、合同变换与合同矩阵。 而运算法则也有很多必须掌握：行列式(数字型、字母型)的计算、求逆矩阵、求矩阵的秩、求方阵的幂、求向量组的秩与极大线性无关组、线性相关的判定或求参数、求基础解系、求非齐次线性方程组的通解、求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)、判断与求相似对角矩阵、用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。 其次，加强抽象及推理能力。 线性代数是跳跃性的推理过程，在做题时表现的会很明显。同学们在做高等数学的题时，从第一步到第二步到第三步在数学式子上一个一个等下去很清晰，但是同学们在做线性代数的题目时从第一步到第二步到第三步经常在数学式子上看不出来，比如行列式的计算，从第几行(或列)加到哪行(列)很多时候很难一下子看出来。这都需要同学们不但基础知识掌握牢靠，还要锻炼自己的抽象及推理能力。 大家还可以做做汤老师的2019《考研数学接力题典1800》（数学一），加深对于常考题型的解题方法的掌握。
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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='?-='?='-='='2 22211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='??????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222?? ? ??++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 222222222222222222 222 020ππ
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线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）；
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