2017届高三数学一轮复习-课堂精讲-数列综合应用 - 参考答案

10

6.6 数列综合应用答案提示

四、例题精讲：

1．（1）设等差数列{}

n

a的公差为d，由题意得413

3

a a

d

-

==，所以=3

n

a n，设等比数列{}

n n

b a

-

的公比为q，由题意得344

11

8

b a

q

b a

-

==

-

，所以=2

q，所以11

11

=()2

n n

n n

b a b a q--

--=，从而

1*

32()

n

n

b n n N

-

=+∈；（2）由（1）知1*

32()

n

n

b n n N

-

=+∈，数列{3}n的前n项和为3(1)

2

n n+，数列1

{2}

n-的前n项和为1221

n

n

-=-，所以{}

n

b的前n项和为n

3(1)+21

2

n n+-

2．解：（1）当1

n=时，111

a S

==，当2

n≥是，

2

2

1

(1)1

22

n n n

n n

n n

a S S n

-

-+-

+

=-=-=，故{}n a

的通项公式为=

n

a n；（2）由（1）知2(1)

n n

n

b n

=+-，记数列{}n b前2n项和为2n

T，则

12221

2

(222)(1232)(22)

n n

n

T n n

+

=++++-+-++=-+

3．解：（1）证明：由已知

2

2

1(2)

n

n n n

b

n

b S S

=≥

-

，又

1

n n n

b S S-

=-，

2

11

2()()

n n n n n n

S S S S S S

--

∴-=--，即11

22

n n n n

S S S S

--

-=，又110

S=≠，所以10

n n

S S-≠，所以

1

111

2

n n

S S-

-=，所以数列1

()

n

S

成等差数列，且11

1(1)

2

n

n

S

=+-，所以1

1

n

S

n

=

+

，所以11

22,*

(1)

n

n

b

n n N

n n

=

??

=?

-≥∈

?+

?

；（2）设上表从第三行起，每行的公比都为q，且0

q>，因为121278

+++=

，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a的前78项，故81

a在表中第13行

第三列，因此2

8113

4

=

91

a b q=-

，又132

1314

b=-

?

，所以2

q=，记表中第(3)

k k≥行所有项的和为S，则

(1)2122

(12)(3)

1(1)12(1)

k k

k

k

b q

S k

q k k k k

---

===-≥

-+-+

。

五、同步巩固：A组

1．)

1

1

1(2

)1

(

2

+

-

=

+

=

n

n

n

n

a n

)

(*

N

n∈，

)]

1

1

1(

)

4

1

3

1(

)

3

1

2

1(

)

2

1

1

[(

2

+

-

+

+

-

+

-

+

-

=

∴

n

n

S n

1

2

+

=

n

n，选)

(B

2. n

n

n

n

a n-

+

=

+

+

=1

1

1

，)

1

(

)

2

3

(

)1

2

(n

n

S n-

+

+

+

-

+

-

=

∴

10

1

1=

-

+

=n，120

=

∴n，选)

(C

3． 1

1

=

a，n

n

a

n

a

n)1

(

21+

=

+

，

n

n

a

a

n

n

2

1

1+

=

∴+，1

1

2

2

3

3

2

2

1

1

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

n

n

n

n

n

?

?

?

?

?

?

=

∴

-

-

-

-

-

1

1

2

2

3

3

2

2

1

1

2

1

1

?

?

?

?

-

-

?

-

-

?

-

?

=

-

n

n

n

n

n

n

n1

2-

=

n

n，选)

(B

4．

2

1111

12

32

n

n

b

a n n

n n

===-

++

++

，所以{}

n

b前10项的和

6.6 数列综合应用

6.6 数列综合应用

11

10111111115=2334111221212

S -+-++-=-= .故选)(B

5．由16a =得25a =，33a =，46a =，55a =， ，易知{}n a 是周期为3的数列，所以

2015367122

5

7

a a a ?+===，故选)(B 6． 由题有

{

5

6a b ab +==，解得{32a b ==或 {

23a b ==（舍去）

，c e a =. 7．811-==S a ，当2≥n 时，102)]1(9)1[(9221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n ，

102-=∴n a n )(*N n ∈，85<

15<<∴k ，8=∴k ．

8．由题意可知212n S n n =+，又22

k k S S =，所以422211()22k k k k +=+，即 43104

k k -=，因为

k 为正整数，所以4k =. B 组

9． 因为112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2=2[(1)(2)1]3333n n n n -+-+++=+- ，所以

331n a n =+-，设33()1(0)f x x x x =+->，由

对勾函数单调性可知，()f x

在)+∞

上单调递增，在(0,上单调递减，因为

*n N ∈，所以

n a n 有最小值，又因为553=55

a

，66321==662a ，所以最小值为212.

10．设(2)*2015=n n a ，则1(22)*2015n n a ++=，又12*20151a ==，所以数列{}n a 是首项为1，

公比为3的等比数列，所以13n n a -=，所以10062014*2015=(21007)*20153?= 11．利用错位相减法求和得62)32(1+?-=+n n n S ．

12．由题知表格中第三列中的数构成首项为4，公比为12

的等比数列，故有1x =；由题可知第

四列前两个数字依次为5，52

，故第四列中的数构成数列的公比为12

，所以3155()2

8

y =?=，

同理3136()2

8

z =?=，所以2x y z ++=.

13．2

1log 2++=n n a n ，21log 54log 43log 32log 2222++++++=∴n n S n )21544332(log 2++????=n n

52

2

log 2-<+=n ，即6)2(log 2>+n ，622>+∴n ，62>∴n ，∴ n 的最小值为63．

14．解：（1）由1221(2)n n n a a n -=+-≥得44322181a a =+-=，所以333a =，同理213a =， 15a =（2）证明：由1221(2)n

n n a a n -=+-≥得

111

1222

11222n n n n n

n

n a a a ----+--=

=

+，

所以1111122n n n n a a -----=，所以1

{}2n n a -是等差数列，且公差为1，

所以

11

11=+(1)1122

n n a a n n ---?=+，所以(1)21n

n a n =+?+ 15．（1）0)12(21020103010=++-S S S ，1020203010)(2S S S S -=-∴，)(210201010S S q -∴

12

10

20

S

S-

=，1

210

10=

∴q，}

{n a

为正数等比数列，0

>

∴q，

2

1

=

∴q，

n

n

n

q

a

a

2

1

1

1

=

?

=

∴-)

(*

∈N

n；（2）

n

n

n

S

2

1

1

2

1

1

)

2

1

1(

2

1

-

=

-

-

=

，

n

n

n

n

nS

2

-

=

∴，n

T

∴)

2

2

2

2

1

(

)

2

1(

2n

n

n+

+

+

-

+

+

+

=

，

)

2

2

1

2

2

2

1

(

)

2

1(

2

1

21

3

2+

+

-

+

+

+

-

+

+

+

=

∴

n

n

n n

n

n

T

，两式相减得

1

22

)

2

1

2

1

2

1

(

)

2

1(

2

1

2+

+

+

+

+

-

+

+

+

=

n

n

n n

n

T

，

1

2

2

1

1

)

2

1

1(

2

1

4

)1

(

2+

+

-

-

-

+

=

∴

n

n

n n

n

n

T

，

2

2

2

2

)1

(

-

+

+

+

=

∴

n

n

n

n

n

T．

C组

16．（1） x

x

x

f2

3

)

(2+

=

'，∴曲线)

(x

f

y=在))

(

,

(1

1+

+n

n

x

f

x处的切线斜率

2

111

32

n n n

k x x

+++

=+， 过)0,0(和))

(

,

(n

n

x

f

x两点的直线斜率n

n

x

x+

2，∴2211

32

n n n n

x x x x

++

+=+.

（2） x

x

x

h+

=2

)

(，当0

>

x时单调递增，而222

1111

3242

n n n n n n

x x x x x x

++++

+=+≤+，

即

1

2

1

22

)

2(+

+

+

≤

+n

n

n

n

x

x

x

x，∴1

2+

≤n

n

x

x，∴

2

1

1≥

+

n

n

x

x

，

∴1

1

1

2

2

1

1

)

2

1

(-

-

-

-

≥

?

?

?

?

=n

n

n

n

n

n

x

x

x

x

x

x

x

x ．又)

(21

2

1

2

+

+

+

≥

+n

n

n

n

x

x

x

x，令n

n

n

x

x

y+

=2，则2

1

1≤

+

n

n

y

y

， 2

1

2

1

1

=

+

=x

x

y，∴2

1

1)

2

1

(

)

2

1

(-

-=

?

≤n

n

n

y

y，∴2

2)

2

1

(-

≤

+

≤n

n

n

n

x

x

x，故2

1)

2

1

(

)

2

1

(-

-≤

≤n

n

n x.

6.6 数列综合应用