幻方
学 校 班 级 姓 名
用2
、4、6……18编制一个三阶幻方。
例1
传说四五千年前，我国黄河、洛水一带经常发生水灾。大禹治水时，洛水中浮现出一只大乌龟，乌龟背上有9个数（如下图）：
这是天给禹的启示，后来用自然数表示（如上图），叫做洛书，外国人称洛书为“中国方阵”。由于“中国方阵”有许多有趣的现象，如每一行、每一列和每一对角线上各个数之和都相等，所以我们把这样的方阵图叫做幻方。把相等的和叫做幻和。横、竖方格数是几，就叫几阶幻方。如上右图就叫三阶幻方。
奥数体验课
幻方
例
2 方法介绍：杨辉法。
古代数学家杨辉在《续古摘奇算法》中介绍了一种排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”如下图：
四位数
5□1□ 能同时被2，3，5整除，这样的四位数有哪几个？
用
1、3、5、……17这9个数构造一个三阶幻方。
图中标明A 、B 、C 、D 的地方填上适当的数，使它成为一个三阶幻方。
A
17 D B 13 11 14
C
16
例
2 练1
例
3
在下面图中的A 、B 、C 、D 处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。
用1～16这１６个数构造一个四阶幻方。
用2、4、6……32构造一个四阶幻方
练3
练2
学校 姓名 评分 1、用3到11填空，使得横、竖及对角的数的和都是一样的。
2、用10～25这16个数构造一个四阶幻方
3、将右图中的数重新排列，使得横行、竖行和对角线的三个数的和都相等。
幻方 巩固作业
讲题心得
幻方解法
说到幻方和九宫数大多数人都不陌生，在金庸先生著名的武侠小说《射雕英雄传》中就有郭靖在黄蓉的指导下为英姑指点九宫数的排列：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”想必各位朋友也都玩过这个数字游戏，但对幻方又了解多少呢？ 500){this.resized=true;this.style.width=500;}" border=0> 幻方又称为纵横图、魔方、魔阵或奇平方，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。 所谓纵横图，它是由1到n2，这n2个自然数按照一种的规律排列成N行、N列的一个方阵。它具有一种奇妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。 关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。 500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个数。这九个数就可以组成一个纵横图，也就是记载最早的3阶幻方。
500){this.resized=true;this.style.width=50 0;}" border=0> 洛书被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。同时，洛书以其高度抽象的内涵，对我国古代政治伦理、数学、天文气象、哲学、医学、宗教等等都产生了重要影响。在远古传说中，对于治国安邦上也具有积极的寓意！包括洛书在内的幻方自古以来在亚、欧、美洲不少国家都被作为驱邪避凶的吉祥物，这种古代地域广泛的图腾应该说是极其少见的。 除此之外，还有4阶、5阶...
2008.6.27_任意阶幻方的构造方法
任意阶幻方的构造方法 一、幻方分类 n 表示阶数 二、构造方法 以下幻方均指在n n ?（n 行n 列）的方格里，既不重复也不遗漏地填上1——2n 所构成的幻方。 1、奇数阶幻方——连续摆数法（如图一：以五阶幻方为例） ① 把1填在第一行正中； ② 把i a ()i ≤2放在1－i a 的右上一格；如：3、5、7、8、20等。 ③ 如果i a 所要放的格已超出了顶行，那么就把它放在1－i a 的右一列的最下行；如：2、9、18、25。 ④ 如果i a 所要放的格已超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的上一行的最左列；如：4、10、17、23。 ⑤ 如果i a 所要放的格已超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内；如：16。 ⑥ 如果i a 所要放的格已有数填入，那么就把它放在1－i a 的下一行的同一列的格内。如：6、11、21。 图一 2、单偶数阶幻方()122＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D ；如图二（a ）； （注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入() 2221a a ——＋、在
C 中填入()22312a a ——＋、在 D 中填入() 22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）；如图二（b ）； （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调；如图二（c 、d ）， （不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在C 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与B 中相应方格中的数字对调。 （因为01＝－ m ，所以在C 中没有取数） 图二（d ）即为所求幻方。 图二（a ） 图二（b ） 图二（c ） 图二（d ） 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方；如图三（a ） ② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色（以便于区分），然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格；如图三（b ） （正确理解“每行每列中任取一半的方格”。本例中因为4＝m ，所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格） ③ 从左上角的方格开始，按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方，遇到有底色的方格跳过，计数，这样填满了没有底色的方格；如图三（c ）
探寻神奇的幻方
综合与实践 探寻神奇的幻方 太原第二实验中学白志红 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六
构造幻方
构造幻方 所谓幻方，也教纵横图，就是在n×n的方阵中放入1到n2个自然数：在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好都相等。这个和数就叫做“幻方常数”或幻和。 幻方分为奇数阶幻方、偶数阶幻方（单偶阶幻方、双偶阶幻方），下面就这三类幻方的构造分别示范。 奇数阶幻方的经典方法－罗伯 奇数阶幻方，也就是3阶、5阶、7阶……幻方，那么如何构造这样的幻方呢？ 我们可以采取罗伯法（也叫连续摆数法），其法则如下： 把“1”放在中间一列最上边的方格中，从它开始，按对角线方向（比如说按从左下到右上的方向）顺次把由小到大的各数放入各方格中，如果碰到顶，则折向底，如果到达右侧，则转向左侧，如果进行中轮到的方格中已有数或到达右上角，则退至前一格的下方。 按照这一法则建立5阶幻方的示例如下图： 罗伯法（连续摆数法）的助记口诀： 1居上行正中央，依次斜填切莫忘。 上出框界往下写，右出框时左边放。 重复便在下格填，角上出格一个样。 1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中 依次斜填切莫忘——向右上角斜行，依次填入数字 上出框界往下写——如果右上方向出了上边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字竖直降落至底行对应的格子中 右出框时左边放——同上，向右出了边界，就以出框后的虚拟方格位置为基准，将数字平移至最左列对应的格子中 重复便在下格填——如果数字｛N｝右上的格子已被其它数字占领，就将｛N ＋1｝填写在｛N｝下面的格子中 角上出格一个样——如果朝右上角出界，和“重复”的情况做同样处理。
偶数阶幻方的一种制作方法——双偶阶、单偶阶幻方 1.双偶阶幻方（中心对称交换法） n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……)(n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n×n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1=4×4+1=17；把1换成17-1=16；把6换成17-6=11；把11 换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
第一讲 魔方起源
第一讲魔方起源 一、河图洛书 《易传·系辞》有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。传说距今七八千年前的伏羲时代，一龙马从黄河跃出，其身刻有“一六居下，二七居上，三八居左，四九居右”的数字，此为河图。今河南洛阳孟津老城西北之负图寺（亦名伏羲庙），据说为当年“龙马负图”之处。 大禹治水时，一神龟从洛河爬出，背上的数字排列为“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央”，这就是洛书，如图1所示。今河南洛宁洛河岸边西长水村旁，有“洛出书处”的古碑，据说为当年“神龟贡书”之处。河图洛书奇妙地组合排列了9个基本数字，涵盖了自然界周期性和对称性的特征，反映出东方哲学思想的精髓。 2001年8月8日新华社报道，在安徽凌家滩出土的一块玉片和一只玉龟，经测定制作于五千三百年前的新石器时代。二者紧紧叠压在一起，形象是龟托着玉。玉龟分背甲和腹甲，由孔和暗槽相连。玉片呈长方形，正面刻有两个同心圆，小圆内刻有方心八角星纹；大圆对着长方形的四角各刻有一圭形纹饰；两圆之间被平分为八等份，每等份雕刻一圭形纹饰。这与文献记载中的“河图洛书”相吻合。有关“龟背图”的传说较早记载于春秋时期的《尚书》，说的是远古的一天，一只大龟驮着洛书出现在中国北方的洛河。河图洛书后来成为《周易》最主要的来源之一。 二、洛书走入数学 1977年，在我国安徽省阜阳地区出土了一件汉代文物，称为“太乙九宫占盘”，如图2所示。其实盘上的图就是洛书，据此，洛书可简化为图3的形式，称为九宫图。由于古人给洛书赋予了浓厚的神话色彩，从而引起了后人对九宫图的极大兴趣，作了大量的研究，其结果形成了中国古代数学的重要内容—幻方。最早把九宫图引入数学的，是汉代（公元2世纪）的徐岳。徐岳在他的《数术记遗》中讲到14种算法，其中之一是九宫算：“九宫算，五行参数，犹如循环”。 到了北周（公元557年），甄鸾在《数术记遗》对九宫图算作了一段注释：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央”。这段话和前面关于洛书的传说是一致的。从此以后，洛书在数学上就被称作九宫图了。奇怪的是，自汉代徐岳把洛书引入到数学后，除北周甄鸾的注解外，再无人问津。这种局面一直持续到宋代（公元13世纪），沉默了700多年。这种沉默绝不是偶然的，与这一时期洛书的失传有关。
探寻神奇的幻方教学设计原稿
《探寻神奇的幻方》（1）教学设计 甘肃省张掖市甘州区新墩镇中心学校闫治春 一、教材分析 《探寻神奇的幻方》是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，这节内容是以古老的幻方知识为引子，以探寻三阶幻方的本质特征为载体，让学生借助对实际问题中的数量关系符号化抽象的过程，从而达成领会问题、探究方法、提升问题、解决问题的目标。本节共2课时，作为第一课时，重在引导学生获得“从特殊到一般”的研究方法，其过程是落实数学活动经验积累、学会学习的重要载体，其方法是一种全新的以自主探究为特色的学习方式。 二、学情分析 学生已完成了“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，有过“探索规律”的经历，对图形对称性也有初步了解。本节课主要面临的问题是从哪里入手以及从哪些角度研究三阶幻方的本质特征和构造思路，如何讲清特征背后的道理、提炼幻方构造的普适性方法。 本节课是学生初中阶段第一次接触综合实践活动，其研究意识和研究思路还不成形，教学定位在示范引领学生初步掌握研究性学习的方法，以面向全体学生的数学活动为主线，在层层递进的探究过程中引导学生积累数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，进而从中感受和反思解决问题的方法和经验。 三、任务分析 《探寻神奇的幻方》是北师大版数学七年级上册综合与实践学习课题之一。根据新课标的要求，通过本课题的学习应让学生能够结合实际情境，经历解决具体问题的方案的过程；在参与过程中学会反思，并能进行交流，进一步获得数学活动经验；能够通过对有关知识的探讨，了解所学知识之间的关联，发展应用意识和能力。因此，本节课的设计以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；以“有理数及其运算”与“整式及其加减”的知识为基础，提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按
第11讲简单的幻方及其他数阵图
第十一讲简单的幻方及其他数阵图 有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方. 据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”. 洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. 一般地说，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶. 杨辉在《续古摘奇算法》中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释. 九子排列上、下对易左右相更四维挺出 怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数. 下面我们就来介绍一些简单的幻方. 例1 将1～9这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.
分析为了便于叙述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示. 解答这个题目，可以分三步解决： ①先求出每行、每列三个数的和是多少？ ②再求中间位置的数是多少？此题是求E=？ ③最后试填其他方格里的数. ∵A+B+C+D+E+F+G+H+I =1+2+3+4+5+6+7+8+9 =45. ∴A+B+C=D+E+F=G+H+I=15. ∴B+E+H=A+E+I=C+E+G=15. ∴A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E =（A+E+I）（B+E+H）+（C+E+G）+（D+E+F） =15X4. 45+3E=60 3E=15 E=5. 这样，正中央格中的数一定是5. 由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同. 因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其
趣味数学061：一些特殊的幻方
一些特殊的幻方 由我国古代数学瑰宝“洛书”所开创的“幻方”，不仅以其特有的奇妙性质，受到世界各国数学爱好者的青睐，也成为数学文化中一个饶有兴味的课题。对此，前面在多篇文章中，已经做过一些介绍，这里再撷取几个比较特殊的幻方，供网友们玩赏。这些幻方的奇妙性质更加扑朔迷离，兴味无穷。 一、间隔幻方 1 35 24 54 43 9 6 2 32 6 40 19 49 48 14 5 7 27 47 13 58 28 5 39 20 50 44 10 61 31 2 36 23 53 22 56 3 33 64 30 41 11 17 51 8 38 59 25 46 16 60 26 45 15 18 52 7 37 63 29 42 12 21 55 4 34 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260。如果，把这些数同时按行和列隔一个取一个，竟然可以组成两个四阶幻方： 1 24 43 6 2 35 54 9 32 47 58 5 20 13 28 39 50 22 3 64 41 56 33 30 11 60 45 18 7 26 15 52 37 它们每行、每列、每条对角线上4个数的和相等，都是130。所以，这个幻方叫做“间隔幻方”。
16 41 36 5 27 62 55 18 26 63 54 19 13 44 33 8 1 40 45 1 2 22 51 58 31 23 50 59 30 4 37 48 9 38 3 10 47 49 24 29 60 52 21 32 57 39 2 11 46 43 14 7 34 64 25 20 53 61 28 17 56 42 15 6 35 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是260，而且每行、每列、每条对角线上8个数的平方和也相等，都是11180，所以，这个幻方叫做“多重幻方”。 三、双料幻方 46 81 117 102 15 76 200 203 19 60 232 175 54 69 153 78 216 161 17 52 171 90 58 75 135 114 50 87 184 189 13 68 150 261 45 38 91 136 92 27 119 104 108 23 174 225 57 30 116 25 133 120 51 26 162 207 39 34 138 243 100 29 105 152 这个八阶幻方的奇特之处在于：不仅每行、每列、每条对角线上8个数的和相等，都是840，而且每行、每列、每条对角线上8个数的积也相等，都是2058068231856000，所以，这个幻方叫做“双料幻方”。
罗伯法构造幻方
#include 1)每一个数放在前一个数的右上一格； 2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列那么就把它放在前一个数的下 一行同一列的格内； 5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。 #include 神奇的幻方 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 幻方 教学目标： 1.初步认识幻方，了解幻方的起源，激发热爱祖国的思想感情。 2.能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 3.培养自主探究的能力和团结协作的能力。 教学重点：能正确计算每一个九宫格中8个三数之和。 教学难点：探索幻方的规律，并能运用规律灵巧地找出幻方中的缺数。 教具准备：课件、学习单 教学过程： 一. 故事引入 （大禹治水的故事） 师：今天又要学习新本领了，在学新本领之前，老师请大家先听一个故事（媒体） 【策略说明：数学是来源于生活的。故事的引入能激发学生学习数学的兴趣，让他们能以一种积极的态度开始投入学习新知识的活动中去。】 二、探究新知 （一）认识幻方 1.从乌龟背上的9种花点图案引到九宫图。 师：这张就是洛书（出示），洛书就是现在我们所说的幻方（出示），俗称“九宫 格” 师：观察一下洛书和幻方有什么区别 生：洛书是用点表示的，幻方是用数字来表示的。 师：哪个表示简单 生：用数字表示简单。 师：所以我们就用我们熟悉的啊拉伯数字把洛书的点数用数字表示出来就形成了 这样一张幻方。 师：今天我们就要来学习幻方 2．（出示1） 师：你看到了什么 生：1~9九个数字，三行，三列，两条对角线。 3.（出示2） 师：真棒，那么小朋友们仔细观察，你看懂了什么 生：要计算每行、每列、对角线三个数的和是多少。 师：4，9，2哪里来的3，5，7哪里来的8，5，2哪里来的 师：很好，那么我们把书翻到83页，一起来算一算 师：每行，每列，对角线的和都是多少呢 生：都是15。 师：你发现了什么 生：幻方每行，每列，对角线的和都是15。 师：像这样三行，三列，两条对角线的和都是15的，我们就把它称为和是 15的幻方。 郑州大学毕业论文题目：幻方的性质与应用 学生姓名：学号： 专业：信息与计算科学专业 院（系）： 完成时间 2010年5月20日 目录 幻方的性质与应用 (1) 摘要 (1) 引言 (2) 1幻方及其基本性质 (2) 2幻方的构造 (4) 3幻方的应用 (8) 综述 (9) 结束语及致谢 (10) 参考文献 (10) 幻方的性质与应用 【摘首先，我们简单的介绍一般幻方的定义以及一些特殊的幻方，然后 随着我们对幻方的研究我们又着重介绍了幻方的一些构造，，最后我们浅谈一下有关幻方的应用前景，比方说在美术设计方面的应用，在智力开发方面的应用，在科学技术方面的应用等等。 【abstract】 First, we simply introduce the general definition of magic squares as well as some special magic square，Then as we study magic squares we have highlighted some of the magic square construction，For example, from low-order magic square Magic Squares, Magic Squares of odd order, even order magic square construction and general construction of magic square.， Finally, we look at the Magic Square of prospects，For example, in the art design application, the application of intellectual development in science and technology-based applications。 【关键字】幻方的定义幻方的构造幻方的应用 【keyword】 The definition of magic squares Magic Square Application of Magic Squares 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 1.2几种常见的幻方 2幻方的构造 2.1由低阶幻方构造高阶幻方的方法 2.2奇数阶幻方的构造 2.3偶数阶幻方的构造 2.4一般幻方的构造 3幻方的应用前景 3.1幻方应用于美术设计 3.2幻方应用于智力的开发功能 3.3幻方应用于科学技术之中 引言 所谓幻方也叫纵横图，就是在n′n的方阵中放入从1开始到2n个自然数，在一 定的布局下各行，各列和两条对角线上的数字之和正好相等，这个和数就叫幻方常数或幻和。由于幻方具有这种特殊的性质，几千年来吸引着数学家和数学爱好者的兴趣，并进行了广泛深入的研究，在本论文中我们主要探讨幻方的基本性质及其构造它的一般方法，最后我们在浅谈一下有关它的一些应用前景。 1幻方及其基本性质 1.1幻方的定义 幻方是一系列的数排列成一个方阵，使它的每行和，每列和以及每条 奇数阶幻方，偶数阶幻方，六阶幻方的制作方法 罗伯法（适合编制所有的奇阶幻方） 一居上行正中央，依次斜填切莫忘， 上出格时往下填，右出格时左边放， 排重便在下格填，角上出格一个样。 六阶幻方，具体的做是： 偶阶幻方分两类:双偶数阶幻方和单偶数阶幻方 双偶数:四阶幻方，八阶幻方，……4K阶幻方， 可用<对称交换法>，方法很简单: 1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成4×4的小区，每个小区划对角线 3) 把这些对角线所划到的数，保持不动 4) 把没划到的数,按幻方的中心，以中心对称的方式，进行对调 幻方完成！ 单偶数:六阶幻方，十阶幻方，……4K+2阶幻方 方法是很繁的,有一种称<同心方阵法>: 1) 把幻方分成两个区：一是边框一圈；二是里面一个双偶数方阵, 2) 把(3+8K)到(16K2 +8K+2)按双偶数幻方方法填入双偶数方阵 3) 把余下的数，在边上试填，调整到符合为止 六阶幻方（4×1＋2，k＝1）就是把11～26填入中间4×4方格中 传说在很久很久以前，黄河里跃起一匹龙马，马背上驮着一幅图；洛水里也浮出一只神龟，龟背上也驮着一幅图。这两幅图上都用圆点来表示一组数字，马背上的那幅称为“河图”，龟背上的那幅称为“洛书”。（参见图1）再后来，经过人们研究，发现图中右边的那幅“洛书”，其实是一幅纵横 图，即用1到9这9个数字组成一幅数字图，使它横的每行相加、竖的每列相加以及对角线相加，其和都等于15（参见图2）。我们知道，纵横图就是今天所说的“幻方”，一般地，是指把从1到十的自然数排成纵横各有m 个数，并且使同行、同列及同一对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，其中涉及的是组合数学的问题。而前面所说的“洛书”，就是我国最早的一个三阶幻方。 图1 河图洛书图2 纵横图 长期以来，纵横图一直被看作是一种数字游戏。一直到南宋时期的数学家杨辉，才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图，而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法，从而开创了这一组合数学研究的新领域。 杨辉给出的方形纵横图共有十三幅，它们是：洛书数（三阶幻方）一幅，四四图（四阶幻方）两幅，五五图（五阶幻方）两幅，六六图（六阶幻方）两幅，七七图（七阶幻方）两幅，六十四图（八阶幻方）两幅，九 幻方的研究 作者姓名 学科专业 指导教师 培养院系 摘要 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 本文主要介绍了幻方的起源、解法与应用。 关键词：magic square, magic square solution, application of magic squares. Abstract In a square consists of several rows of numbers consisting of the figure any of rampant, a longitudinal and a few number of diagonal and are equal, having a chart of this nature, known as the "magic square." Ancient Chinese called "Riverside", "Luo Shu", also called "aspect map." This paper describes the origin and application solution magic square. Key words: key word 1, key word2, key word 3, key word 4 幻方的起源 幻方的起源 幻方(magic square)起源于《易》，古称九宫（龟文），乃是我国最先发现的一个著名组合算题。《易》算之于九宫，识之以天象，在古代天文、历法、农牧生产与社会生活中具有广泛的应用价值。易十数为体，八九为用，八九不离十。《易》九宫算动态组合模型（包括河图、洛书、八卦）是幻方的通解与最简模型[1]。 幻方是一个高深莫测的数学迷宫和高智力游戏，它的重重大门闪似乎由一串串非常复、精密而又变化多端的连圜锁“参伍错综”地锁着的，人们走进去也许并不难，但是要走出来谈何容易。现代幻方组合理论及技术水平虽然达到了相当的高度，但我始终不敢轻言谁已经揭示了幻方谜底。 幻方是一个丰蕴的知识宝库。幻方九宫算模型的精髓在于：变、变、变。正可谓“横看成岭侧成峰”。《系辞》曰：“神无方而《易》无体”，这意思是说：九宫算神奇的数理变化不囿于一招一法，其几何形体亦无常于一制一式，因此研究幻方应尽可能采取多种多样的方法。发现新方法是很重要的，但各种方法的具体操作与用法创新、绝技的应用等，有时比方法本身更为重要。不同方法以及方法的不同用法，各种方法合理的交互应用等，必然会产生幻方新的结构与造型。n阶幻方的全部解各有一个幻方群，1至2n自然数列的2n个数在整个幻方群中的变位关系，阶次越大变化就越复杂，它们将遵守精密逻辑、模糊逻辑或非逻辑等等不同规则。 《易》九宫学博大精深。汉徐岳在《数术记遗》中已从算学角度称洛书为九宫，南北朝甄鸾注：“九宫者，即二四为肩，六八为足，左三右七，戴九lu一，五居中央。”唐王希《太乙金镜式经》曰：“九宫之义，法以灵龟—此不易之道也”等等。但幻方九宫算的开拓者首当宋大数学家杨辉，他不仅发现了洛书（三阶幻方）的构图口诀，而且还填出了四阶至十阶多幅幻方以及幻圆、幻环等图形。同时，宋丁易东、明程大位、清张潮与方中通等人，也对幻方组合技术做出过重要贡献[2]。 幻方九宫算是东方大易文化的瑰宝。自汉唐以来统一的中国繁荣富强，在拓疆、移民、传教、航海与丝路开通等对外经贸与文化交流过程中，幻方古算题飘洋过海， 幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标 奇数阶幻方 教授（带图） 11 18 25 2 9 10 12 19 21 3 4 6 13 20 22 23 5 7 14 16 17 24 1 8 15 （1）五阶幻方 （2）七阶幻方 22 31 40 49 2 11 20 21 23 32 41 43 3 12 13 15 24 33 42 44 4 5 14 16 25 34 36 45 46 6 8 17 26 35 37 38 47 7 9 18 27 29 30 39 48 1 10 19 28 （1）幻方简介： 幻方（Magic Square）是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。幻方也是一种汉族传统游戏。旧时在官府、学堂多见。它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等。 在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。幻方也称纵横图、魔方、魔阵，发源于中国古代的洛书——九宫图。公元前一世纪，西汉宣帝时的博士戴德在他的政治礼仪著作《大戴礼·明堂篇》中就有“二、九、四、七、五、三、六、一、八”的洛书九宫数记载。2500年前，孔子在他研究《易经》的著作《系词上传》中记载了：“河出图，洛出书，圣人则之。”最早将数字与洛书相连的记载是2300年前的《庄子·天运》，它认为：“天有六极五常，帝王顺之则治，逆之则凶。九洛之事，治成德备，监照下土，天下戴之，此谓上皇。”明代数学家程大位在《算法统宗》中也曾发出“数何肇？其肇自图、书乎？伏羲得之以画卦，大禹得之以序畴，列圣得之以开物”的感叹，大意是说，数起源于远古时代黄河出现的河图与洛水出现的洛书，伏羲依靠河图画出八卦，大禹按照洛书划分九州，并制定治理天下的九类大法，圣人们根据它们演绎出各种治国安邦的良策，对人类社会与自然界的认识也得到步步深化。 《周易本义》中的《洛书》，一个三阶幻方 宋杨辉著《续古摘奇算法》中曾叙述三阶幻方构造法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出，戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足”。 （2）解幻方方法： 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 三阶幻方的构造方法 洛阳市王城公园西门内屹立着一椭圆形棕色巨石，那就是河图洛书碑． 所谓洛书，指的是用1,2,3,4,5,6,7,8,9这九个数字，组成三行三列的方阵．它的每行每列及两条对角线上的三个数字的和都等于15.古时候称九宫图 ，数学上称为三阶幻方．这一问题有许多解法．这里介绍七种解法． 一 凑 这个问题介绍给小孩子们，他们会用九张纸片，分别写上九个数字（或者用九张扑克牌）在桌（地）面上摆出来答案．此法是＂凑＂出来的． 二 转 第一步把九个数字摆成图一．第二步让周围的八个数字绕着中心的数字依次转动一个位置，成图二，第三步将对角的数字进行对换，成图三．这个方法归结为＂一排，二转，三对换＂．这个方法可以让孩子作游戏，也是有趣的． 987654321 698357214 4 923578 16 图一＂排＂ 图二 ＂转＂ 图三 ＂对换＂ 三 杨辉法 我国古代数学家在＂续古摘奇算法＂中，总结洛书幻方的构造方法时写到：＂九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出＂具体作法如图四――图七． 968 357 24 1 168357249 图四 九子排列 图五 上下对易 1687532 49 4 923578 16 图六 左右相更 图七 四维挺出 四 罗伯法 ［1］ 中所举的罗伯法也可以用来作三阶幻方．罗伯法是这样讲的． 1居上行正中央，依次斜填且莫忘，上出框往下写，右出框时左边放．排重便在下格填，右上排重一个样．罗伯法排出的三阶幻方见图八． 294753618 7 84951 6 23 9 34159672 图八 图九 图十 巴舍法 先画一个凸阶梯形，先填成图九，然后按＂上移下，下移上，左移右，右移左＂（作出的结果与杨辉法完全相同）进行调整成为图十． 五 行列交会法 首先将九个数字排成图十一，然后将中间行中间列不动，作为幻方的左右主对角线，如图十二，因每一个数都是一条左对角线与一条右对角线的交点．所以其它每一个数的行列位置按照：＂左对角线与中间列的交点的行为行，右对角线与中间行的交点的列为列＂的法则确定．作出的结果如图十三． 9876543 21 6 8524 图十一 图十二 6187532 94 9 8665 4 321x x x x x x x x x 图十三 图十四 六 数学解法 设图十四构成三阶幻方，列出方程组神奇的幻方
幻方的性质与应用
幻方的制作方法
幻方的研究
小学思维数学讲义：幻方(一)-带详解
幻方
三阶幻方的构造方法