动量守恒定律中的典型模型

动量守恒定律中的典型模型

1、子弹打木块模型包括木块在长木板上滑动的模型，其实是一类题型，解决方法基本相同。一般要用到动量守恒、动量定理、动能定理及动力学等规律，综合性强、能力要求高，是高中物理中常见的题型之一，也是高考中经常出现的题型。

例1：质量为2m、长为L的木块置于光滑的水平面上，质量为m的子弹以初速度V0水平向右射穿木块后，速度为V0/2。设木块对子弹的阻力F恒定。求：

（1）子弹穿过木块的过程中木块的位移

（2）若木块固定在传送带上，使木块随传送带始终以恒定速度u

例2、如图所示，在光滑水平面上放有质量为2m的木板，木板左端放一质量为m的可视为质点的木块。两者间的动摩擦因数为μ，现让两者以V0的速度一起向竖直墙向右运动，木板和墙的碰撞不损失机械能，碰后两者最终一起运动。求碰后：

（1）木块相对木板运动的距离s

（2）木块相对地面向右运动的最大距离L

2、人船模型

例3、一条质量为M，长为L的小船静止在平静的水面上，一个质量为m的人站立在船头．如果不计水对船运动的阻力，那么当人从船头走到船尾时，船的位移多大？

例4、载人气球原静止于高h的高空，气球质量为M，人的质量为m，若人沿绳梯滑至地面，则绳梯至少为多长？

3、弹簧木块模型

例5、质量为m 的物块甲以3m/s 的速度在光滑水平面上运动，有一轻弹簧固定其上，另一质量也为m 的物体乙以4m/s 的速度与甲相向运动，如图所示。则（ ）

A ．甲、乙两物块在弹簧压缩过程中，由于弹力作用，动量

不守恒 B ．当两物块相距最近时，甲物块的速率为零

C ．当甲物块的速率为1m/s 时，乙物块的速率可能为2m/s ，也可能为0

D ．甲物块的速率可能达到5m/s

例6、如图所示，光滑的水平面上有m A =2kg ，m B = m C =1kg 的三个物体，用轻弹簧将A 与B 连接．在A 、C 两边用力使三个物体靠近，A 、B 间的弹簧被压缩，此过程外力做功72 J ，然后从静止开始释放，求：

（1）当物体B 与C 分离时，B 对C 做的功有多少？

（2）当弹簧再次恢复到原长时，A 、B 的速度各是多大？

例7、如图所示,光滑水平地面上静止放置两由弹簧相连木块A 和B,一质量为m 子弹,以速度v 0,水平击中木块A,并留在其中,A 的质量为3m,B 的质量为4m.

(1)求弹簧第一次最短时的弹性势能

(2)何时B 的速度最大，最大速度是多少？

4、碰撞、爆炸、反冲

Ⅰ、碰撞分类（两物体相互作用，且均设系统合外力为零）

（1）按碰撞前后系统的动能损失分类，碰撞可分为弹性碰撞、非弹性碰撞和完全非弹性碰撞． （2）弹性碰撞前后系统动能相等．其基本方程为① m 1v 1+m 2v 2=m 1 v 1'+m 2 v 2' ②

222211222211'2

1'212121v m v m v m v m +=+ ． （3）A 、B 两物体发生弹性碰撞，设碰前A 初速度为v 0，B 静止，则基本方程为 ① m A v 0=m A v A +m B v B ，②

2

220212121B B A A A v m v m v m += 可解出碰后速度0v m m m m v B

A B A A +-=

，

v B =

02v m m m B

A A

+．若m A =m B ，则v A = 0 ，v B = v 0 ，即质量相等的两物体发生弹性碰撞的前后，两物体速

度互相交换（这一结论也适用于B 初速度不为零时）．

（4）完全非弹性碰撞有两个主要特征.①碰撞过程中系统的动能损失最大．②碰后两物体速度相等． Ⅱ、形变与恢复

（1）在弹性形变增大的过程中，系统中两物体的总动能减小，弹性势能增大，在形变减小（恢复）的过程中，系统的弹性势能减小，总动能增大．在系统形变量最大时，两物体速度相等．

（2）若形变不能完全恢复，则相互作用过程中产生的内能增量等于系统的机械能损失． Ⅲ、反冲

（1）物体向同一方向抛出（冲出）一部分时（通常一小部分），剩余部分将获得相反方向的动量增量，这一过程称为反冲．

（2）若所受合外力为零或合外力的冲量可以忽略，则反冲过程动量守恒．反冲运动中，物体的动能不断增大，这是因为有其他形式能转化为动能．例如火箭运动中，是气体燃烧释放的化学能转化为火箭和喷出气体的动能．

例8、一个不稳定的原子核质量为M ，处于静止状态，放出一个质量为m 的粒子后反冲。已知 放出的粒子的动能为E 0，则原子核反冲的动能为（ ）

A ．E 0

B ．

0E M

m

C ．

0E m M m

- D ．02)

(E m M Mm - 例9、在太空中有一支相对太空站处于状态的质量为M 的火箭，突然喷出质量为m 的气体，喷出气体的速度为v 0（相对太空站），紧接着再喷出质量也为m 的另一股气体，此后火箭获得速率V （相对太空站）。火箭第二次喷射的气体(相对太空站)的速度为多大？

例10、如图所示，在足够长的光滑水平轨道上静止三个小木块A ，B ，C ，质量分别为m A =1kg ，m B =1kg ，m C =2kg ，其中B 与C 用一个轻弹簧固定连接，开始时整个装置处于静止状态；A 和B 之间有少许塑胶炸药，A 的左边有一个弹性挡板（小木块和弹性挡板碰撞过程没有能量损失）。现在引爆塑胶炸药，若炸药爆炸产生的能量有E=9J 转化为A 和B 沿轨道方向的动能，A 和B 分开后，A 恰好在BC 之间的弹簧第一次恢复到原长时追上B ，并且在碰撞后和B 粘到一起。求： （1）在A 追上B 之前弹簧弹性势能的最大值； （2）A 与B 相碰以后弹簧弹性势能的最大值。

5、多个物体作用问题

例11、有n个完全相同的物块放在光滑的水平面上一字儿排开，物块之间均匀距离为d，开始物块1以v0的初速度向物块2运动，碰撞后粘在一起，又向物块3运动，粘在一起后又向物块4运动……如此进行下去。

（1）物块n的速度为多少？

（2）从物块1开始运动计时，到物块n开始运动所经历总时间是多少？（设每次碰撞的时间极短，忽略不计）

例12、某兴趣小组设计了一种实验装置，用来研究碰撞问题，其模型如图所示，用完全相同的轻绳将N 个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆、球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k（k＜1).将1号球向左拉起，然后由静止释放，使其与2号球碰撞，2号球再与3号球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失的正碰。（不计空气阻力，忽略绳的伸长，g取10 m/s2）

?设与n＋1号球碰撞前，n号球的速度为v n，求n＋1号球碰撞后的速度.

?若N＝5，在1号球向左拉高h的情况下，要使5号球碰撞后升高16k（16 h小于绳长）问k值为

多少？

例1：解析：（1）木块的过程中，系统动量守恒，而机械能要损失，且损失的机械能等于阻力F 和木块长L 的乘积。

设子弹穿过木块后木块获得的速度是v 由系统动量守恒得： mV 0=mV 0/2+2mv (1)

由能量守恒得： FL=

21m V 02-212m V 2-8

1

m V 02 (2) 对木块有：

FS=

2

1

2mV 2 （3） 解以上三式得：木块的位移S=51

L 木块对子弹的阻力F=L

165m V 02

（2）在此过程中，由于木块受到传送带的作用力，所以系统动量不守恒。此题不能用动量守恒解。

由题的条件，我们可以用运动学来处理此题。

选木块为参照系，则：子弹的初速度为(V 0-u) 末速度为（V-u ） 位移为L 加速度a=F/m=16

5

mV 02 对子弹有：(V 0-u)2-（V –u ）2=2as 解得：V=u+202

08

5)(v u v --

当 (V 0-u)2>5/8 V 02 即u<(1-

410) V 0时 V=u+202

08

5)(v u v -- 当(V 0-u)2<5/8 V 02 即u>(1-

4

10

) V 0时 V=u 解法二：以子弹为研究对象由动量定理和动能定理得： mV 0-mv=Ft (1)

21mV 02-2

1

m V 2=F(ut+L) (2) 解以上两式得V ，后面的解与第一种方法相同

题型变化：上题中子弹变为木块，木块变为长木板其它条件不变，求第一问。（解法相同）

例2：S=4V 02/3μg L=V 02

/2μg

例4：气球和人原静止于空中，说明系统所受合力为零，故人下滑过程中系统动量守恒。人着地时，绳

梯至少应触及地面，若设绳梯长为L ，人沿绳梯滑至地面的时间为t ，由动量守恒定律有：

t

h

m t h L M =-,解得h M

m

M L += 例5：C

例6：（1）当弹簧恢复原长时，B 与C 分离，0=m A v A －（m B +m c ）v C ①，E P =221A A v m +2)(2

1C C B v m m +②，对C 由动能定理得W =

2

2

1C C v m －0③，由①②③得W =18J ，v A =v C =6m/s ． （2）取A 、B 为研究系统，m A v A －m B v C = m A v A ’ +m B v C ’， 221A A v m +221C B v m =21 m A v A ’2+2

1 m B v C ’2

， 当弹簧恢复到原长时A 、B 的速度分别为：，v A =v B =6m/s 或v A =-2m/s ， v B =10m/s ．

例7：(1)从子弹击中木块A 到弹簧第一次达到最短的过程可分为两个小过程一是子弹与木块A 的碰撞过程，动量守恒，有机械能损失；二是子弹与木块A 组成的整体与木块B 通过弹簧相互作用的过程，动量守恒，系统机械能守恒，

子弹打入: mv 0=4mv 1 ① 打入后弹簧由原长到最短: 4mv 1=8mv 2 ②

机械能守恒:

P E mv mv +=222182

1421 ③ 解①②③得 2

16

1m v E P =

(2)从弹簧原长到压缩最短再恢复原长的过程中，木块B 一直作变加速运动,木块A 一直作变减速运动,相当于弹性碰撞，因质量相等，子弹和A 组成的整体与B 木块交换速度,此时B 的速度最大,设弹簧弹

开时A 、B 的速度分别为'

2

1,v v ' 4mv 1=4mv 1’ +4mv 2’ ④

2

’22’121421421421mv mv mv += ⑤ 解得: v 1’=o ,v 2’=v 1 = 4

0v 例8：C

例9：01)(0mv v m M --= ① v m V m M v m M '--=-)2()(1 ② 02v V V m

M

v --=

' ③

例10：（1）塑胶炸药爆炸瞬间取A 和B 为研究对象，假设爆炸后瞬间AB 的速度大小分别为v A 、v B ，

取向右为正方向 由动量守恒：－m A v A +m B m B =0 ………………① 爆炸产生的热量由9J 转化为AB 的动能：222

121B B A A v m v m E +=

…………② 带入数据解得：v A =v B =3m/s ………………③

由于A 在炸药爆炸后再次追上B 的时候弹簧恰好第一次恢复到原长，则在A 追上B 之前弹簧已经有一次被压缩到最短，（即弹性势能最大）爆炸后取BC 和弹簧为研究系统，当弹簧第一次被压缩到最短时BC 达到共速v BC ，此时弹簧的弹性势能最大，设为E p1 由动量守恒：m B v B =（m B +m C ）v BC ………………④

由能量定恒定定律：

P Bc C B B B E v m m v m ++=2

2)(2

121 ………………⑤

带入数据得：E P1=3J ………………⑥

（2）设BC 之间的弹簧第一次恢复到原长时B 、C 的速度大小分别为v B1和v C1，则由动量守恒和能

量守恒： m B v B =m B v B1+m C v C1 ………………⑦

2

12122

12121C C B B B B v m v m v m += ………………⑧

带入数据解得：v B1=－1m/s v C1=2m/s ..................⑨ （v B1=3m/s v C1=0m/s 不合题意，舍去。） A 爆炸后先向左匀速运动，与弹性挡板碰撞以后速度大小不变，反向弹回。当A 追上B ， 发生碰撞瞬间达到共速v AB 由动量守恒：m A v A +m B v B1=（m A +m B ）v AB ..................⑩ 解得：v AB =1m/s (11)

当ABC 三者达到共同速度v ABC 时，弹簧的弹性势能最大为E P2 由动量守恒：（m A +m B ）v AB +m C v C1=（m A +m B +m C ）v ABC (12)

由能量守恒：

22

212)(2

121)(21P ABC C B A C AB B A E v m m m v m v m m +++=++…（13） 例11：(1) n nmv mv =0 n

v v n 0

=

① (2)

202mv mv =，2

02v v =

，303mv mv =，3

03v v =

，……

n

v v n 0

=

，0

1

v d t =

，0

22

2v d v d t ==

……

11)1(v d n v d t n n -==

--③

13212)1(v d

n n t t t t t n -=

++++=- ④

例12：?设n 号球质量为m ，n ＋1号球质量为m n ＋1，碰撞后的速度分别为n

n 1v v +''、，取水平向右为正方向，据题意有n 号球与n ＋1号球碰撞前的速度分别为v n 、0、m n ＋1n km

根据动量守恒有：1+'+'=n

n v n v v km E m v m 根据机械能守恒有：

221n n v m ＝12

22

121+'+n n n n v km v m 解得：)0(1

211舍去='+='++n

n

n

v k E v 设n ＋1号球与n ＋2号球碰前的速度为E n ＋1

据题意有：v n －1＝1+'n

v 得：v n －1＝1+'n v ＝k

E n

+12 ?设1号球摆至最低点时的速度为v 1，由机械能守恒定律有

21112

1

v m gh m =

v 1＝gh 2 同理可求，5号球碰后瞬间的速度

k g v 1625?=

解得：111212v k k k v n

n ??

?

???=+-+

n ＝5时：v 5＝11

12v k v n

n ??

? ???=+

解得：k ＝12-0.414 (1)k ≈=舍去