倒立摆系统滑模自适应控制

倒立摆系统的自适应

滑模控制方法研究

学生姓名：刘家坤

指导教师：郝立颖（讲师）专业名称：自动化

所在学院：信息工程学院

2014年6月

目录

摘要................................................................................................................................ I I Abstract ......................................................................................................................... I II 第一章前言 (1)

1.1 课题的研究目的及意义 (1)

1.2课题的发展以及研究现状 (1)

1.3存在问题与解决方法 (1)

1.4论文的内容安排 (2)

第二章倒立摆系统 (3)

2.1倒立摆系统的的研究背景 (3)

2.2倒立摆系统的组成 (3)

2.3倒立摆系统的原理 (5)

2.4倒立摆的建模与受力分析 (6)

第三章滑模控制理论 (9)

3.1滑模控制的发展及背景 (9)

3.2滑模控制的研究方法与基本原理 (9)

3.3滑模面的设计 (11)

3.4消除抖振的方法 (12)

第四章自适应控制理论 (15)

4.1自适应控制的背景 (15)

4.2自适应控制的基本原理 (15)

4.3系统稳定性研究 (16)

第五章倒立摆的自适应滑模控制设计与仿真 (18)

5.1建立倒立摆系统动态方程 (18)

5.2自适应滑模控制器的设计 (19)

5.3对倒立摆系统进行仿真 (20)

5.4仿真实例研究 (20)

5.5仿真结果图的分析 (23)

第六章结论 (26)

6.1.总结分析 (26)

6.2研究展望 (26)

致谢 (27)

参考文献 (28)

附录 (29)

1.主程序为 (29)

2.子程序为 (30)

摘要

倒立摆作为一种非线性、多变量而且不稳定的系统，无论是在航空航天领域还是在工业生产中都被广泛应用。随着现在科技的不断发展，对倒立摆系统控制方法的研究也变得越来越重要。在本文中，以倒立摆系统为对象，主要用自适应滑模控制的方法对其进行研究。在控制过程中，自适应控制和滑模控制的优点是能够消除被控对象的不确定性, 对扰动包含较好的鲁棒性。但非线性的系统难免会产生抖振，而引用自适应控制方法也可以很好的削弱抖振，并应用到系统中。对倒立摆系统做数学建模处理，描绘出系统的状态方程。然后基于自适应和滑模控制方法设计出倒立摆的自适应滑模控制器并对其进行稳定性分析。最后用MATLAB仿真软件进行仿真研究，得出良好的实验结果。

关键词：倒立摆系统，自适应控制，滑模控制，鲁棒性，抖振

Abstract

Inverted pendulum as a nonlinear, multivariable and unstable system, whether or have been widely used in the aerospace field in industrial production. With the continuous development of technology now，Inverted pendulum system control method of research is becoming increasingly important. In this article, object to the inverted pendulum system, the main method of adaptive sliding mode control its research. In the control process, advantages of adaptive control and sliding mode control system is able to overcome the uncertainty, interference with robustness. However, the system will inevitably produce nonlinear buffeting, The method can also be a reference adaptive control well weaken chattering, and applied to the system Inverted pendulum system mathematical modeling, differential equations describe the system. Then sliding mode control method based on adaptive and adaptive sliding mode controller is designed inverted pendulum and its stability analysis. Finally, simulation studies using MA TLAB simulation software, Finally, simulation studies using MA TLAB simulation software, and draw good results.

Keyword：Inverted pendulum system, Adaptive Control, Sliding Mode Control, Robustness, Buffeting

第一章前言

1.1 课题的研究目的及意义

随着当下科学的飞速发展，各个国家的学者对控制理论的研究也不断深入，导致现在自动化程度也是不断的提升，无论是国防军事、航空技术还是工业生产都是十分依赖控制要求的，自从倒立摆系统被提出以来，在控制领域该方法就有了的一席之地。在日常生活中，倒立摆系统可以看成是重心在上的物体的抽象模型，由于其自身是不稳定的，所以能反映许多在控制过程中所遇到的问题，因此，倒立摆控制系统可作为理论研究中的很好的实验手段。除了以上方面外其在工业生产中也解决了许多关键性的问题。例如研究机器人在行走时对机器膝关节和肘关节的控制、卫星启动过程中的对垂直方向上的高度控制还有起重机吊钩平衡装置的控制等等，这些在实际所常见的控制应用都利用了倒立摆系统的知识。所以说，对倒立摆控制方法的深入讨论就有着特殊的意义。

1.2课题的发展以及研究现状

倒立摆这个概念是于上个世纪五十年代后期被提出的，最初是麻省理工大学控制理论学教授根据火箭的启动推进装置的原理研究出了一个简单的单阶倒立摆的实验装置。而它作为一个不稳定而且非线性的系统被正式提出是在1969年，当时国外学者利用倒立摆的装置的实验平台提出了多种控制算法，比如用滑模控制等有关的的方法对倒立摆进行控制，设计出类如模糊系统或是自适应滑模控制器来进行输入输出的对比等。在我国，是从三十多年以前才着手于对倒立摆这方面的研究的，虽然对于其它国家起步稍晚，但是发展却是很快的，从80年代后期完成了一级、二级倒立摆在倾斜面轨道上的控制开始，到九十年代后期利用反馈原理设计出了反馈控制器对倒立摆进行了仿真控制，再到2003年我国已经可以独立设计出高阶的、非常复杂的倒立摆系统了。由此可以证明，国内对这方面的技术已经步入了世界上最尖端领域。

1.3存在问题与解决方法

在本文中我们主要利用滑摸控制和自适应控制来研究倒立摆系统，自适应控制可以看作是一个能根据系统的不断变化而智能调节自身特性来使系统能够达到最优的状态。滑模控制则是随着系统的变化而不断改变控制器结构的控制方法，目前国内外对滑模控制的研究主要就是集中在滑模面设计、抑制抖振的研究和与其他控制方法相结合这三个方面上。因为倒立摆系统是比较复杂且不稳定的的，所以在控制中就会有存在外部干扰的问题，如空气阻力、小车与轨道的摩擦力、参数的误差等。而自适应控制和滑模控制的自身特性是可以削减和解决这些因素的，因此，我通过设计自适应滑模控制器来对倒立摆来进行稳定性控制。

1.4论文的内容安排

本篇论文是在查阅相关文献资料掌握了国内外有关滑模控制和自适应控制的结论的同时，将上述两种方法有机的结合在一起后，在倒立摆系统中就可作为处理问题的方法，并对倒立摆系统做合理的数学建模处理，在拟定好参数后对系统进行仿真分析，得出较好的输出图形。具体步骤如下：

①第一章主要介绍了倒立摆的研究背景、滑模控制和自适应控制的发展历程和现状、在研究过程当中所产生的问题以及解决问题方法的简单介绍。并对论文的上下内容顺序做出简单的安排。

②第二章介绍了倒立摆的组成和具体的工作原理，通过对倒立摆可运行条件分析、计算后建立了数学模型。最后对所用到的所有控制量进行说明，基于牛顿等基础原理推导出倒立摆系统的动态微分方程。

③第三章具体阐述了自适应控制方法和滑模控制方法大体原理和概念，查阅文献分析出滑模控制方法中的到达条件、产生抖振的原因，滑模面设计等重要组成部分，并用李雅谱诺夫函数判据了本系统稳定性。

④第四章将滑模与自适应控制的方法采用特殊的形式结合，得出自适应滑模控制这一理念，并将其应用到倒立摆中，再进行仿真研究，得出想要的结果。

⑤最后为对本篇论文的内容做出总结并对该研究课题未来的前景做出展望。

第二章倒立摆系统

2.1倒立摆系统的的研究背景

自从倒立摆系统的这一概念被提出来后学者专家们就将其定义成了一个多变量、高阶次、不稳定而且比较复杂的非线性的系统，在实际的生产或是理论应用中许多抽象的、建模困难的概念都是可以通过进行有关倒立摆实验从而较为直观的表达出来的，一直以来，倒立摆系统在进行控制理论实验研究时经常被作为实验的平台，所以就有很多学者专家们致力于对倒立摆的研究中。自上世纪五十年代至今对于倒立摆系统的发展进步的很快，如今已出现了数十种形式的倒立摆被用来解决实际当中所遇到的不同的问题，例如：单行道小车型倒立摆、双排并列式倒立摆、斜面倒立摆等等。目前，随着科技的日益进步，一个国家科技的发达程度已经成为了衡量国力的标准。而无论是航空航天领域、工程技术方面还是日常生活中都会出现许多有关于倒立摆的问题，由此可见，对它的研究是非常有价值的。随着现在倒立摆的种类在不断增加而且对于研究倒立摆的技术要求的也更加的严格，同时，也就有更多更好的方法被提出来，比如智能控制、模糊控制、神经网络控制、PID控制等。但是无论选用哪种控制方法，都是需要建立出一个精确的数学模型以便于设计与研究。由于倒立摆系统是比较复杂的、也是有较多扰动的，所以要对其建模是有一定难度的，对于这种情况，就需要有一种针对无法建模和扰动较多系统的方法。在本文中引用了滑模控制和自适应控制理论的知识来解决倒立摆系统中所存在的例如扰动和难以建模的问题。通过研究滑模控制，得知它是一种可以不断改变自身控制器结构来适应系统变化的方法，但是滑模控制采用的是不连续控制法所以难免会有抖振的缺点。通过研究自适应控制得知，它是一个可随着被控对象的变化而自动调节自身特性来保证被控系统能按照所预想的工作状态处于最优或较优的方法，并且它无需改变自身的参数，但是无法对难以建模系统进行控制是自适应控制方法最主要的缺点，这两种方法共同的优点是都有较好的鲁棒性，而自适应中所提出的趋近律就是用来解决抖振的，滑模中用建立滑模面的方法就是用来针对难以建模和干扰较多系统的，所以这两种方法合理的结合就可以消若各自的缺点，并且是十分适合研究倒立摆这种系统的。

2.2倒立摆系统的组成

因为任何理论模型都是为了实际而设计的，倒立摆也不例外，在实际应用中需要有不同的倒立摆模型去适应它。所以就致使倒立摆的结构很多变，根据摆杆的数量也可分为许多等级，但是无论对其做出怎样的改变它的基本组成和基本原理也是相差无几的。为了方便推导和结果分析，在本论文中我们选取比较简单直线小车一级倒立摆系统作为讨论对象。直线小车一级倒立摆系统主要是由倒立摆、计算机控制器和接口电路组成，其系统简单的结构图（如图2-1）。倒立摆主要是由小车、摆杆、皮带、导轨、滑轮、电位器、电机等组成。计算机的作用主要是用于对建好的模型的算法进行计算和对结果进行分析。接口电路则主要是为了实现对信号进行检测和变换的功能。直线一级小车倒立摆的粗略装配实物图（如图2-2）。

图2-2直线小车倒立摆的实物图

2.3倒立摆系统的原理

倒立摆控制具体原理是是通过电机的驱动给小车施加一个控制力，使小车能停留在距离原点一定位置x处，然后再通过调节电机电压来调控这个控制力，使小车可以在导轨上左右移动。对于整个倒立摆系统的控制目标就是：当小车在一定范围长度的轨道上做往复运动时，能够使摆杆不倒下，就是使摆杆能够在理论规定好的一定偏离角度范围内，这种情况也被称为是动态平衡状态。

2.3.1倒立摆系统的成立条件

要想使倒立摆系统能够正常运行且让结果在理论误差范围内就需要对以下三个条件进行分析：

①对于摆角的分析：摆杆的摆角与电机的电压是成正比的，当电机电压越大时，对小车所施加的控制力也就越大，也就导致摆角越大，反之亦然。因为在对控制结果的分析中摆角的变化是重要的参数，所以对电机所施加的控制力必须要控制在合理的范围内，才能既保证了摆杆不倒，又能使实验得出的结果在合理的范围内。

②对扰动的分析：当倒立摆系统中存在内部的未知参数变化和外部的干扰变化时，仅仅依靠传统的控制方法是无法良好的实现对目标的控制的。而自适应控制方法则是通过设计控制器，无需对不确定因素及外加干扰的过多关注而实现控制目标，换言之就是能修正自己的控制特性来适应外界对于被控对象的扰动。所以本文中采用基于自适应滑模控制的方法来设计倒立摆系统。

③对于采样周期的选择：想要保证倒立摆中的摆杆能够保持竖直向上的状态不倒，不光需要对小车所施加的力和外界的干扰进行控制，而且对于采样周期的选择也是很重要的，因为对于倒立摆系统来说，稳定性的控制是通过时间中断来实现的，是根据采样的周期加上稳定性控制算法才可以计算出对倒立摆所施加的控制力。

若对采样周期选取不当不但会影响系统的稳定性，而且还会影响计算机控制系统时的运行特性。若采样周期选取过长，将会导致控制系统的稳定性产生波动，严重时将会使系统崩溃;采样周期选取过大还会使系统内部的静态误差变小，内部的动态误差变大，因而使得出的结果不精确或是误差过大。如果我们缩短采样周期，虽然能可改善系统的稳定性和计算结果的精确度，但是若对采样周期的选取过短，也将会导致我们需要进行过多的计算和分析，加人力和计算机的工作负担，另外采样周期选取过短时，产生信号的速度就会很慢，速度信号的误差也会相应增大。由此可见，对于采样周期的选取是非常重要的。对于本篇论文来说，研究的是倒立摆的控制系统，从整体控制质量要求来看，在一个合理的采样范围内，条件允许下，采样周期的选取可以偏小一些。因为对于滑模控制这种不连续的控制方法来说，在后期的效果图中就会更接近于连续控制，不仅有利于观察分析，而且可以对理想参数进行模拟控制。对于倒立摆这样的系统，如果周期选取过小，每个信号产生速度就会太快，也就超过了电动机的响应速度，故采样周期最好是选在在较小的一个范围内。综上所述，在查阅其它有关的材料后，可以将倒立摆系统的采样周期控制在6到8毫秒的范围内。

2.3.2倒立摆的工作流程

倒立摆系统是一个闭环的控制系统，它的工作原理如（图2-3），首先他由一阶倒立摆输出信号（如摆杆与竖直方向所成的夹角、移动轨迹等）后通过检测电路检测到信号，再由微分电路转化为微分信号，这些信号由A/D转换器转化以后输到计算机中，经过计算机内部设定一个特定的算法后对该信号处理，将处理后的信号经过D/A变换，在经过功率放大器放大功率，把信号通过执行电机再传回到倒立摆系统中，控制倒立摆中的皮带来拖动小车做均匀的往返运动，从而实现对摆杆与小车所成夹角的控制和小车移动轨迹的控制等。

图2-3倒立摆的工作原理图

2.4倒立摆的建模与受力分析

为了建模方便，所以我通过对倒立摆系统结构图的研究从而简化出倒立摆的受力分析图（如图2-4），但是在建立动力学方程时，为了便于研究，就需要忽略一些次要因素，如空气阻力、小车与轨道的摩擦力、参数的误差等。我们定义所有摆杆支点在上的状态是绝对稳定状态，所有支点在下的状态为动态稳定状态，因为摆杆支点在下的状态是需要有外力作用才能不倒下，所以就很容易受到外界的干扰，所以倒立摆系统就需要有控制其稳定性的方法。所以做出以下四点假设：

①要求倒立摆系统中摆杆和小车都是刚性物体。

②皮带与滑轮之间无相对滑动。

③摆杆仅限于在垂直平面内的运动，即是不受到外界因素干扰的。

④电机无延迟驱动，且忽略电枢绕组中所产生的电感。

x

定义直线小车一级倒立摆的相关数值：

小车的质量---M （单位kg ）

摆杆的质量---m （单位 kg ）

摆杆的质心到垂直轴心的距离---l （单位 m ）

摆杆与坐标Y 轴方向上的夹角--- （单位rad ）

施加在小车上的作用力---F （单位 N ）

小车相对起始零点的位移---x （单位 m ）

重力加速度---g （单位m/s 2）

摆杆的摆动角速度---s （单位rad/s ）

摆杆的加速度---a （单位 m/s 2）

摆杆的转动惯量---J （单位 kg m ?2）

根据以上的建立倒立摆的动力方程。倒立摆系统受力图（如图3-2）所示，根据刚体绕

定轴转动的方程可知，摆杆的转动惯量与摆杆加速度的乘积即为摆杆在水平方向和垂直方向

上的力矩之和，即为Ja=Fx,(a=s

)经过整理得到摆杆绕转轴轴心时的动态方程为： θθcos sin l F l F Ja x y -= （1）

根据牛顿第二定律（惯性定律）F=ma 可以推导出摆杆在水平方向和竖直方向上的受力

情况经过整理得到水平方向上摆杆受力情况为：

)sin (22

θl x dt

d m F x += （2） 在Y 轴方向上摆杆的基本受力情况为：

)cos (22

θl dt

d m mg F y =- （3） 把（1）和（2）带入（3）中可以得到：

x

ml mgl a ml J ?-=+θθcos sin )2（ （4） 因为x =m

M F + （5） 通过整理公式（1）到（5）可以得到有关于摆杆角加速度的动力学方程为：

a=)

()(cos sin )()sin 1(cos s 22222ml J m M l m mgl m M s ml ml +?+-?+-?+=θθθθ （6） 由于倒立摆的摆杆是选取质地均匀的，所以就可以用建立微分方程的方法来求解其对于

摆杆质心的转动惯量，摆杆的轴心就是与小车连接的摆杆的一端，因为摆杆质地均匀，所以

摆杆的质心就是摆杆的中心，所以摆杆的总长度就为2l,在摆杆上取极小的一段dx ，设定这

一小段的单位质量为m 1，则这一小短的质量为m 1dx 的所以就可以得到摆杆相对垂直方向上

的转动惯量J 的微分方程为：

J=?=l

l m dx x m 03

1213)( （7） 由于取一小段质量为m 1dx 所以整个摆杆的质量就为m=m 1l （8）

将（8）代入（7）中就可以得到由摆杆的转动惯量J=3

2

m l （9） 把公式（9）代入到（6）中就可以得到摆杆角加速度的方程是：

a=3

4)(cos sin )()sin 1(cos s 22222m l m M l m m gl m M s m l m l ?+-?+-?+=θθθθ （10） 因为摆杆与竖直方向上的夹角的导数即为角速度，故有s =θ

，则综上所述得到倒立摆的动态方程是 3

4)(cos sin )()sin 1(cos s 22222m l m M l m m gl m M s m l m l ?+-?+-?+=θθθθ 且s =θ （11） 上述的是一级倒立摆的建模与分析，二级倒立摆即为两个摆杆相连再将摆杆的一端与小

车相连，当小车受到外力作用而运动时，若要达到动态稳定则两个摆杆就会与竖直方向形成

两个夹角1θ和2θ,虽然分析过程会比一级倒立摆复杂，但是原理是相同的，所以在此就不给

予具体分析过程，证明多级倒立摆的基本方法也同上。

第三章滑模控制理论

3.1滑模控制的发展及背景

滑模控制在被提出之前其实是属于变结构系统当中的一种。滑模控制是一种在控制系统中被经常用到实际生产中且比较重要的控制方法。适用于绝大多数线性或是非线性系统，主要作用就是用于对被控系统进行调节、跟踪、自适应和不确定分析等。变结构控制方法是一种可以随着系统的变化而不断改变控制器结构的方法，是由前苏联学者Emelyanov、Utkin 和Itkin在二十世纪六十年代初期根据实验现象得出的理论，当初主要只是用于研究二阶和单输入高阶系统，并且是利用设计相平面法来分析系统的特点。到了上个世纪七十年代，学者们则开始了对状态空间系统的研究，也就提出了许多种研究有关变结构的方式方法，但是具有滑动模态的变结构控制系统是被公认为最具研究价值的。随着这一理论的发展，总结出了滑模控制最大的优点就是可以对系统中的外界给予的大部分扰动以及不确定性具有良好的的鲁棒能力，但它也是有缺点的，缺点就是在控制过程中因为采用了分段处理的方法，就会导致不连续性，随之很有可能会产生抖振，我们就需要对抖振现象研究削弱或者消除，这也促使对这方面的研究有了更大的发展空间。

3.2滑模控制的研究方法与基本原理

3.2.1研究方法

滑模控制方法是可以针对系统的变化而不断改变自身控制器结构的方法，目前，对滑模控制方法的研究主要集中在三个方面：

①滑模面的设计研究：因为在滑模控制系统当中，对滑动模态的要求是很高的，而要达到理想的滑动模态就需要其本身具有高鲁棒性，而要达到这些性能都必需要通过设计滑模面才可以实现。系统分为线性和非线性的，对于线性的系统来说，设计滑模面的方法种类就比较多，如几何法、配置法、最优控制法等。但缺点这些方法应为只能用于对线性系统的分析，对非线性系统来说是不起作用的，所以滑模面的设计比较简单，在一些简单的工程应用中的使用比较广泛。但是对于像倒立摆这样的非线性系统，就需要有性能更高、更新的滑模面设计方法。目前，对于非线性系统中来说常用的方法有两种，第一种是利用对双滑模面同时控制来减少非线性系统的稳态误差的方法；第二种是对所选取的整个滑模面进行极其微小的间断处理，让滑模面由连续转变为不连续，并且对于整个面上的每一小段都进行一种名为模糊控制的处理。现在虽然在对滑模面的研究中，设计方法各种各样，但是对于较为复杂的高阶系统来说都有各自的缺陷，直至今日也未能找到很好的、有研究价值的控制方法。

②抖振的抑制或消除研究：在滑模控制用于实际生产当中时，由于系统中的滞留和和惯性这些不可抗拒因素的影响，系统中的点达到滑模面之后，不但没有保持在滑模面上做滑动运动，而且是在滑模面上或者是附近较小的范围内由上至下做往复运动，甚至产生振荡的效

果，这种现象我们称之为抖振，它是有可能导致系统中产生高频的振荡，从而使实验结果误差较大，这也使滑模控制方法难以在实际应用中解决一些特定的问题。所以说，在滑模控制与实际应用相结合的过程中，削弱或者是消除抖振是重要的研究问题，因为他直接关乎实验结果是否准确。对于如何消除抖振的这种常见的、影响效果的缺点，有一些专家们便提出了模糊控制、神经网络控制等方法等。但是具体解决方法都是通过对自适应控制中趋近律法的分析来控制抖动的。

③将滑模控制法与其它相关方法相结合：因为滑模控制是可以通过改变它自身控制器的结构来适应系统中各项的变化的，而且有助于对于难以建模的系统进性控制。正是由于他的这种特性所以可以与许多种方法互相结合。比如自适应控制法，因为在系统过程中，难免会产生许多不确定的扰动，而这种方法就是依据外界扰动对系统的动态性能产生影响而自动改变控制参数来适应控制对象的改变，以保证控制所产生的效果；还有鲁棒控制法，系统的鲁棒性通俗来说就是抗干扰性，这种方法它在设计控制系统时就需要考虑所控制对象参数的变化使得所设计的控制器在一定范围内变化时无需更改自身的参数就可以保证所控制的效果不变。但是上述的这两种方法根本上都没有摆脱要对被控对象进行数学建模并量化的思想，这也导致这两种方法难以对非线性较强的系统进行准确的控制。而利用滑模控制与这些方法结合就可以消除对难以建模的系统进行控制的问题。在近几年也出现了滑模控制与一些智能控制方法相结合的案例，比如与模糊控制结合就有利于克服系统中非线性问题和存在的抖振问题，较大的提升了系统的抗干扰能力，可以使控制特性曲线更加平滑，更利于观察。还有与神经网络的结合则是以人类大脑的神经系统为参考，使机器人也可以具有类似人类大脑那样的学习和理解能力，这种结合主要是用于高尖端科技的研究。在本论文中主要研究了滑模控制方法与自适应控制方法的结合，因为这两种方法合理的结合就可以消弱各自的缺点。

3.2.2滑模控制基本原理

滑模控制的基本原理在于，第一步需要定义空间中一个面为滑模面，当系统中的点穿过状态空间的滑模面时，系统的反馈机构结就会立即发生变化，从而使系统的状态轨迹能够沿着滑模面进行有规律的运动，系统中的点在这个滑模面上的性能是需要通过设计滑模参数来控制的。滑模控制作为非线性的控制方法的一种，与其它的一些控制方法的最根本区别在于它控制是采用微分段处理的，所以我们可以把他看它做是不连续的。利用滑模控制的这种自身性质比较突出的控制方式，迫使系统的相关状态变量尽可能的沿着人为设定的轨迹在一定时间内滑动到特定的点上，即当系统有扰动时，他不仅可以体现出很好的鲁棒性来消除扰动而且可以使系统在滑模面上滑动时可以在拥有鲁棒性的同时还有本身的不变性。

滑模控制可以对系统中参数较小的变化和外部的扰动呈现不变性而且它的响应是比较快的，这就可以保证系统呈现出渐进稳定的状态。

3.3滑模面的设计

3.3.1滑动模态定义

滑动模态实际上就是指系统中的点被限制在了一个固定的轨迹上运动，但对于滑动模态

中系统起初并不一定就运动在该轨迹上，想要让那些没有运行在该轨迹上的点回去，就需要

设计滑模控制器在有限的时间内把系统状态驱动到那条轨迹上并保持住，如上所述这样的过

程我们就称之为到达过程。要想设计出合理的滑模面首先就要先建立切换函数。对于建立切

换函数目前有三种研究方法，分别是下列三种：

①常值切换控制的状态方程可表示为U=u 0sgn （s （x ）） （12）

在本公式中，u 0是需要求出的不定常数；sgn 是符号函数，对于这种方法求滑摸控制的控制

率就是求常数u 0的值。

②函数切换控制的状态方程可表示为U=u 0sgn （s （x ））+u e （13）

这种方法就是在常值切换的基础上加上了等效控制函数。

③比例切换控制的状态方程可表示为 对于∑=k

t t

t x u 1? ， 且k

i βα ???><00s s （14） 其中βα，均为常数。对于滑模面设计的第一步，首先需要定义一个非线性的系统

x =f(x) , xR n 的状态空间中，设定一个切换面s(x)=s(x 1......x n )=0他将状态空间分为s>0和s<0

的上下两部分，

即u= ???)

()(x b x a ???)()(x s x s

（15） 在切换面上运动的点有三种，（如图3-1）分别是：

图3-1状态空间中的点在切换面是运动的三种形式

①普通点：空间中某些点从靠近面s=0再远离，即从该面上穿过的点（如上图中的A 点）

②起始点：空间中某些在面s=0上或是离该面很近的点分别向远离该面移动（如上图B 点）

③终止点：空间中某些距离该面较远的点做向该面靠拢的运动（如图中C 点）

在我们所研究的滑模控制系统中，一般不对普通点和起始点做过多的研究，因为这两点

的概念对结果的影响是可以忽略不计的。但是终止点对实验结果确实非常关键的。我们把终

止点附近的区域称为滑模区域，选取一个面S ，即在面S 附近的一定区域内，所有的状态空

间运动点都可称之是终止点，并且当空间中的点在很接近该区域运动时都会被强制吸附到该

区域内成为终止点，这个区域也被称为是滑动模态区，所选取的这个面S 就是切换面。换句

话说，利用滑模控制方法后就可使系统空间中任何位置的点都会在固定的时间内再次回到切

换面s(x)=0上 ，所以可以分析出系统的稳定条件就是：切换面s(x)=0的状态。 在保证（12）的条件成立的同时，若要肯定滑动模态是存在的，就必须许保证a(x)≠b(x),

只有达到这个条件才能使以下三个条件得以满足，这三个条件分别为：

①被控系统的滑动模态可达，并且在系统空间中的点不管处在什么位置都会再次回到切换面

s(x)=0的状态。

②使得滑模系统中的点在运动过程当中是在滑模面小范围附近移动的，并且其运动轨迹最终

都将会非常接近于滑模面上,只有这样才保证系统是趋于稳定的。

③使滑动模态的动态响应更加明显，并且对于各类的干扰具备很好的抗性。

3.3.2滑动模态的到达条件

滑模控制过程中分为三个条件，分别为进入条件，到达条件和稳定条件，这三条中到达

条件对于整个分析过程来说是相对重要的，因为它决定了滑动模态的存在与否。

想要系统达到稳定，那么对于初始位置不在滑模面上的点，就要迫使他们无限趋近于滑

模面运动，所以可以看出对于系统滑动模态到达条件的研究就是十分重要的。

首先我们对切换面S 做微分处理得到=x x

s ?? （16） 确定了滑动模态存在的必要条件就是有：>+→s s 0lim 0和<-

→s s 0lim 0 （17） 由（14）就可以推导出系统轨迹能达到切换面(即滑动模态能够到达)的条件是s 0=s （18）

但由于初始态x 是不固定的，可以在系统动态空间中的任何位置，让他准确回到滑模面上的

过程可能会有误差，所以（15）只是最理想的判断条件，由此我们可以假设一个无穷趋近于

零但小于零的值h 使得s h s < 。 （19）

3.4消除抖振的方法

当系统中的那些不规则点移动到滑模面s=(0)上并可以一直持续的在其上面滑动时，被

称为是理想的状态（如图3-2）。当将滑模控制方法应用到实际中时，无论怎样控制外界都

会对其有所干扰，比如系统中所产生的惯性和滞留因素的影响，会使滑模控制在滑模面附近

来回穿梭，从而就会增强滑模面上的抖动现象，严重时还将引起滑动模态的运动无法在切换

面上进行，我们将系统所产生的这种抖动现象称之为抖振，这种运动的状态被称为是实际运动状态（如图3-3）。

图3-2滑模的理想状态

图3-3滑模的实际状态

通过观察上两图可以看出说抖振现象是滑模控制当中最大的一个缺点，它的存在是很有可能导致器件在实际应用中丧失稳定性。所以消除抖振现象是滑模控制中一直被关注，但却未能有十分有效的解决方法，目前只能对其尽可能的抑制。下面我们就介绍两种以前用于削弱抖振的方法，分别是转化连续法和趋近律法。具体如下：

①转化连续法：由于滑模控制系统是采用分段不连续控制的方法，所以理想状态下段与段之间的切换状态是需要瞬间完成的，并且得出效果图后它的特性曲线是由一连串有限的不

连续的点组成的。所谓的转化连续法是利用正则化的方法在边界层之内使原来的滑模控制过

程实现连续化，构造出一个新连续的的滑模控制系统，使新的滑模控制系统在切换面附近的

相平面图与原来的相平面图大致相似。但是在实际的应用的过程中根据不同的系统是很难选

取适合的边界层厚度的，而且转化连续法得到的滑模控制系统并不具备其原来的鲁棒性，那

同时也就失去了我们所要利用的它的自身的一个主要的特性。虽然达到削弱抖振的效果但是

却丧失了研究的价值，故现在转化连续法己经很少被人们用于实际应用当中了。

②趋近律法：依据上一节中所提到的滑动模态到达条件的方法得知，那种方法虽然相对

简便而且能够推导出系统是可以到达滑模面的，但是却无法准确的反映出是怎样到达的，并

且对于大多数复杂的系统来说，不连续控制基本都会存在抖振现象，所以用那种方法就很难

去判断滑模的到达条件。于是我国控制专家高为炳教授提出了趋近律这一概念，这种方法不

仅可以判断出滑模的到达条件而且可以削弱抖振，它将我们以前知道的不等式问题转化为了

求代数式的问题。

趋近律法的原理是通过对参数和合理选取，来使系统空间中的点无论处于任何位置都会

在在一定的时间内回到切换面，从而实现滑模运动，采用这种方法最大优点就是能使系统的

鲁棒性增强，同时还可以达到削弱系统抖振现象的目的。趋近律的一般公式为：

s =-sgn ε(s)-f(s) （20）

其中函数f(s)不是一个固定的函数，例如它可以是为零，或是指数型、不等式型等等。

所以根据函数f(s)所选取的不同类型，趋近律就会变化成不同类型，例如一个指数型

s =-sgn ε(s)-ks （21） 定义ε为速率值，且ε和k 都是大于0的,由（17）和（18）可知道，对于不确定函数f(x)来

说，就是指数型中的ks 。依据公式（18）我们可以总结出，速率越大，那么它到切换面的

时间就会越短。

①当s>0时，根据（18）解出s(t)=kt e k s k -++)(-

0εε， （22） s(t)趋于近似k

ε-的一个负常数 ②当s=0时，即滑模轨迹趋近于滑模面，ε-=s

并且s>0，即切换面趋近速度反比于ε，ε的取值一般很小，因为若大于一定值时不但无法削弱抖振还可能会增强抖振。

③当s<0时，解出s(t)=

kt e k s k -++)(0εε （23） s(t)趋于近似k

ε的一个正常数。正比于切换面趋近速度，对取值太大会导致无法削减抖振，但是也不能取值太小，因为正比于趋近速度，会导致趋近速率过低，完全达不到理想的

控制目的。所以当s<0的条件下，就需要控制好对取值处于一个合理的范围内。同理，在增

大k 的时候，也不能超出固定范围。因为s 的大小决定了控制强度的大小，根据上述公式增

大s ，s

也会增大，系统状态空间的点就会远离滑模面，这时可以通过增大ε，来使原理滑模面的点有较大趋近速度，是他们能较快回到滑模面。反之，当减小s 时，s

就会减小，空间中的点就非常接近滑模面，也就不需要有大的趋近速度，也就可以减小ε的值。

综上所述，以上公式成立时，对于有一些非线性的复杂系统所产生的抖动，就可以通过

调整参数k 和ε来减少抖振现象，也就对滑模的动态效果特性有了保障。

第四章自适应控制理论

4.1自适应控制的背景

自适应控制的概念于上世纪五十年代初被提出来，当时是为了研究一种能让内燃机性能达到最高要求的控制系统，自适应控制真正被认可是在1958年由Whitaker带领的一些这方面的专家设计的一种被利用到于飞行器系统中的自适应控制方法。自适应控制是一个可随着被控对象的变化而自动调节自身特性来保证被控系统能按照所预想的工作状态处于最优或较优的方法，并且它是无需改变自身的参数的。所以只需设计出自适应控制器，就可以有效的减少人为的控制，达到自动化的效果，这是大多数常规的控制器所达不到的。所以在这六十多年的发展里，一直被广泛的应用到了各个领域中。

自适应控制系统的研究对象大多数是对于具有部分不确定性的，这个不确定性主要是指无法对系统精确的建立出数学模型，并且存在一些外界的因素可能会对结果产生影响等。对于大多数如倒立摆这样复杂的系统都会不同程度的存在不确定性，只是表现形式上会有所不同，有的表现在系统内部，有的表现在系统外部，对于内部的不确定性，多数是指数学模型的建立的困难和各项参数的误差。对于外部的不确定性，大多都是外界的不可抗力的扰动。对于这些无法预测且必然存在的不确定因素，就是需要通过自适应控制来解决，来是我们所期望的效果能达到最优或者是次最优。

自适应控制原理与常规的反馈控制是有些相似的，他们的共同点是当系统内部特性发生变化时或者外部有扰动影响时都对这些会产生不同程度的抑制作用，但不同的是常规的反馈系统它内部参数是固定不变的，反馈系统只能对于干扰较小的情况给予反馈抑制，如果扰动过大时，是极有可能导致系统性能下降甚至系统崩溃。而自适应控制则可以改变自身参数来对这些扰动变化范围大、高性能的系统进行抑制。但是由于自适应控制系统是很复杂的，所以所需成本就要比反馈系统高的多，在实际应用中也只有是对于性能很高的系统才会使用。

4.2自适应控制的基本原理

4.2.1 控制原理分析

自适应控制它本身是基于数学模型的建立的，但他与一些常规控制方法的区别可能在于他不需要事先就将数学模型完全建立好，它是可以在系统运行过程中不断的自动去适应系统的信息，来不断的适应系统的参数，在实际生产过程中，通过这种方法就会使系统模型更加完善，效率也更高。

自适应控制系统主要是由控制器、需要控制的系统、自适应元器件以及反馈控制回路和自适应控制回路组成(如图4-1)。通过给控制器输入一个信号量r(t)，经过控制器的处理后将信号送入被控对象中，被控系统不仅会收到输入信号而且还会受到内部参数变化和外界的未知干扰v(t)，经过处理后一部分作为输出，另一部为因为有偏差就会被送入自适应控制

器中对扰动进行削减，将削减后的扰动信号再次送回到控制器中，知道可以输出最优状态或者次优状态为止

图4-1自适应控制工作原理图

4.2.2自适应控制的特点

经过总结得到这种方法的特性主要有三点：

①可以不断的监测出被控对象中的变化，以降外界干扰所带来的不确定因素。

②会及时调整自身控制量以自动适应系统的变化。

③能够让被控系统的性能尽可能达到并且维持在最优状态。

所以无论是用于理论研究或者是实际应用中都可以利用自适应控制的特点解决实际中的问题。

4.3系统稳定性研究

稳定性分析：无论哪种控制系统，稳定性问题都是被研究的核心问题，因此，自适应控制系统也不例外，只有对稳定性问题进行全面的分析，才可以确保系统运行正常。如今，人们已经对有关自适应方法研究越来越深入，各种各样的自适应控制规律也就不断被证明出来，尤其是对于倒立摆这样的非线性系统，当系统中存在无法建模或是不确定干扰时，想要系统保持稳定不波动就变得更为不易。

稳定性判据：通过对关于滑模控制方法的稳定性判据，是可以更加深入了解这种方法的。但是对于如倒立摆这样的非线性系统，对其进行稳定性判据是非常困难的。对于判断整个系统是否稳定时，采用李雅普诺夫函数对其进行简化处理是比较权威的方法，而且是一种相对简单并且易懂的方法，它是主要研究对象是针对线性或者是非线性的、时变型或是定常型的基础理论，也是自适应控制系统设计的理论基础。本论文中我们就采用这个方法。

李雅谱诺夫定理分为两种方法，一种是通过求解系统中的微分方程来分析稳定性，这种