大学物理授课教案_第二章_牛顿运动定律

第二章 牛顿运动定律

§2-1牛顿运动定律 力

一、牛顿运动定律 1、第一定律

（2-1）

说明：⑴反映物体的惯性，故叫做惯性定律。

⑵给出了力的概念，指出了力是改变物体运动状态的原因。

2、第二定律

（2-2）

说明：⑴F

为合力

⑵a m F =为瞬时关系

⑶矢量关系 ⑷只适应于质点 ⑸解题时常写成

?????===?=z

z y y

x

x

m a F m a F m a F a m F （直角坐标系） （2-3） ??

??

?

====?=（切向）

（法向）

dt

dv

m ma F r v m ma F a m F t t n n 2

（自然坐标系） （2-4） 3、第三定律

（2-5）

说明：⑴1F 、2F

在同一直线上，但作用在不同物体上。

⑵1F

、2F 同有同无互不抵消。 二、几种常见的力 1、力

力是指物体间的相互作用。 2、力学中常见的力 （1）万有引力

（2-6） 即任何二质点都要相互吸引，引力的大小和两个质点的质量1m 、2m 的乘积成正比，和它们距离r 的平方成反比；引力的方向在它们连线方向上。

说明：通常所说的重力就是地面附近物体受地球的引力。 （2）弹性力

弹簧被拉伸或压缩时，其内部就产生反抗力，并企图恢复原来的形状，这种力称为弹簧的恢复力。

（3）摩擦力

当一物体在另一物体表面上滑动或有滑动的趋势时，在接触面上有一种阻碍它们相对滑动的力，这种力称为摩擦力。 3、两种质量

由惯

引

称为惯性质量，确定的质量称为引力质量，确定的质量m m m a f m m r Gm M f ==2/

可证明：

const m m =惯

引，

适选单位可有 惯引m m =。 ∴以后不区别二者，统称为质量。

§

2-2

力学单位制和量纲（自学） §2-3惯性系 力学相对性原理

一、惯性参照系

在运动学中，参照系可任选，在应用牛顿定律时，参照系不能任选，因为牛顿运动定律不是对所有的参照系都适用。如图2-1，假设火车车厢的桌面是水平光滑的，在桌

面上放一小球，显然小球受合外力=0，当火车以加速度a 向前开时，车上人看见小球以

加速度a

-向后运动。而对地面上人来说，小球的加速度为零。如果取地参系，小球的合外力等于零，故此时牛顿运动定律（第一、二定律）成立。如果取车厢为参照系，小球的加速度0≠，而作用小球的合外力0=，故此时牛顿运动定律（第一、第二定律）不

a

图 2-1

成立。凡是牛顿运动定律成立的参照系，称为惯性系。牛顿定律不成立的参照系称为非惯性系。

说明：（1）一个参照系是否为惯性系，要由观察和实验来判断。天文学方面的观察

证明，以太阳中心为原点，坐标轴的方向指向恒星的坐标轴是惯性系。理论证明，凡是对惯性系做匀速直线运动的参照系都是惯性系。 （2）地球是否为惯性系？因为它有自转和公转，所以地球对太阳这个惯性

系不是作匀速直线运动的，严格讲地球不是惯性系。但是，地球自转和公转的角速度都很小，故可以近似看成是惯性系。

二、力学相对性原理

在1-3中已讲过，参照系E 与M ，设E 是一惯性系，M 相对E 以ME v 做匀速直线运动，即OM 也是一惯性系，二参照系相应坐标轴平行，在E 、M 上牛顿第二定律均成立，设一质点P 1质量为m ，相对E 、M 有

???==）相对）

相对M a m F E a m F PM M PE E ((

（2-7） 设P 相对E 、M 的速度分别为PE v 、PM v

，有

ME PM PE v v v

+= （2-8）

上式两边对t 求一阶导数有

PM PE a a

= （2-9）

可见，P 对E 和M 的加速度相同。综上可知，对于不同的惯性系，牛顿第二定律有相同的形式（见（2-7）），在一惯性系内部所做的任何力学实验，都不能确定该惯性系相对其它惯性系是否在运动（见（2-9）），这个原理称为力学相对性原理或伽利略相对性原理。

§2-4牛顿定律应用举例

例2-1: 如图2-2，水平地面上有一质量为M 的物体，

静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为s μ， 若要拉动物体，问最小的拉力是多少？沿何方向？

解：⑴研究对象：M

⑵受力分析：M 受四个力，重力P

，拉力

T ，地面的正压力N

，地面对它的摩擦力f ，

见受力图2-3。

⑶牛顿第二定律：

合力： a M f N T P f N T P F

=+++?+++=

图 2-2

图 2-3

分量式：取直角坐标系

x 分量：Ma f F =-θcos ① y 分量：0sin =-+P N F θ ②

物体启动时，有

0cos ≥-f F θ ③

物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即N f s μ=，由②解出N ，求得f 为：

)sin (θμF P f s -= ④

④代③中：有

)sin /(cos θμθμs s Mg F +≥ ⑤

可见：)(θF F =。min T T =时，要求分母)sin (cos θμθs +最大。

设θθμθcos sin )(+=s A

0sin cos =-=θθμθ

s d dA

s tg μθ=?

∵ 0cos sin 2

2<--=θθμθ

s d A

d ∴ s tg μθ=时，max A A =

min F F =?。s arctg μθ=代入⑤中，

得：

2

2

22111

11/s s s s s s Mg

Mg F μμμμμμ+=???

?????++

+≥

F

方向与水平方向夹角为s arctg μθ=时，即为所求结果。

强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式（取坐标）。

例2-2：质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为KV f =，

K 为常数。求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度。

解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：m 受两个力，重力P

及空 气阻力f

，如图2-4。

⑶牛顿第二定律：

合力：f P F

+=

a m f P =+

y 分量：dt

dV

m KV mg =--

dt KV

mg mdV -=+?

抛出点 y=0图 2-4

即

dt m KV mg dV 1

-=+

??-=+t v v dt m KV mg dV 01

dt m

KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )(0KV mg e

KV mg t m

K

+?=+-

mg K

e KV mg K V t m K

1

)(10-+=?- ①

0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为

)1ln(ln 000mg

KV K m

mg KV mg K m t +=+=

② ∵ dt

dy

V =

∴ Vdt dy =

dt m g K e KV m g K Vdt dy t

t m K t

y

???

??

????-+==-0000

1

)(1

m gt K

e KV m g K m y t m

K 11)(02-??????-+-=-

mgt K

e KV mg K m t m K

1

1)(02-??????-+=- ③ 0t t = 时，max y y =，

)1ln(11)(0)1ln(02max

0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg

KV K m

m K +

?-???

?????-+=+?- )1ln(1

1)(022

002

mg KV g K m mg KV mg KV mg K m

+-????????????+-+=

)1ln()(022

0002

mg

KV g K m KV mg KV KV mg K m +-++=

)1ln(0

220mg KV g K

m K mV +-=

例2-3：如图2-5，长为l 的轻绳，一端系质量为m 的小球，另一端系于原点o ，开始时

小球处于最低位置，若小球获得如图所示的初速度0v

，小球将在竖直面内作圆

周运动，求:小球在任意位置的速率及绳的张力。

解：⑴研究对象：m

⑵受力分析：小球受两个力，

即重力g m

，拉力n F ，如图2-6。

⑶牛顿定律：a m g m F n

=+

n e

方向：l v m ma mg F n n 2cos ==-θ i e

方向：dt

dv m ma mg t ==-θsin

由②有： ωθθθ

θ

d dv dt d d dv dt

dv g

==?==-sin 即 θθd s i n lg vdv -= 作如下积分： ?

?-=θ

θθ0

d s i n lg vdv v v

有

)l g (c o s )v v (12

12

02-=-θ 得： )l g (c o s v v 122

-+=θ v 代①中，得：

)2cos 3(20

g g l

v m F n -+=θ

例2-4：如图2-6，一根轻绳穿过定滑轮，轻绳两端

各系一质量为1m 和2m 的物体，且21m m >，设滑轮的 质量不计，滑轮与绳及轴间摩擦不计，定滑轮以加

速度0a 相对地面向上运动，试求两物体相对定滑轮 的加速度大小及绳中张力。

解：⑴研究对象：1m 、2m

⑵受力分析：1m 、2m 各受两个力，即重力 及绳拉力，如图2-7。

⑶牛顿定律

设1m 对定滑轮及地加速度为τ1a

、1a ，

2m 对定滑轮及地加速度为τ2a 、2a

，

1m ：)(0111111a a m a m T g m

+==+τ

2m ：)(0222222a a m a m T g m

+==+τ 如图所选坐标，并注意τττa a a ==21，T T T ==21，有

??

?+=+-=-)

()

(022011a a m T g m a a m T g m ττ 解得： )(02

12

1a g m m m m a ++-=

τ

o

v 图 2-5

a τ

2a

a 图 2-6g

1图 2-7

g

2 T x y

)(202

12

1a g m m m m T ++=

例2-5：如图2-8，质量为M 的三角形劈置于水平

光滑桌面上，另一质量为m 的木块放在M

面上，m 与M 间无摩擦。试求M 和m 对M 的加速度。

解：⑴研究对象：m 、M

⑵受力分析：M 受三个力，重力g M

， 正压力'N ，地面支持力''N

。m 受两个力，

重力g m

，M 的支持力N ， 如图2-9所取坐

标系，设M 对地加速度为M a

，m 对M 的加速

度为mM a ，m 对地的加速度为m a

，有

M m M m a a a +=

由牛顿得二定律有：

m ：)(M m M a a m N g m

+=+

x 分量： )cos (sin M m M a a m N -=θθ ① y 分量： θθsin cos mM ma N mg -=+- ②

M ： ?

?

?=-=-N N Ma N M

'sin 'θ ③

由①、②、③有：

??

???++=

+=θθθθθ22sin sin )(sin cos sin m M c g M m a m M mg a M m M

强调：相对运动公式的应用。

图 2-8

M a x

图 2-9