数值分析-曲线拟合
数学与计算科学学院
《数值分析》实验报告题目：曲线拟合
专业：信息与计算科学
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二零一五年四月二十四日
《数值分析》实验报告（2 ）学号：姓名：班级：成绩：
数学与计算科学学院上机实验成绩评定表
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曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过 实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或 拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c 1，c 2 ，…c n )是一些待定参 数。当c在f中线性出现时，称为线性模型，否则称为非线性模型。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c使得拟合模型与实际观测值在
数值分析实验插值与拟合
《数值分析》课程实验一：插值与拟合 一、实验目的 1. 理解插值的基本原理，掌握多项式插值的概念、存在唯一性； 2. 编写MA TLAB 程序实现Lagrange 插值和Newton 插值，验证Runge 现象； 3. 通过比较不同次数的多项式拟合效果，理解多项式拟合的基本原理； 4. 编写MA TLAB 程序实现最小二乘多项式曲线拟合。 二、实验内容 1. 用Lagrange 插值和Newton 插值找经过点(-3, -1), (0, 2), (3, -2), (6, 10)的三次插值公式，并编写MATLAB 程序绘制出三次插值公式的图形。 2. 设 ]5,5[,11 )(2 -∈+= x x x f 如果用等距节点x i = -5 + 10i /n (i = 0, 1, 2, …, n )上的Lagrange 插值多项式L n (x )去逼近它。不妨取n = 5和n = 10，编写MATLAB 程序绘制出L 5(x )和L 10(x )的图像。 (2) 编写MA TLAB 程序绘制出曲线拟合图。 三、实验步骤 1. (1) Lagrange 插值法：在线性空间P n 中找到满足条件： ?? ?≠===j i j i x l ij j i , 0,, 1)(δ 的一组基函数{}n i i x l 0)(=，l i (x )的表达式为 ∏ ≠==--= n i j j j i j i n i x x x x x l ,0),,1,0()( 有了基函数{}n i i x l 0)(=，n 次插值多项式就可表示为 ∑==n i i i n x l y x L 0 )()( (2) Newton 插值法：设x 0, x 1, …, x n 是一组互异的节点，y i = f (x i ) (i = 0, 1, 2, …, n )，f (x )在处的n 阶差商定义为
数值分析函数逼与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设 ()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0 ()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0) ! k k f a k = 在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，1 1()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最大。为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经 济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。
1.2范数与逼近 一、线性空间及赋范线性空间 要深入研究客观事物，不得不研究事物间的内在联系，给集合的元素之间赋予某种“确定关系”也正是这样的道理.数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合称为空间。最常用的给集合赋予一种“加法”和“数乘”运算，使其构 成线性空间.例如将所有实 n 维数对组成的集合，按照“加法”和“数乘”运算构成实数域上的线 性空间，记作n R ，称为n 维向量空间.类似地，对次数不超过n 的实系数多项式全体，按通常多项式与多项式加法及数与多项式乘法也构成数域R 上一个线性空间，用n H 表示，称为多项式空间。所有定义在[,]a b 上的连续函数集合，按函数加法和数与函数乘法构成数域R 上的线 性空间，记作[,]C a b .类似地，记[,]p C a b 为具有p 阶连续导数的函数空间. 在实数的计算问题中，对实数的大小、距离及误差界等是通过绝对值来度量的.实践中，我们常常会遇到对一般线性空间中的向量大小和向量之间的距离进行度量的问题，因此有必要在一般线性空间上，赋予“长度”结构，使线性空间成为赋范线性空间. 定义1 设 X 是数域K 上一个线性空间，在其上定义一个实值函数g ，即对于任意 ,x y X ∈及K α∈，有对应的实数x 和y ，满足下列条件 (1) 正定性：0x ≥，而且0x =当且仅当0x =； (2) 齐次性：x x αα=； (3) 三角不等式：x y x y +≤+； 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1
数值计算_第6章 曲线拟合的最小二乘法
第6章曲线拟合的最小二乘法 6.1 拟合曲线 通过观察或测量得到一组离散数据序列，当所得数据比较准确时，可构造插值函数逼近客观存在的函数，构造的原则是要求插值函数通过这些数据点，即。此时，序列与 是相等的。 如果数据序列，含有不可避免的误差（或称“噪音”），如图6.1 所示；如果数据序列无法同时满足某特定函数，如图6.2所示，那么，只能要求所做逼近函数最优地靠近样点，即向量与的误差或距离最小。按与之间误差最小原则作为“最优”标准构造的逼近函数，称为拟合函数。 图6.1 含有“噪声”的数据 图6.2 一条直线公路与多个景点 插值和拟合是构造逼近函数的两种方法。插值的目标是要插值函数尽量靠近离散点；拟合的目标是要离散点尽量靠近拟合函数。 向量与之间的误差或距离有各种不同的定义方法。例如： 用各点误差绝对值的和表示： 用各点误差按模的最大值表示： 用各点误差的平方和表示： 或（6.1）
其中称为均方误差，由于计算均方误差的最小值的方法容易实现而被广泛采用。按 均方误差达到极小构造拟合曲线的方法称为最小二乘法。本章主要讲述用最小二乘法构造拟合曲线的方法。 在运筹学、统计学、逼近论和控制论中，最小二乘法都是很重要的求解方法。例如，它是统计学中估计回归参数的最基本方法。 关于最小二乘法的发明权，在数学史的研究中尚未定论。有材料表明高斯和勒让德分别独立地提出这种方法。勒让德是在1805年第一次公开发表关于最小二乘法的论文，这时高斯指出，他早在1795年之前就使用了这种方法。但数学史研究者只找到了高斯约在1803年之前使用了这种方法的证据。 在实际问题中，怎样由测量的数据设计和确定“最贴近”的拟合曲线？关键在选择适当的拟合曲线类型，有时根据专业知识和工作经验即可确定拟合曲线类型；在对拟合曲线一无所知的情况下，不妨先绘制数据的粗略图形，或许从中观测出拟合曲线的类型；更一般地，对数据进行多种曲线类型的拟合，并计算均方误差，用数学实验的方法找出在最小二乘法意义下的误差最小的拟合函数。 例如，某风景区要在已有的景点之间修一条规格较高的主干路，景点与主干路之间由各具特色的支路联接。设景点的坐标为点列；设主干路为一条直线 ，即拟合函数是一条直线。通过计算均方误差最小值而确定直线方程（见图6.2）。 6.2线性拟合和二次拟合函数 线性拟合 给定一组数据，做拟合直线，均方误差为 （6.2） 是二元函数，的极小值要满足 整理得到拟合曲线满足的方程：
数值分析法 曲线拟合法插值建模法
数值分析法 相关知识 在生产和科学实验中，自变量x 与因变量y 间的函数关系()y f x =有时不能写出解析表达式，而只能得到函数在若干点的函数值或导数值，或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时，需要估计函数值在该点的值。 为了完成这样的任务，需要构造一个比较简单的函数()y x ?=，使函数在观测点的值等于已知的值，或使函数在该点的导数值等于已知的值，寻找这样的函数()y x ?=有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。 （1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。 （2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。 曲线拟合法 已知离散点上的数据集1122{(,),(,),,(,)}n n x y x y x y ，即已知在点集12{,,,}n x x x 上的函数值12{,,,}n y y y ，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使()f x 在原离散点 i x 上尽可能接近给定的i y 值，这一过程称为曲线拟合。 曲线拟合的一般步骤是先根据实验数据，结合相关定律，将要寻求的最恰当的拟合曲线方程形式预测出来，再用其他的数学方法确定经验公式中的参数。 对于事先给定的一组数据，确定经验公式一般可分为三步进行： (1)、确定经验公式的形式：根据系统和测定的数据的特点，并参照已知图形的特点确定经验公式的形式。 （2）、确定经验公式中的待定系数：计算待定系数的方法有许多常用的法有图示法、均值法、差分法、最小二乘法、插值法等。 （3）、检验：求出经验公式后，还要将测定的数据与用经验公式求出的理论
数据作比较，验证经验公式的正确性，必要时还要修正经验公式。 关于确定经验公式的形式，可从以下几个方面入手： （1）、利用已知的结论确定经验公式形式，如由已知的胡克定律可以确定在一定条件下，弹性体的应变与应力呈线性关系等。 （2）、从分析实验数据的特点入手，将之与已知形式的函数图形相对照，确定经验公式的形式。 （3）、描点作图法：将已知的点用光滑的曲线连接起来，寻找曲线的形式。 （4）、多项式近似、线性插值或样条插值等。多项式近似是工程中十分常见的方法，它首先需要确定多项式的次数，一般可以用差分法、差商法来估计。 <一>、差分方程法 <1>、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 (1)、说明：差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 (2)、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
曲线拟合的数值计算方法实验
曲线拟合的数值计算方 法实验 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
曲线拟合的数值计算方法实验 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按原理求出变换后变量的，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。
3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近的一种方法。在或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对（X i ，Y i )（i=1，2，...m ），其中各X i 是彼此不同的 。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x ，c ）来反映量x 与y 之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x ，c)常称作拟合模型 ，式中c=(c 1，c 2，…c n )是一些待定参数。当c 在f 中出现时，称为线性模型，否则称为。有许多衡量拟合优度的标准，最常用的一种做法是选择参数c 使得拟合模型与实际在各点的(或)，c）-f （f y e k k k 的平方和达到最小，此时所求曲线称作在加权最小二乘意义下对数据的拟合曲线。有许多求解拟合曲线的成功方法，对于线性模型一般通过建立和求解来确定参数，从而求得拟合曲线。至于，则要借助求解非线性方程组或用最优化方法求得所需参数才能得到拟合曲线，有时称之为非线性。 曲线拟合：与路径转化时的误差。值越大，误差越大；值越小，越精确。 2.最小二乘法拟合：
数值分析课件第3章函数逼近与曲线拟合
第三章 函数逼近与曲线拟合 1 函数的逼近与基本概念 1.1问题的提出 多数计算机的硬件系统只提供加、减、乘、除四种算术运算指令，因此为了计算大多数有解析表达式的函数的值，必须产生可用四则运算进行计算的近似式，一般为多项式和有理分式函数.实际上，我们已经接触到两种逼近多项式，一种是泰乐多项式，一种是插值多项式.泰乐多项式是一种局部方法，误差分布不均匀，满足一定精度要求的泰乐多项式次数太高，不宜在计算机上直接使用.例如，设()f x 是[1,1]-上的光滑函数，它的Taylor 级数0()k k k f x a x ∞ ==∑， ()(0)! k k f a k =在[1,1]-上收敛。当此级数收敛比较快时，11()()()n n n n e x f x s x a x ++=-≈。这个误差分布是不均匀的。当0x =时，(0)0n e =，而x 离开零点增加时，()n e x 单调增加，在1x =±误差最
大。
为了使[1,1]-的所有x 满足()()n f x s x ε-<，必须选取足够大的n ，这显然是不经济的。插值函数出现的龙格现象表明，非节点处函数和它的插值多项式相差太大。更重要的是，实际中通过观测得到的节点数据往往有各种误差，此时如果要求逼近函数过全部节点，相当于保留全部数据误差，这是不适宜的。如图1所示，给出五个点上的实验测量数据，理论上的结果应该满足线性关系，即图1中的实线。由于实验数据的误差太大，不能用过任意两点的直线逼近函数。如果用过5个点的4次多项式逼近线性函数，显然误差会很大。 实验数据 真函数 插值多项式逼近 精确的线性逼近 图1
曲线拟合的最小二乘法论文#精选.
“数值计算方法与算法”论文 题目：浅谈曲线拟合的最小二乘法 院系：化学与材料工程学院20系 姓名： 学号： 时间：2015年春季学期
浅谈曲线拟合的最小二乘法 【摘要】 数值计算方法，一种研究并解决数学问题的数值近似解的方法，主要解决那些理论上有解但是无法轻易且准确求解的数学问题。在当今计算机技术日渐成熟的背景下，数值计算方法的应用被大大的推广，并且极大的推动了自然科学的规律探索及理论验证。本文主要探讨了一种重要的数值计算方法——曲线拟合的最小二乘法的历史发展、理论核心以及应用价值。 关键词：数值计算方法最小二乘法应用 【正文】 数值计算方法，是一种研究并解决数学问题的数值近似解方法，现在通常在计算机上使用来求解数学问题。它主要的计算对象是那些在理论上有解而又无法直接手工计算的数学问题【1】。例如，用已知的数据点来构造合适的插值函数或拟合出合适的曲线来近似代替原函数，从而解决了因难以求得原函数表达式而无 法计算相关函数值的难题；又如，对于一个一般的非线性方程，可能在 计算方程的根时既无一定章程可循，也无理论解法可言，那么这时就可以构造合适的迭代格式如Newton迭代，通过对一个近似的初值进行有限次迭代，就可以得到较精准的根值，从而有效避免了冗长而又复杂的理论求解的过程。 在学习完计算方法与算法这门课程后，我收获了许多实用的计算方法、技巧和思想，而对书中的某些问题的解法的深入思考也让我加深了对这门课程的理解。由于专业的相关需要，我对曲线拟合的最小二乘法这部分知识点进行了重点的学习和深刻的反思，也收获了许多。 1.最小二乘法的发展历史 18世纪中期以后，欧拉（L. Euler, 1707-1783）、梅耶（T. Meiyer, 1723-1762）、拉普拉斯(P. S. Laplace, 1749—1827)等科学家在研究一些天体运动规律时，都得到了一些含有m个变量n个（）方程的线性方程组（也就是我们现在所说的线性矛盾方程组），并且各自运用了一些方法解出了方程组的较优解。虽然方法繁琐且奇特，但不失为数学史一次伟大的尝试。 有关于最小二乘法的首次应用于实际计算并成功的记载，是关于第一颗小行星位置的预测，十分之有趣。1801年，意大利天文学家朱塞普·皮亚齐（Giuseppe Piazzi,1746-1826）发现了第一颗小行星谷神星。经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。随后，全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据，开始了寻找谷神星之旅。但是，根据大多数人的计算结果来寻找谷神星，都以失败告终。时年24岁的伟大的数学家高斯（C.F.Gauss, 1777
计算方法离散数据曲线拟合
第三章 数据拟合 知识点：曲线拟合概念，最小二乘法。 1．背景 已知一些离散点值时，可以通过构造插值函数来近似描述这些离散点的运动规律或表现这些点的隐藏函数 曲线拟合方法也可以实现这个目标，不同的是构造拟合函数。两种方法的一个重要区别是：由插值方法构造的插值函数必须经过所有给定离散点，而曲线拟合方法则没有这个要求，只要求拟合函数（曲线）能“最好”靠近这些离散点就好。 2．曲线拟合概念 实践活动中，若能观测到函数y=f(x )的一组离散的实验数据(样点):(x i ,y i )， i =1，2…,n 。就可以采用插值的方法构造一个插值函数?(x)，用?(x)逼近f(x )。插值方法要求满足插值原则 ?(x i )=y i ，蕴涵插值函数必须通过所有样点。另外一个解决
逼近问题的方法是考虑构造一个函数?(x )最优靠近样点，而不必通过所有样点。如图。 即向量T=（?(x 1）， ?(x 2)，…?(x n )）与Y=（y 1，y 2，。。。，y n ）的某种误差达到最小。按T 和Y 之间误差最小的原则作为标准构造的逼近函数称拟合函数。 曲线拟合问题:如何为f(x )找到一个既简单又合理的逼近函数?(x)。 曲线拟合：构造近似函数?(x)，在包含全部基节点x i (i =1，2…,n)的区间上能“最好”逼近f(x )（不必满足插值原则）。 逼近/近似函数y =?(x)称经验公式或拟合函数/曲线。 拟合法则：根据数据点或样点(x i ,y i )，i =1，2…,n ，构造出一条反映这些给定数据一般变化趋势的逼近函数y =?(x)，不要求曲线?(x ）经过所有样点，但要求曲线?(x)尽可能靠近这些样点，即各点误差δi =?(x i )-y i 按某种标准达到最小。 均方误差/误差平方和/误差的2-范数平方： 常用误差的2-范数平方作为总体误差的度量，以误差平方和达到最小作为最优标准构造拟合曲线的方法称为曲线拟合的最小二乘法（最小二乘原理）。 3．多项式拟合 2 4 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? -4 -2 样点 y =?(x) ?(x i ) y i =f(x i ) ∑==n i i 122 2 ||||δδ
数值分析曲线拟合的最小二乘法——董安葳
数值分析第二次实验报告 姓名：董安葳 学号：5123119 题目：曲线拟合的最小二乘法 实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。 实验过程： 1．实验代码： zuixiaoerchengnihe.m function zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X); G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵G d=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵d for ii=1:n+1 for jj=ii:n+1 for kk=1:a; G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角 end G(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值 end for pp=1:a d(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵d end end jielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量 %将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出 fprintf('f(x)=') for ii=1:n+1 fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)]) if ii~=n+1 fprintf('+') end end fprintf('\n') 2．调用方法和输出结果： P95第十六题：
数值分析
曲线拟合 6.1.2 曲线拟合问题 仍然是已知x 1 … x m ; y 1 … y m , 求一个简单易 算的近似函数f (x )来拟合这些数据。 但是①m 很大； ②y i 本身是测量值，不准确，即y i ≠f (x i ) 这时没必要取f (x i ) = y i , 而要使ρi =f (x i ) -y i 总体上尽可能地小。 这种构造近似函数的方法称为曲线拟合，f (x )称为拟合函数 称为“残差”
◆使最小|)(|max 1i i m i y x P -≤≤较复杂， P284◆使最小∑=-m i i i y x P 1 |)(|不可导，求解困难，P283◆使最小∑=-m i i i y x P 12 |)(|“使ρi =P (x i ) -y i 尽可能地小”有不同的准 则
线性拟合问题 6.2.1 ||.||2 意义下的线性拟合（线性最小二乘问题） 确定拟合函数，对于一组数据(x i , y i ) (i = 1, 2, …, m ) 使得 达到极小，这里n <＝m 。 1122()()()...() n n f x c x c x c x ???=+++2 22 211||||[()]m m i i i i i r y f x ρ====-∑∑Denote: 12()(),1,2,()i i i i m x x i n x ??????? ??Φ==??????
122221212()()()()()()[,,,]()() ()n n n m m n m x x x x x x A x x x ???????????????=ΦΦΦ=?????? 111222,,m m n y c y c b r x y c ρρρ?????????? ????????===???????????????? ?? 2 2222211 ||||[()]|||| m m i i i i i r y f x b Ax ρ====-=-∑∑称方程组Ax=b 为超定方程组
数值分析
数值分析 第一章 绪论 ................................................................................................................................... 1 第二章 函数插值 ............................................................................................................................. 2 第三章 函数逼近 ............................................................................................................................. 5 第四章 数值积分与数值微分 ....................................................................................................... 11 第五章 解线性方程组的直接解法 ............................................................................................... 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 ............................................................................................... 17 第七章 非线性方程求根 ............................................................................................................... 20 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 .. (22) 第一章 绪论 1.1 的相对误差不超过0.1%，应取几位有效数字？ 解： 14a =。 设*x 有 n 位有效数字，由定理知相对误差限 *11r 11 ()1010248 n n x ε--≤ ?=?? 令11 100.1%8 n -?≤， 解得 3.097n ≥，即需取四位有效数字. 1.2 序列{} n y 满足关系式1101(1,2,...)n n y y n -=-=，若0 1.41y =≈，计算到10y ，误差有多大？这个算法稳定吗？ 解：δ=?≤ -== -2*00*00102 1 ,41.1,2y y y y ，于是 δ1010110110* 00*00*11≤-=+--=-y y y y y y δ2*11*11*221010110110≤-=+--=-y y y y y y ，一般地δn n n y y 10*≤-，因此计算 到10y 其误差限为δ10 10，可见这个计算过程是不稳定的。
数值分析 第1-4章习题
第1-4章 一、叙述 1．内积 2．泛函数列强收敛 3．Bessel不等式 4．距离空间、赋范线性空间、内积空间的关系。 5．Cauchy点列 6．距离空间的稠密性、可分性 7．范数 8．Cauchy-Schwarz不等式 9．赋范线性空间成为内积空间的条件 10．广义Fourier级数 11．商高定理并证明。 12．内积与范数关系。 13．叙述并证明距离成为赋范线性空间的条件。 二、举例 1.完全规范正交系 2.有界线性泛函，有界非线性泛函。 3.不完备的线性空间 4.Bessel不等式 5.由内积导出的范数 6.由内积导出的距离 7.不完备的内积空间 8.Cauchy点列 9.泛函的范数 10.距离空间的稠密性和可分性，并各举一例。 X的强收敛，举例。 11. n 12.线性算子、非线性算子各一例。 13.稠密子集 14.不完备的内积空间 Xρ中子集合A在子集合B中稠密的概念，并举例说明。 15.距离空间(,) 16.什么是可分的Hilbert空间，并举例说明。 17.什么是巴拿赫(Banach)空间，举一个Banach空间的例子。 18. 19. 三、证明 T有界。 1.线性算子T有界的充要条件是||||
2. 设(,)x y ρ为距离空间X 的距离，证明：(,)1(,) x y x y ρρ+也是距离空间的距离。 3. 证明内积(,)x y 是,x y 的连续泛函。 4. 证明距离空间中，距离(,)x y ρ是两个变元,x y 的连续函数。 5. 距离空间成为赋范线性空间的条件，并证明。 6. 由范数的三角不等式推出||||||||||||||x y x y ?≤?，并由此推出范数的连续性。 7. 在实数空间中，求证||(,)1|| x y x y x y ρ?=+?满足距离公理。 8. 赋范线性空间(,||||)E i 也是距离空间； 9. 当距离空间(,)X ρ满足下列两个条件时，也是赋范线性空间：（1）X 是线性空间； （2）(,)(,0),(,)||(,0)x y x y x y x ρρρααρ=?=。 10. 设n n A R ×∈为非奇异矩阵，定义2||||||||A x Ax =，证明：||||A x 是上向量n R 的一种范数。 11. 叙述内积的定义以及内积满足的Cauchy-Schwarz 不等式。 12. 设矩阵n n A R ×∈，证明不等式()||||(||||)v v A A A ρ≤为算子范数； 13. 证明满足下列条件的距离空间是赋范线性空间（取范数为||||(,0)x x ρ=）(i)是线性 空间(ii)(,)(,0)x y x y ρρ=?(iii)(,0)||(,0)x x ρααρ= 14. 设T 为线性算子，证明T 有界的充要条件为||||T 有界。 15. 利用商高定理和1(,)n i i i x x e e ==∑，证明2 21|||||(,)|n i i x x e ==∑ 16. 证明H 空间中任一组线性无关的元素12{,,,,}n g g g ……都可以规范正交化。 17. 证明在H 空间中，一下四个命题等价：(1) 12{,,,,}n e e e ……为完全规范正交系； (2) 设12{,,,,}n M span e e e =……，则M H =； (3) 对任意的x H ∈，Parseval 等式成立；(4) 对任意的x H ∈，有1(,)n i i i x x e e == ∑
曲线拟合的数值计算方法实验.
曲线拟合的数值计算方法实验 郑发进 2012042020022 【摘要】实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。常用的曲线拟合有最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束。 关键词曲线拟合、最小二乘法拟合、幂函数拟合、对数函数拟合、线性插值、三次样条插值、端点约束 一、实验目的 1.掌握曲线拟合方式及其常用函数指数函数、幂函数、对数函数的拟合。 2.掌握最小二乘法、线性插值、三次样条插值、端点约束等。 3.掌握实现曲线拟合的编程技巧。 二、实验原理 1.曲线拟合 曲线拟合是平面上离散点组所表示的坐标之间的函数关系的一种数据处理方法。用解析表达式逼近离散数据的一种方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x与y的一组数据对（X i，Y i)（i=1，2，...m），其中各X i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的背景材料规律相适应的解析表达式，y=f(x，c）来反映量x与y之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x，c)常称作拟合模型，式中c=(c1，c2，…c n)是一些待定参数。
数值分析作业-曲线拟合的最小二乘法
《数值分析》实验报告课题八：曲线拟合的最小二乘法 姓名: 学号： 专业： 学院：
一、实验课题:曲线拟合的最小二乘法 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。 二、理论意义和实用价值。 如果已知函数f(x)在若干点xi(i=1,2,…,n)处的值y i ,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。但在科学实验和生产实践中，往往会遇到这样一种情况，即节点上的函数值并不是很精确的，这些函数值是由实验或观测得到的数据，不可避免地带有测量误差，如果要求所得的近似函数曲线精确无误 地通过所有的点(x i ,y i ),就会使曲线保留着一些测试误差。当个别数据的误差较 大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。 所以我们设想:在大量的随机数据X（X 1、X 2 、X 3…… X n) 与Y(y 1、 y 2、…… y n), 从看 似无规律的这两组离散数据中，找到一条一条曲线Y=F(x),使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是曲线拟合最小二乘法。在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。 曲线拟合不要求曲线通过所有已知点,而是要求得到的近似函数能反映数据的基本关系。此外，由于实验或观测提供的数据个数往往很多，如果用插值法，势必得到次数较高的插值多项式，这样计算起来很麻烦，缺乏实用价值，所以从某些意义上来说,在解决实际问题的过程中，曲线拟合更具有实用价值。三、计算过程 将给定数据作散点图，始图所示，选择形如S 1(X)=a 1 (x)+a 2 (x2)+a 3 (x3)作为拟
3.7-数值计算方法教案-曲线拟合与函数逼近
第三章 插值法与最小二乘法 3.7 最小二乘法 一、教学目标及基本要求 通过对本节课的学习，使学生掌握数值逼近的拟合方法。 二、教学内容及学时分配 本章主要介绍数值分析的最小二乘法。具体内容如下：曲线拟合原理，最小二乘法。 三、教学重点难点 1．教学重点：曲线拟合。 2. 教学难点：最小二乘法。 四、教学中应注意的问题 多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。 一．曲线拟合 1.问题提出： 已知多组数据(),,1,2,,i i x y i N =L ，由此预测函数()y f x =的表达式。 数据特点：（1）点数较多。（2）所给数据存在误差。 解决方法：构造一条曲线反映所给数据点的变化总趋势，即所谓的“曲线拟合”。 2.直线拟合的概念 设直线方程为y=a+bx 。 则残差为：?i i i e y y =-,1,2,,i N =L ，其中?i i y a bx =+。 残差i e 是衡量拟合好坏的重要标志。 可以用MATLAB 软件绘制残差的概念。 x=1:6; y=[3,4.5,8,10,16,20]; p=polyfit(x,y,1); xi=0:0.01:7; yi=polyval(p,xi); plot(xi,yi,x,y, 'o');
y1=polyval(p,x); hold on for i=1:6 plot([i,i],[y(i),y1(i)], 'r'); end 可以绘制出如下图形： 三个准则： （1）max i e 最小 （2）1n i i e =∑最小 （3）21 N i i e =∑最小 3.最小二乘法的直线拟合
数值分析上机作业
数值分析上机作业 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
数值分析上机实验报告 选题：曲线拟合的最小二乘法 指导老师： 专业： 学号： 姓名：
课题八 曲线拟合的最小二乘法 一、问题提出 从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。 在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。 二、要求 1、用最小二乘法进行曲线拟合； 2、近似解析表达式为()33221t a t a t a t ++=?； 3、打印出拟合函数()t ?，并打印出()j t ?与()j t y 的误差， 12,,2,1 =j ； 4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较； 5、*绘制出曲线拟合图*。 三、目的和意义 1、掌握曲线拟合的最小二乘法； 2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组； 3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。 四、计算公式
对于给定的测量数据(x i ,f i )(i=1,2,…，n )，设函数分布为 特别的，取)(x j ?为多项式 j j x x =)(? (j=0, 1,…，m ) 则根据最小二乘法原理，可以构造泛函 令 0=??k a H (k=0, 1,…，m ) 则可以得到法方程 求该解方程组，则可以得到解m a a a ,,,10 ，因此可得到数据的最小二 乘解 曲线拟合：实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。 五、结构程序设计 在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit ，并且依次调用了plot 、figure 、hold on 函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs 用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。 用一元三次多项式()33221t a t a t a t ++=?进行拟合 计算解析表达式系数： a1, a2, a3 t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55];
计算方法上机5曲线拟合
实验报告名称曲线拟合 班级：学号：姓名：成绩： 1实验目的 1）了解最小二乘法的基本原理，通过计算机解决实际问题； 2）了解超定方程组的最小二乘解法。 2 实验内容 由化学实验得到的某物质浓度与时间的关系如下： 时间t 1 2 3 4 5 6 7 8 浓度y 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 时间t 9 10 11 12 13 14 15 16 浓度y 10.00 10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60 3实验步骤 算法 已知数据对（xj,yj）(j=1,2...n),求多项式p(x)=∑aix^i(m
{ int i; float a[3]; float x[16]={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}; float y[16]={4,6.4,8,8.8,9.22,9.5,9.7,9.86,10,10.2,10.32,10.42,10.50,10.55,10.58,10.6}; void Approx(float[],float[],int,int,float[]); Approx(x,y,16,2,a); for(i=0;i<=2;i++) printf("a[%d]=%f\n",i,a[i]); } void Approx(float x[],float y[],int m,int n,float a[]) { int i,j,t; float *c=new float[(n+1)*(n+2)]; float power(int,float); void ColPivot(float*,int,float[]); for(i=0;i<=n;i++) { for(j=0;j<=n;j++) { *(c+i*(n+2)+j)=0; for(t=0;t<=m-1;t++) *(c+i*(n+2)+j)+=power(i+j,x[t]); } *(c+i*(n+2)+n+1)=0; for (j=0;j<=m-1;j++) *(c+i*(n+2)+n+1)+=y[j]*power(i,x[j]); } ColPivot(c,n+1,a); delete c; } void ColPivot(float*c,int n,float x[]) { int i, j, t, k ; float p; for (i=0;i<=n-2;i++) { k=i; for(j=i+1;j<=n-1;j++) if(fabs(*(c+j*(n+1)+i))>(fabs(*(c+k*(n+1)+i)))) k=j; if(k!=i) for(j=i;j<=n;j++)