经典—直线与双曲线位置关系学案教学法

直线与双曲线的位置关系

知识梳理：

1、直线与双曲线有无公共点或有几个公共点的问题：

可以转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题，往往通过消元后最终转化为讨论一元二次方程的解的问题或一元二次函数的最值问题，讨论时特别要注意转化的等价性，即解决直线与圆锥曲线的相交问题要用好化归思想和等价转化思想

需要注意的是当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线有且只有一个交点 2、涉及直线与双曲线相交弦的问题：

主要有这样几个方面：相交弦的长，有弦长公式|AB |=21k +|x 2－x 1|；弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等，这可以利用“设点代点、设而不求”的方法（设交点坐标，将交点坐标代入曲线方程，并不具体求出坐标，而是利用坐标应满足的关系直接导致问题的解决） 3、韦达定理的运用：

由于二次曲线和二次方程的密切关系，在解决二次曲线问题时要充分重视韦达定理的运用 4、 弦长公式：

若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 2212))(1(x x k AB -+=；

若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为 AB =5、焦半径：P 在右支上时： 1020PF ex a

PF ex a =+=-； P 在左支上时：1020()

()PF ex a PF ex a =-+=--

典型示例 例1（1）

（2010辽宁）双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如

果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(D )

（A （B （C （D 【解析】设双曲线的一个焦点F （c,0）,B(0,b)

直线FB ：bx+cy-bc=0与渐近线y=

b x a 垂直，所以1b b

c a

-?=-，即b 2=ac

所以c 2-a 2=ac ,即e 2-e -1=0,所以e =

或e =（舍去） （2）(09湖北卷)已知双曲线

22122x y -=的准线过椭圆22

214x y b

+=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）

A.11,22K ??∈-????

B. 11,,2

2K ?

?

??

∈-∞-+∞ ??

??

??? C. 22K ?∈-???D. ,22K ??∈-∞-+∞ ? ?????

【变式】（09浙江）过双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线

的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12

AB BC =

，则双曲线的离心率是 ( )

A B C D 例2已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)，求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.

【变式】直线1+=kx y 与双曲线122=-y x 的左支相交于A ，B 两点，设过点)0,2(-和AB 中点的直线l 在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．

例3已知双曲线2

214

x y -=和定点1(2,)2P

（I ）过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点；

（II ）双曲线C 的弦中，以P 点为中点的弦12PP 是否存在？并说明理由

【变式1】已知双曲线x 2

－2

2

y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB

中点。（1）求直线AB 的方程；（2）若Q （1，1），证明不存在以Q 为中点的弦

【变式2】设双曲线122

22=-b y a x )0(b a <<的半焦距为c ，直线l 过)0,(a 、),0(b 两点，且原点到直线

l 的距离为

c 4

3

，求双曲线的离心率．

例4 已知双曲线的方程是16x 2－9y 2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|=32，求∠F 1PF 2的大小

【变式2】已知F 1、F 2是双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，

若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是

（ ）

A ．324+

B ．13-

C ．

2

1

3+ D ．13+

【变式3】设双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如

果PQF ?是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =

例5已知双曲线的方程为14

22

=-y x , 直线l 通过其右焦点F 2，

且与双曲线的右支交于A 、B 两点，将A 、B 与双曲线的左焦点F 1连结起来，求|F 1A|·|F 1B|的最小值

解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),A 到双曲线的左准线x= ─c a 2= ─54的距离d=|x 1+54|=x 1+5

4

，

由双曲线的定义，

d AF ||1=e=25, ∴|AF 1|=25(x 1+5

4)=25x 1+2,同理，|BF 1|=25

x 2+2, ∴|F 1A|·|F 1B|=(

25x 1+2)(2

5x 2+2)=45x 1x 2+5(x 1+x 2)+4 (1)

双曲线的右焦点为F 2(5,0),

(1)当直线的斜率存在时设直线AB 的方程为：y=k(x─5)，

由?????=--=14

)

5(2

2y x x k y 消去y 得 (1─4k 2)x 2+85k 2x─20k 2─4=0,

∴x 1+x 2=1

4582

2

-k k , x 1x 2= ─1442022-+k k , 代入(1)整理得 |F 1A|·|F 1B|=14525144022

22

-++-k k k k +4=1456522

-+k k +4=1

4485

)41(652

2-+

-k k +4=481+)14(4852-k ∴|F 1A|·|F 1B|>

4

81

; (2)当直线AB 垂直于x 轴时，容易算出|AF 2|=|BF 2|=2

1, ∴|AF 1|=|BF 1|=2a+

21=29(双曲线的第一定义), ∴|F 1A|·|F 1B|=4

81 由(1), (2)得：当直线AB 垂直于x 轴时|F 1A|·|F 1B| 4

81

【变式】 已知1l ，2l 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1l ，2l 与双曲线12

2=-x y 各有1A ，

1B 和2A ，2B 两个交点．(1)求1l 的斜率1k 的取值范围；(2)若22115B A B A =，求1l ，2l 的方程；

4

A ．焦距为10

B ．实轴和虚轴长分别是8和6

C ．离心率是

45或3

5

D ．离心率不确定 2．如果双曲线

136

642

2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准 线的距离是（ ）A ．

5

32 B ．10

C ．72

D ．

7

7

32 3．直线与双曲线的公共点的个数最多是（ ）A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

4、双曲线

116

92

2=-y x 的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（ ） A ．4

3-

B ．3

4-

C ．5

3-

D ．3

5-

5、设双曲线()0122

22>>=-a b b

y a x 的半焦距为c ，直线l 过()0，a A ，()b B ，0两点，已知原点到直线的l

的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为__________ 6、点)1,8(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______ 7、求双曲线14416922=-y x ，被点)3,8(A 平分的弦PQ 的方程．

8、求直线231+=x y 与双曲线

14

92

2=-y x 的两个交点和原点构成三角形的面积

9、已知1t 、2t 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1t 、2t 与双曲线12

2

=-x y 各有两个交点，求1t 的斜率1k 的取值范围．

4

A ．焦距为10

B ．实轴和虚轴长分别是8和6

C ．离心率是

45或3

5

D ．离心率不确定 2．如果双曲线

136

642

2=-y x 上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的右准 线的距离是（A ）A ．

5

32 B ．10

C ．72

D ．

7

7

32 3．直线与双曲线的公共点的个数最多是（B ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4、双曲线

116

92

2=-y x 的右准线与渐近线在第一象限的交点与右焦点连线的斜率为（A ） A ．4

3-

B ．3

4-

C ．5

3-

D ．3

5-

5、设双曲线()0122

22>>=-a b b

y a x 的半焦距为c ，直线l 过()0，a A ，()b B ，0两点，已知原点到直线的l

的距离为

c 4

3

，则双曲线的离心率为__________2 6、点)1,8(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是______0152=--y x 7、求双曲线14416922=-y x ，被点)3,8(A 平分的弦PQ 的方程． 解：令),(11y x P ，),(22y x Q

1441692121=-∴y x ①

1441692222=-y x ②

①－②得：0)(16)(922212221=---y y x x ，即

0))((16))((921212121=-+--+y y y y x x x x 1621=+x x ，621=+y y

设PQ 的斜率为k ，则2

3

=

k ∴弦PQ 的方程为01823=--y x

8、求直线231+=x y 与双曲线

14

92

2=-y x 的两个交点和原点构成三角形的面积

设直线与双曲线的两个交点分别为1P 、2P ，将231+=x y 代入14

922=-y x ，

整理得02442

=--x x ，此方程的两个根1x 、2x 分别是1P 、2P 的横坐标，由韦达定理可得

421=+x x ，2421-=?x x

744)(2122121=-+=-x x x x x x 742742

1

2212121=??=?-=

∴?x x S P OP 9、已知1t 、2t 是过点)0,2(-P 的两条互相垂直的直线，且1t 、2t 与双曲线122=-x y 各有两个交点，求1t 的斜率1k 的取值范围．

依题意1t 、2t 的斜率均存在，则)2(:11+=x k y t ，（01≠k ），

由?????=-+=1)2(2

21x y x k y 01222)1(2

121221=-++-?k x k x k ?

??>---=?±≠∴0)12)(1(4)22(12

1212211k k k k ???>-±=∴0

)13(41

2

11k k ???????±≠-=?>->-∴110130

131

212

221k k k k k ???

??±≠<

33

31

1k k )3,1()1,3

3

()33,

1()1,3(1??-?--∈∴k