一阶方程初等积分法综述

一阶方程初等积分法综述

摘要：所谓方程，是指那些含有未知量的等式，它表达了未知量所必须满足的某种条件。 如果在一方程中的未知量是数，这样的方程就是代数方程或超越方程。如果在一个方程中的未知量是函数，这样的方程就称为函数方程。如果在一个函数方程中含有对未知函数的积分运算或在积分号下有未知函数，这样的函数方程就称为积分方程。如果函数方程中含有对未知函数的求导运算或微分运算，这样的函数方程就称为微分方程。

关键词：一阶线性方程、常微分方程、函数、通解

一．微分方程和解 1.一般来说，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数的等式。如果其中的未知数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知数是两个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程。 例如：x dx y 2d =就是常微分方程，z y

z x y =??+??就为偏微分方程。微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶数。x dx 2dy =是一阶微分方程。03

22=+??? ??+x dt dx tx dt x d 是二阶微分方程。 2.N 阶隐式微分方程得一般形式为0,,,,=???

? ??n n dx y d dx dy y x F ，这个是n n dx

y d dx dy y x ,,,, 的已知函数，而且一定含有y dx y d n n ,是未知函数，x 是自变量，n 阶显式微分方程得一般形式为()()()1',,,,-=n n y y y x f y 。如果微分方程的解中含有任意常数，且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程得阶数相同则称这样的解为该方程得通解。例如：2,121,cos sin c c x c x c y +=为任常数是微分方程0''=+y y 的通解。N 阶微分方程通解的一般形式为()n c c x y ,,1 ，?=，其中n c c ,,1 为相互独立的任常数。

3.求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题。初值问题也常称为柯西问题。

4.为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图像。一阶方程的一个特解()x y ?=的函数图像是x0y 平面上的一条曲线，称为方程的积分曲线，而通解()C x y ,?=的函数图像是平面上的一族曲线，称为积分曲线族。

二．变量可分离方程

1.形如：()()x g x f dx

dy =的方程称为变量可分离方程。它的特点是()()x g x f ,是连续函数，方程的右端是两个独立的一元函数之积。

2.在方程()()x g x f dx

dy =中，假设)(y g 是常数，不妨设1)(=y g 。此时方程()()x g x f dx dy =变为)(x f dx dy =，设)(x f 在区间（a,b ）上连续，求方程)(x f dx dy =的解，就成为求)(x f 的原函数(不定积分)的问题。

三．齐次方程

1.如果一阶显式方程

),(y x f dx dy =的右端函数),(y x f 可以改写为x y 的函数)(x y g ，那么称方程),(y x f dx

dy =为一阶齐次微分方程。 2.下面给出经典例题解法 例题：解微分方程x

y x y y tan '+= 解：令'',u xu u y x

y +==则代入原方程得u u xu u tan '+=+ 分离变量x

dx du u u =sin cos 两边积分Cx u C x u x

dx du u u =+==??sin ,ln ln sin ln sin cos 即得 故原方程得通解为Cx x

y =sin （C 为任意常数）

四．一阶线性微分方程

1.一阶线性微分方程的形式是

()()x f y x p dx dy =+，如果f(x)≡0，即0)(dx

dy =+y x p 则称为一阶线性齐次方程，如果f(x)不恒为零，则称()()x f y x p dx

dy =+为一阶线性非齐次方程。

2.讨论()0=+y x p dx

dy 所对应的齐次方程的通解问题 分离变量得

()dx x p y -=dy ，两边积分得()()??=+-=-?dx x p e c y c dx x p y 或ln ln ，其次，我们使用所谓的常数变易法求非齐次线性方程的通解。将通解中的常数C 换成函

数C （x ）,即为()??=-dx x p e x C y )(，将此代入()()x f y x p dx

dy =+，有()()()?=dx x p e x f x C '，积分后得()()()c dx e x f x C dx x p +?=?，再将此代入()?

?=-dx x p e x C y )(，就可得到通解公式为()()()()dx e x f e Ce y dx x p dx x p dx x p ??+?=?

--。 结论：线性非齐次方程的通解，等于它所对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。

3.形如()()n y x f y x p dx

dy =+的方程，我们就称之为伯努利方程。伯努利方程也是一种非线性的一阶微分方程，但是经过适当的变量变换之后，它也是可以化成一阶线性方程。

五．全微分方程及积分因子

1.如果微分形式的一阶方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 的左端恰好是一个二元函数）（y x ,U 的全微分，即dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=，则称0),(),(=+dy y x N dx y x M 是全微分方程或恰当微分方程，而函数）（y x ,U 称为微分式dy y x N dx y x M y x dU ),(),(),(+=的原函数。

2.假如存在连续可微函数()0≠x u ，使方程()()()()0,,,,=+dy y x N y x dx y x M y x μμ成为全微分方程，我们就把()y x ,μ称为方程的一个积分因子。

六．一阶隐式微分方程

1.解隐式方程()0',,=y y x F ，该方程也称为导数未解出的一阶方程。若要解决方程中的问题分为两种情况考虑：

a.假如能从方程中把y '解出，就得到一个或几个显式方程

),,2,1(),(n i y x f y i ==' 如果能用初等积分法求出这些显式方程的解，

那么就得到方程()0',,=y y x F 的解。

b.如果在()0',,=y y x F 中不能解出y '，()0',,=y y x F 则转化为),(y x y '=，0),(0),(),(='=''=y x F y x F y x f x

七．几种可降阶的高阶方程

1.第一种可降阶的高阶方程：()()()()

)1(0,,,,1≥=+k y y y x F n k k ； 2.第二种可降阶的高阶方程：()()0,,',=n y y y F ；

3.第三种可降阶的高阶方程：()

()0

,,',,1=-n y y y x dx d φ 称为恰当导数方程。

八．一阶微分方程应用举例 三个步骤：

1.根据函数及其变化率之间的关系确定函数

2.根据建模目的和问题分析作出简化假设

3.按照内在规律或用类比法建立微分方程 应用举例：

1.等角轨线

2.动力学问题

3.电学问题

4.光学问题

5.流体混合问题