2013-2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

北 京 交 通 大 学

2013~2014学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）

参 考 答 案

一．（本题满分8分）

某中学学生期末考试中数学不及格的为%11，语文不及格的为%7，两门课程都不及格的为%2．⑴ 已知一学生数学考试不及格，求他语文考试也不及格的概率（4分）；⑵ 已知一学生语文考试不及格，求他数学考试及格的概率（4分）． 解：

设=A “某学生数学考试不及格”，=B “某学生语文考试不及格”． 由题设，()11.0=A P ，()07.0=B P ，()02.0=AB P ． ⑴ 所求概率为()()()11

2

11.002.0===

A P A

B P A B P ． ⑵ 所求概率为()()()()()()7

5

07.002.007.0=-=-==

B P AB P B P B P B P B A P ．

二．（本题满分8分）

两台车床加工同样的零件，第一台车床加工出现不合格品的概率为0.03，第二台车床加工出现不合格品的概率为0.05；把两台车床加工的零件放在一起，已知第一台车床加工的零件数比第二台车床加工的零件多一倍．现从这两台车床加工的零件中随机地取出一件，发现是不合格品，求这个零件是第二台车床加工的概率． 解：

设=A “任取一个零件是不合格品”，=B “任取一个零件是第一台车床加工的”． 所求概率为()A B P ．由Bayes 公式得 ()()()

()()()()

B A P B P B A P B P B A P B P A B P +=

11503.03

2

05.03105

.031

=?+??=．

三．（本题满分8分）

设随机变量X 的密度函数为

()?????

≤≤=其它0

02

cos πx x C x f ． ⑴ 求常数C （3分）；⑵ 现对X 独立重复地观察4次，用Y 表示观察值大于3

π

的次数，求()2Y E （5分）． 解：

⑴ 由密度函数的性质，

()1=?+∞

∞

-dx x f ，得

()C x

C dx x C dx x f 22sin

22cos 10

====??+∞

∞-π

π

， 因此，2

1=

C ． ⑵ 由于()21

2112sin 2cos 2

133

3

3

=-====

??? ?

?

>??

+∞

π

ππ

ππ

πx dx x dx x f X P ．

所以，随机变量Y 的分布列为

()k

k C k Y P ??

?

???==214

， ()4,3,2,1,0=k ．

所以 ()

()∑==?=4

22

k k Y P k Y E

516

1

4164316621641161022222=?+?+?+?+?

=． 四．（本题满分8分） 在正方形(){

}1,

1,≤≤=q p q p D ：中任取一点()q p ,，求使得方程02=++q px x 有两个

实根的概率． 解：

设=A “方程02=++q px x 有两个实根”，所求概率为()A P ．

设所取的两个数分别为p 与q ，则有11<<-p ，11<<-q ． 因此该试验的样本空间与二维平面点集

(){}11,11,<<-<<-=q p q p D ：

中的点一一对应．

随机事件A 与二维平面点集(){}

04,2≥-=q p q p D A ：，即与点集

()?

?????≥=q p q p D A 4,2

：

中的点一一对应．

所以， ()2413

124122141

1

31

12=???? ?

?+=?????

??+==

--?p p dp p D D A P A 的面积的面积． 五．（本题满分8分）

一个工厂生产某种产品的寿命X （单位：年）的密度函数为

()?????≤>=-0

00414x x e

x f x

． 该工厂规定：该产品在售出的一年内可予以调换．若工厂售出一个该产品，赢利100元，而调换一个该产品，需花费300元．试求工厂售出一个该产品净赢利的数学期望． 解：

设Y 为工厂售出一个产品的净赢利，则

??

?<-≥=1

3001100X X Y 所以，{}{}300300100100-=?-=?=Y P Y P EY

{}{}13001100

=X P X P ??-

+∞-?-?=104144130041100dx e dx e x

x

5203.111300100414

1=???

? ??-?-?=--e e

六．（本题满分9分）

设G 是由X 轴、Y 轴及直线022=-+y x 所围成的三角形区域，二维随机变量()Y X ,在G 内服从均匀分布．求X 与Y 的相关系数Y

X ,ρ．

解：

由于区域G 的面积为1，因此()Y X ,的联合密度函数为

()()()??

??∈=G

y x G

y x y x f ,0

,1,

． 当10<

X -==

=

??-+∞

∞

-12,

220

，

所以，()()???<<-=其它01

012x x x f X ．

当20<

1,2

10

y dy dx y x f y f y

Y -

==

=

??

-

∞

+∞

-， 所以，()?????<<-

=其它

202

1y y y f Y ．

()()()31

31212121

=??? ??-=-?==??+∞

∞-dx x x dx x xf X E X ， ()()32212

=???

??-?==

??+∞

∞-dy y y dy y yf Y E Y ， ()()()6

1

41312121

2

2

2

=??? ??-=-?==??+∞

∞

-dx x x dx x f x X

E X

，

()()32212

2

22

=??

?

??-?==

??+∞∞

-dy y y

dy y f y Y E Y

，

所以，()()

()()18

13161var 2

2

2=??? ??-=-=X E X E X ，

()()

()()

9

2

3232v a r 2

2

2=??? ??-=-=Y E Y E Y ，

()()????

?--+∞

∞

-+∞∞-?

===

1

220

2

220102,

dx y x xydy dx dxdy y x xyf XY E x

x ，

()()

61

213241222121

231

02

=??? ??+-=+-=-=??dx x x x dx x x ，

所以，()()()()18

1323161,cov -=?-=

-=Y E X E XY E Y X ． ()()()219

2

181181

var var ,cov ,

-=-

=

=Y X Y X Y

X ρ． 七．（本题满分9分）

某餐厅每天接待400位顾客，假设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间()100

,20上的均匀分布，并且每位顾客的消费额是相互独立的．试求：⑴ 该餐厅每天的平均营业额（3分）；⑵ 用中心极限定理计算，该餐厅每天的营业额在其平均营业额的760±元之间的概率（6分）．（附：标准正态分布的分布函数

()x Φ的某些取值：

解：

⑴ 设i X 表示第i 位顾客的消费额，()400,,2,1 =i ．则有

40021,,,X X X 相互独立，()100,20~U X i ，()400,,2,1 =i ．

所以，()60=i X E ，()3

1600

1280var 2==i X ． 再设X 表示餐厅每天的营业额，则∑==400

1

i i X X ．

所以，()()2400060400400

14001=?==??? ??=∑∑==i i i i X E X E X E （元）．

⑵ 由独立同分布场合下的中心极限定理，有

{}???

????

????

????≤

?-≤?-=≤-≤-31600400

76031600400240003160040076076024000760X P X P ()901.019505.021645.123160040076031600400760=-?=-Φ=?

?

??

?

?

???-Φ-?????? ???Φ≈． 八．（本题满分8分）

设总体X 服从参数为p 的几何分布，其分布律为

{}1-==k pq k X P () ,3,2,1=k ．

其中10<

试求参数p 的极大似然估计量． 解：

似然函数为(){}{}{}{}n n n n x X P x X P x X P x X x X x X P p L ======== 22112211,,, ()

()

()

()n

x n

x x x n

k k n p p p p p p p p ----∑-=--?-==1

2111111

1

1

所以，()()p n x p n p L n k k -??

?

??-+=∑=1ln ln ln 1．

所以，()01ln 1=---=∑=p

n

x p n p L dp d n

k k ，解方程，得x p 1=．因此p 的极大似然估计量为ξ1?=p ． 九．（本题满分8分）

设总体X 存在二阶矩，记()μ=X E ，()2

v a r σ=X ，()n X X X ,,,

21 是从该总体中抽取的一

个样本，X 是其样本均值．求()X E （4分）及()

X D （4分）． 解：

()()μμμ=?===??? ??=∑∑∑===n n n X E n X n E X E n i n

i i n i i 111111

1，

()()n n n n X n X n X n i n i i n i i 22

212212111v a r 11v a r v a r σσσ=

?===??

? ??=∑∑∑===．

十．（本题满分9分）

两台相同型号的自动记录仪，每台无故障工作的时间分别为X 和Y ，假设X 与Y 相互独立，都服从参数为5=λ的指数分布，其密度函数为

()??

?≤>=-0

55x x e x f x

X ． 现首先开动其中一台，当其损坏停用时另一台自动开动，直至第二台记录仪损坏为止．令：T ：从开始到第二台记录仪损坏时记录仪的总共工作时间，试求随机变量T 的概率密度函数． 解：

X 的密度函数为()??

?≤>=-000

55x x e x f x

X ， Y 的密度函数为()??

?≤>=-0

55y y e y f y

Y 由题意，知 Y X T +=，设T 的密度函数为()t f T ，则 ()()()()??

+∞

-+∞

∞

--=-=

55dx x t f e dx x t f x f t f Y x Y X T

作变换 x t u -=，则 dx du -=，

当0=x 时，t u = ；当+∞→x 时，-∞→u ．代入上式，得 ()()

()()??∞

---∞

--=-=t

Y u t

t Y u t T du u f e e

du u f e

t f 55555

当0≤t 时，由()0=y f Y ，知()0=t f T ； 当0>t 时， ()t t u u t

T te du e e e

t f 55552555-∞

---=?=?

综上所述，可知随机变量T 的密度函数为 ()??

?≤>=-0

255t t te t f t

T ． 十一．（本题满分9分）

设总体X 服从指数分布，其概率密度函数为()???

??≤>=-0

01x x e

x f x

θθ，()n

X X X ,,,21 是取自

该总体中的一个样本．⑴ 求出统计量()i n i X X ≤≤=11min 的密度函数()()x f 1，并指出该分布是什么分布？⑵ 求

常数a ，使得i n

i X a T ≤≤=1min 为θ的无偏估计．

解：

① 由于总体X 的密度函数为()???

??≤>=-0

01x x e

x f x

θθ，因此其分布函数为 ()()?????>-≤==

-∞-?0

100x e

x dt t f x F x x

θ ．

所以()i n

i X X ≤≤=11min 的密度函数为

()()()()()θθθθθnx

x n x n e n e e n x f x F n x f -----=????

? ??=-=111

1

1，()0>x ． 即随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n

θ

的指数分布．

② 由于随机变量()i n i X X ≤≤=11min 服从参数为n θ的指数分布，所以()()()

n

X E X E i n i θ

==≤≤11min ．

所以，若使()()()

θθ

=?==≤≤n

a X aE X E i n i 11min ，只需取n a =即可．

即若取n a =，即i n

i X n T ≤≤=1min ，则T 是未知参数θ的无偏估计量．

十二．（本题满分8分）

设随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布()2,σμN

．令aY X U +=，bY X V -=（a

与b 都是常数），试给出随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件． 解：

由于随机变量X 与Y 相互独立，而且都服从正态分布，又aY X U +=，bY X V -=，所以U 与V 也都是服从正态分布的随机变量．

所以，U 与V 相互独立的充分必要条件是()0,cov =V U ． 而 ()()bY X aY X V U -+=,cov ,cov

()()()()Y Y ab X Y a Y X b X X ,cov ,cov ,cov ,cov -+-= ()()()21σab Y abD X D -=-=．

因此，随机变量U 与V 相互独立的充分必要条件是01=-ab ．