自动控制理论 (刘丁 著) 课后习题二~八答案

习题2

2-1. （1）线性，时变，动态

（2）非线性，时变，动态 （3）非线性，定常，动态 （4）非线性，定常，静态 （5）非线性，定常，动态 （6）非线性，定常，静态 2-2. （a ）1

212)(st e s

s s F -+=

（b ）2

1

1)1(1)(s

st e s t s F -+-=

（c ）2

12

1)1)(1()(1s

t e s t s F s t --+= 2-3.

1212221332121(1)(),lim(1),lim(3)13432432

1111()[],2132s s t t

c c s s F s c s c s s s s s s s F s f t e e s s →-→---++=

+=+==+=

++++++∴=+=+++得到：（）（）

()()1023(2)()1+cos(t)-5*sin(t)111

(3)sin cos 222119(4)()8181

(5)()12131(6)()()32412

t t t t

t t t f t f t e t e t t f t e e

f t t e f t t e e -------==--+=-==+=

-++

(4) syms s F

F=ilaplace(1/(s^3+21*s^2+120*s+100))

运行结果：F =1/81*exp(-t)-1/9*t*exp(-10*t)-1/81*exp(-10*t) (5) syms s F

F=ilaplace((s^2+2*s+3)/(s+1)^3) 运行结果：F =t^2*exp(-t)+exp(-t) (6) F=ilaplace((s+2)/(s*(s+3)*(s+1)^2))

运行结果：F = 2/3+1/12*exp(-3*t)-1/2*t*exp(-t)-3/4*exp(-t)

2-4.

(1) ()1()1()t

T

x t e r t t -=-= ()(1)t

T x t t T e r t

-

=--=

(2) 2()t

x t - (3) ()1(1)t x t t e -=-+

2-5.

（a ）2

1212=

++c

r

U R U R R R R s

（b ）1221212+=

++c

r

U R R cs R U R R R R cs

2-6 （a ）211

c

r

U R Cs U R Cs

+=-

，实际上是一个PI 控制器。

（b ）342432

13

c

r

U z z z z z z U z z ++=-

2-7 (a)s f k s f k s f k s f k s f k s Y s Y s G 112211221112))(()

)(()()()(+++++==

(b)s

C R s C R s C R s C R s C R s U s U s G 212211221110)1)(1()

1)(1()()()(+++++==

2-8 系统的传递函数为()2

32

32

s G s s s +=++，脉冲响应为()24t t c t e e --=-

2-9 a ）

102110)()(2++=s s s X s Y b) 12)(+=s s H c) ()()

2110

+=s s s G 2-10 a) 1

1

21G G G ++

2-11 (a) ()()0212

12

1C s G G G G R s G G +=+ (b)

()()22C s G

R s G

=

+

2-12. ()()()()12314

12123242

12314

1231412123242121232421231412123242

11111

11k k k k G G G G G G G G H G G H G H C s G G G G G G R s G G G G G G G G H G G H G H E s G G H G G H G H R s G G G G G G G G H G G H G H +=

++++==

+++++++++==

++++++ 2-13

()()()()1132331223

x k r t c t x x r t Tx x x x c t k x βτ=--??

??=+=+=

式中()r t 是输入量;()c t 是输出量 ; 123,,x x x 为中间变量； 12,,,k k τβ 为常数. 画出系统的动态结构图，并求传递函数()()C s R s .

()

122

112

11

11

2212

2

12()()1()

τβτβ+++++=---+=+++k k sK s Ts Ts k k k s Ts s Ts

C s R s K s K K Ts s K K

2-14

()3

224334

32432422

34

3211G G H G G H G G G G G G G H G H G G G s G ++=

???? ??++=

内解：内环的传函：

1

43213224334

3211

1111H G G G G G G H G G H G G G G H G G G G G B +++=

+=

内内

2-15．

答案：()122

121211G G G C s R N G G H G G H

=

-++

2-16

答案：（1）12334

113234311321233

1G G G G G T G H G H G G H G H G H G G G H +=

+-+-+

（2）123456

232453341

1G G G G G G T G G H G G H G G H =

++-

习题2-13

（3）123

121232123

1G G G T G G H G G H G G G =

-++

（4）()123451645127414127264522345241272

11G G G G G G G G G G G G G H T G H G G H G G G H G G G G H G H G G H +++=

+++++

2-17. 1）21221a s a s b s b R Y +++= 2）3

22133221a s a s a s b s b s b R Y

+++++=

2-18． 1）先求C(s)/R(s) 令n(t)=0，则

()()

123

123

21231231()

()

11K K K s Ts K K K C s K K K R s Ts s K K K s Ts +==+++

+ 求C(s)/N(s) 此时可令r(t)=0，则

()()

34123

[]011()312042()1231123

1K K K K K G K K K G K s Ts s Ts C s K K K N s Ts s K K K s Ts -+-++==++++ 2）要想消除干扰对输出的影响，则C(s)/N(s)=0 即2

140)(K K s

K s G =

2-19 答案：状态空间表达式为

[]11

22121110001r

c R x x L L u L x

x C

x y u x ??--????????????=+?????????????????

?????

==??

??

系统的传递函数为 12

()()()()1

r Y s G s s U s LCs RCs -=

=-+++1

C I A B D= 2-20.答案 G2=tf(2,[1 1 0]); H2=tf([1 2],[1 3]); G1=tf(10,[1 1]);

H1=tf([5 0],[1 6 8]);

G=feedback(G2,H2,-1)

Gb=feedback(series(G1,G),H1)

Transfer function:

2 s + 6

---------------------

s^3 + 4 s^2 + 5 s + 4

Transfer function:

20 s^3 + 180 s^2 + 520 s + 480

------------------------------------------------------

s^6 + 11 s^5 + 47 s^4 + 103 s^3 + 230 s^2 + 396 s + 32

2-21. 答案：

G1=tf([2 6 5],[1 4 5 2]);

G2=tf([1 4 1],[1 9 8 0]);

z=[-3 -7]';

p=[-1 -4 -6]';

k=5;

G3=zpk(z,p,k);

G=series(series(G1,G2),G3) %G=G1*G2*G3

Gtf=tf(G)

运行结果：

Zero/pole/gain:

10 (s+3.732) (s+3) (s+7) (s+0.2679) (s^2 + 3s + 2.5)

----------------------------------------------------------------------

s (s+8) (s+6) (s+4) (s+2) (s+1)^4

Transfer function:

10 s^6 + 170 s^5 + 1065 s^4 + 3150 s^3 + 4580 s^2 + 2980 s + 525

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

s^9 + 24 s^8 + 226 s^7 + 1084 s^6 + 2905 s^5 + 4516 s^4 + 4044 s^3 + 1936 s^2 + 384 s

习题3

1. 答案：t K >=0.3

2. 此温度计的时间常数T= t/4=15秒

3. 答案： ()1

0.11

s s φ=+

4. 答案：b 变大系统阶跃响应的延迟时间、上升时间和调节时间都加长。

5.

)

1)(2(22++-=s s s X Y 6. 略

7. 答案： (1)2

600

()70600

G s s s =

++,（2）24.5n w =，ζ=1.43 8. 答案： 1.24p t =,%9.5%σ= 1.58(5%)s t =?=或 2.11(2%)s t =?=

9. 1）开环零点-2.5 开环极点-0.5

2）闭环零点-2.5 闭环极点-0.4500 ± 0.8930i 3）1=n ω ζ=0.45 4）38.1=r t 96.7=s t %6.22%=ο

10. 答案：H K =0.9,0K =10 11. 答案：47,0.1K τ≈≈ 12. 答案：3 13. 答案：

（1）不稳定，右半S 平面有2个根； （2）不稳定，右半S 平面有2个根； （3）不稳定，右半S 平面有1个根；

14. 略

15. 答案：系统的参数(),K ξ的稳定域为0020K ξξ><<，。 16. 答案：

51499

K << 17. 答案：（1）由()D s 表达式可见，当0β=时系统结构不稳定；当0β>时系统总是稳

定的。

（2

）由ξ=可见2%3.57s n t K ξσβξωβ?↑→↓

?↑??==↓

??

（3） 1

ss ss a a e e K K β

β=

=∴↑→↑。。

18. 答案：a T 、M T 与K 均大于0且1

0z

K T <<

时闭环系统是稳定的。 19. 答案：1

2

1ssn K e K =-+

20. 证明：

是I 型系统；

21.B K K v =

K

B

e ss = 与K 成反比，与B 成正比 22.

G=tf(80,[1 2 0]); GB=feedback(G,1); t=0:0.01:1; [y,t]=step(GB); e=1-y;

m=length(t);

subplot(2,1,1),plot(t,y,'k',t,ones(m,1),'k-.') %draw unit step response curve title('unit step response','FontSize',8)

xlabel('Time(sec.)','Position',[5.5 -0.21],'FontSize',8) ylabel('Amplitude','FontSize',8) axis([0 6 0 2])

subplot(2,1,2), plot(t,e,'k',t,zeros(m,1),'k-.') %draw error response curve title('error response','FontSize',8)

xlabel('Time(sec.)','Position',[5.5 -1.21],'FontSize',8) ylabel('Amplitude','FontSize',8)

()

()1()

k B k G s s G s φ=

+()()1()B k B s G s s φφ=

-2()()Ks b G s s a k s

+=

+-0lim ()V s b

K sG s a K →==

-1ss v a k e K b

-=

=

unit step response

Time(sec.)A m p l i t u d e

error response

Time(sec.)A m p l i t u d e

23 clear

num=1;

den=conv([0.5 1 0],[4 1]); rangek=[0.2,0.8,1.2]; t=linspace(1,60,300)'; for j=1:3

s1=tf(num*rangek(j),den); sys=feedback(s1,1); y(:,j)=step(sys,t); end

plot(t,y(:,1),'k',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b')

title('unit step response under different k','FontSize',8) xlabel('Time(sec.)','Position',[50 -1.8],'FontSize',8) ylabel('Amplitude','FontSize',8) axis([0 60 -1.5 3.5])

gtext('k=0.2'),gtext('k=0.8'),gtext('k=1.2')

Time(sec.)

A m p l i t u d e

求当k =0.8时系统的性能指标 clear num=1;

den=conv([0.5 1 0],[4 1]); k=0.8;

num=num*k;

s1=tf(num,den);

sys=feedback(s1,1);

t=0:0.005:50;

y=step(sys,t);

r=1;

while y(r)<1.0001

r=r+1;

end

rise_time=(r-1)*0.005

[ymax,tp]=max(y);

peak_time=(tp-1)*0.005

max_overshoot=ymax-1

s=length(t);

while y(s)>0.98 & y(s)<1.02

s=s-1;

end

settling_time=(s+1)*0.005

运行结果：

rise_time =

4.5350

peak_time =

7.7950

max_overshoot =

0.5710

settling_time =

46.8550

24 num=[6.3223 18 12.811]

den=[1 6 11.3223 18 12.811]

step(num,den)

25 num=1

for kesi=0:0.2:1

sys=tf(num,[1 2*kesi 1]);

step(sys)

hold on

end

习题4

1．

(a) (b) (c)

(d) (e) (f) 2．(1)

(2)证明：s j σ

ω=+代入1＋G(s)H(s)=0

*()()0s s b k s a +++=

*()(())(())0jw jw b k jw a σσσ++++++=

*2()()0k a b σσσω+++-=

*20k b a ++=

消去*

k 得：2

2

2

()a a ab σω++=-

所以根轨迹是以(-a,0) 3．答案： (1)

（2）

（3）

（4）

4．答案：（1）分离点： 3.854d =-

渐近线 25,a a πσ?=-=±，* 1.37K =，闭环系统稳定的*

K 值的范围是

*04K <<。

（2）()()()

()()

()

()()()()

()()

2

3

2

2

0.4150.4150.41592618

18185221s s s s s s s s s s s s

s s s s φ-+-+-+=

=

=

+++++++++-

提示：()*

111004D s K =-==1当s 时，由特征方程可得. 5．答案：

*K 的范围（0，2）

6．

7．答案：负反馈：

正反馈：

8．答案：

系统无超调的k 值范围(0,0.68][23.34,)?∞ 9. （1）

（2）根据K 值可计算出系统的闭环极点为-2和-5。

123102, 5.1

s s K s s s -=

=?=-=-+

10．

11．答案：⑴实轴根轨迹：[]3,2--，[]1,0-；

渐近线：1a σ=-，2

a π

?=±

；

分离点：0.53d =-。

题4－11图

⑵主导极点：1,20.7 1.2s j =-± ()0.5ξ=

23K = 53

K *=。

12．答案：*

716K <<

渐近线 31,,a a πσ?π=-=±，

与虚轴的交点1,2316;0,7K K ωω====，

分离点：1d =-，所以闭环系统稳定的开环增益范围是*

716K <<。 13. (1)

1189.5p οθ=,分离点3,3s s =-=(舍)

(2)509

τ≤<

14．答案：与虚轴的交点*1;K ω== *K >1系统稳定；*K ξ↑→↑平稳性变好；

当*

K →∝时，0.707ξ→，()c t 振荡性减小，快速性得以改善。 15．答案： （1）3,4

4

a π

π

?=±

±

; 分离点124; 1.25S S =-=-(舍)

（2）无论*K 为何值，原闭环系统恒不稳定。

（3）()H s 改变后，当*

022.75K <<时，闭环系统稳定，所以()H s 改变可改善系统的

稳定性。 16．答案：

（1） 绘制o K 由0→∞变化的根轨迹；

（2） 确定系统呈阻尼振荡瞬态响应的o K 值范围；

答：分离点d=-0.85处的o K 值为

0240.85 1.15 3.15 3.08

K d d d =++=??=

与虚轴的交点：

()()()(

)3

2

2

3

680

604880D jw j j jw k k k ωωωωωω=+?+?+=??-==±??????=-=?

???

所以，系统呈阻尼振荡瞬态响应的o K 值范围:

o ；

（3） 求系统产生持续等幅振荡时的o K 值和振荡频率；

答：系统产生持续等幅振荡时的o K ＝48,振荡频率ω=± 2.282弧度/秒；

（4） 产生重根和纯虚根时的o K 值。

答：产生重根时的o K 值为3.08，产生纯虚根时的o K 值为48。 （5） 求主导复数极点具有阻尼比为0.5时的o K 值； 答：设复数极点为()0s x x =->

则：

111120180246023

0.667 1.155o o o

tg tg x x tg tg x s j ----??-++=- ? ?--???+=?=

∴=-+

此时，04224

248.333327

K d d d =++=?

=≈； 所以，主导复数极点具有阻尼比为0.5时的o K 值为8.3。

17． k=1;

den=conv([1 0],conv([1/3 1],[1.2 1 1]));

rlocus(k,den)

18 num=[1 0.2] den=[1 3.6 0 0] rlocus(num,den)

k=2时的三个根： -2.9724 -0.3138 + 0.1900i -0.3138 - 0.1900i

习题五答案

1．答案：()()()?--?+=

3.56cos 101

183.24sin 1019t t t c ss 2．答案：244.1=n ω，22.0=ζ 3．答案：用MATLAB 绘制Bode 图：

(1)

(2)

(3)

4．答案： a) ()10100

+=

s s G ; b) ()50

5+=s s

s G ;

c) ()()

1005000

+=

s s s G

d) ()()()

120101.0100

++=

s s s s G

e) ()17493826.0274910

2

+?

?+??

?

??=

s s s G