2015全国1理数试卷含答案

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试题类型：A

2015年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1） 设复数z 满足

1+z

1z

-＝i ，则|z |＝ (A )1 (B )2 (C )3 (D )2 (2)sin 20°cos 10°－con 160°sin 10°＝ (A )32-

(B )32 (C )12- (D )12

(3)设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为

(A )?n ∈N ， 2n >2n (B )? n ∈N ， 2n ≤2n (C )?n ∈N ， 2n ≤2n (D )? n ∈N ， 2n ＝2n

(4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中

的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 (A )0.648 (B )0.432 (C )0.36

(D )0.312

(5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：

2

212

x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12MF MF ?＜0，则y 0的取值范围是

(A )(－

33，3

3

) (B )(－

36，3

6

) (C )(223-

，223) (D )(233-，23

3

) (6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

(A )14斛 (B )22斛 (C )36斛 (D )66斛

(7)设D 为错误！未找到引用源。ABC 所在平面内一点3BC CD =，则

(A ) 1433AD AB AC =-

+ (B ) 1433

AD AB AC =- (C ) 4133AD AB AC =

+ (D ) 4133

AD AB AC =-

(8)函数f (x )＝错误！未找到引用源。的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为 (A )(错误！未找到引用源。)，k 错误！未找到引用源。 (b )(错误！未找到引用源。)，k 错误！未找到引用源。

(C )(错误！未找到引用源。)，k 错误！未找到引用源。 (D )(错误！未找到引用源。)，

k 错误！未找到引用源。

(9)执行右面的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝ (A )5 (B )6 (C )7 (D )8

（10）2

5

()x x y ++的展开式中，5

2

x y 的系数为

(A )10 (B )20 (C )30 (D )60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体， （12）该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的 （13）表面积为16 ＋ 20π，则r ＝ (A )1 (B )2 (C )4 (D )8

12.设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a 1，若存在唯一的 整数x 0，使得f (x 0)0，则a 的取值范围是( ) A .[32e -

，1) B . [33,24e -) C . [33,24e ) D . [3

2e

，1)

2r

r

正视图俯视图

r

2

r

第II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题未选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)若函数f (x )＝xln (x ＋2a x +)为偶函数，则a ＝

(14)一个圆经过椭圆错误！未找到引用源。的三个顶点，且圆心在x 轴上，则该圆的标准方程为 .

(15)若x ，y 满足约束条件10

040

x x y x y -≥??

-≤??+-≤?

，则y x 的最大值为 .

(16)在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是 . 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)

S n 为数列{a n }的前n 项和.已知a n >0，错误！未找到引用源。 (Ⅰ)求{a n }的通项公式：

(Ⅱ)设错误！未找到引用源。 ，求数列错误！未找到引用源。}的前n 项和

(18)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°， E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ， DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .

(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC

(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值

(19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年

A B

C

F E

D

销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值

.

x

y

w

8

i=1

∑

(x i －x )2

8

i=1

∑

(w i －w )2

8

i=1

∑

(x i －x )(y i －

y )

8

i=1

∑

(w i －

w )(y i －y )

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6

1469

108.8

表中w i ＝i x ， ，w ＝

1

8

8

i=1

∑

i w

(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回

归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i ）

年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ii ） 年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u βαβ==--=

=--∑∑

年宣传费(千元)

年销售量/t

(20)(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y ＝2

4

x 与直线l:y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，

(Ⅰ)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.

(21)(本小题满分12分)

已知函数f (x )＝31

,()ln 4

x ax g x x ++=-

(Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；

(Ⅱ)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论

h (x )零点的个数

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4－1：几何证明选讲

如图，AB 是☉O 的直径，AC 是☉O 的切线，BC 交☉O 于点E

（I ） 若D 为AC 的中点，证明：DE 是☉O 的切线； （II ） 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小.

C

D A

E

B

O

(23)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中.直线1C :x ＝－2，圆2C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （I ） 求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4

R π

θρ=

∈，

设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积

(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

已知函数错误！未找到引用源。＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.

(Ⅰ)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；

(Ⅱ)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围

2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题A 答案 一、 选择题

（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B （7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D 二、填空题

（13）1 （14） 22325

()24x y ±+= （15）3

（16）

二、 解答题

（17）解：

（I ）由2243n n n a a S +=+，可知2

11124 3.n n n a a S ++++=+

可得221112()4n n n n a a a a a +++-+-= 即

2211112()()()n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-

由于0n a >可得1 2.n n a a +-=

又2111243a a a +=+，解得111()3a a =-=舍去，

所以{}n a 是首相为3，公差为2的等差数列，通项公式为2 1.n a n =+ （II ）由21n a n =+

111111

().(21)(23)22123

n n b a a n n n n +=

==-++++ 设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则

12n n T b b b =++

+

1111111()()(

)()235572123.3(23)n n n n ??=

-+-++-??++??

=+

（18）解：

（I ）连结BD ，设BD

AC=G ，连结EG ，FG ，EF.

在菱形ABCD 中不妨设GB=1.由∠ABC=120°，

可得AG=GC=3.由 BE ⊥平面ABCD, AB=BC 可知AE=EC. 又AE ⊥EC ，所以EG=3，且EG ⊥AC.在Rt ?EBG 中， 可得BE=2故DF=

2

2

.在Rt ?FDG 中，可得FG=62.

在直角梯形BDFE 中，由BD=2，BE=2，DF=

22

， 可得FE=32

2

.从而222,EG FG EF EG FG +=⊥所以 又,.AC

FG G EG AFC =⊥可得平面因为EG AEC ?平面

所以平面AEC AFC ⊥平面

（III ） 如图，以G 为坐标原点，分别以GB ，GC 的方向为x 轴，y 轴正方向，

GB 为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.

由（I ）可得2

(03,0),(102),(10),(03,0)2A E F C --，

，，，，，所以 2

(132),(13,

).

2AE CF ==-，，故3cos ,.3AE CF AE CF AE CF

?=

=-? 所以直线AE 与直线CF 所成直角的余弦值为

3

3

.

（19）解：

（I ）由散点图可以判断，y c d x =+适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型。 ……2分 （II ）令w x =

，先建立y 关于w 的线性回归方程。由于

1

2

1

()()

108.8

?681.6

()

n

i

i

i n

i

i w w y y d

w w ==--==

=-∑∑ ??56368 6.8100.6c

y dw =-=-?=。 所以y 关于w 的线性回归方程为?100.668

y w =+，因此y 关于x 的回归方程为?100.668y

x =+。 ……6分 （III ）（i ）由（II ）知，当x=49时，年销售量y 的预报值

?100.66849576.6y

=+= 年利润z 的预报值

?576.60.24966.32z

=?-=。 ……9分 （ii ）根据（II ）的结果知，年利润z 的预报值

?0.2(100.668)13.620.12z

x x x x =+-=-++ 所以当13.6

6.82

x =

=，即x=46.24时，?z

取得最大值 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大。 ……12分

（20）解：

（I ）有题设可得(2,),(2,),M a a N a a M

a -或（-2,a ）.又2

=y 224

x x y x a '==，故在 处的导数值为

a ，C 在点(2,)a a 出

的切线方程为a (2

),

y a x a a x

y a -=---=即 2

24

x y x a ==-在，即0ax y a -+=.

股所求切线方程为0a 0ax y a x y a --=++=和 （III ） 存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM ，PN 的斜率分别为12,k k

2440.y kx a C x kx a =+--=代入的方程得

故12124,4.x x k x x a +==-

从而2440.kx a C kx a +--=代入的方程得x

12124,4.x x k x x a +==-故

12112

121212

b 22()()y y b

k k x x kx x a b x x x x --+=

++-+从而

()

k a b a

+=

当b=-a 时，有

120,=k k PM +=∠∠则直线的倾角与直线PN 的倾角互补，故OPM OPN ，所以点P(0,-a)符合题意

（21）解：

（I ）设曲线y=f(x)与x 轴相切于点000300

200(,0)()0,()01043013

,24

x f x f x x ax x a a ==??

++=????

??+=??

=-

则即

解得x

因此，当3

x y ()4

a f x =-=时，轴为曲线的切线

（II ）当

{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=min 故在无零点

{}55

x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44

a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故

是{}5

()a ,(1),(1)(1)0,1(4h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f(1)<0,h(1)=min 故不是的零点

x (0,1)g ()10.f x nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数 2i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f(x)在（0,1）单调

15

f (0),(1),f a f 44f a =+≤≥所以当a -3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点

a a

()30,f ()0),133ii a x -<<--若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中

3

21

()f ()3334

a a a a x f x =--=-+当时，取得最小值，最小值为

3

()0.0,()343

f a f ()(0,1)34

3153

()0,3,(0),(1)34444

a f a f x a x a f a f f a a ->-<<--<-<<-==+<<-

①若即在（0,1）无零点；

②若()=0,即=-则在有唯一零点

③若即由于

5

()f ()(0,1).4

f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3

综上，当

3535

a a<-()a a h()4444h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点

53

h().44

a x -

<<-当时，有三个零点

（22）解：

（I ）链接AE ，由已知得，AE BC ⊥AC AB ⊥

在Rt AEC ?中，由已知得，DE=DC 故DEC DCE ∠=∠

链接OE ，则∠OBE=∠OEB 又∠ACB+∠ABC=90°所以∠DEC+∠OEB=90° 故90o

OED ∠=，DE 是

O 得切线

（II ）设CE=1，AE=X ，由已知得23AB =，212BE x =- 由摄影定理可得，AE=CE.BE ，所以2212x x =-即4

2

120x x +-=

可得3x =

，所以60o ACB ∠=

（23）解：

（I ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=。 ……5分 （II ）将4

π

θ=

代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得122ρ=，

22ρ=。故122ρρ-=，即2MN =。

由于2C 的半径为1，所以2C MN ?的面积为1

2

。 ……10分

（24）解：

（I ）当1a =时，()1f x >化为12110x x +--->， 当1x ≤-时，不等式化为40x ->，无解； 当11x -<<时，不等式化为320x ->，解得

2

13

x <<； 当1x ≥时，不等式化为20x -+>，解得12x ≤<。 所以()1f x >的解集为223x

x ??

<

。 ……5分 （II ）由题设可得，()12,1,

312,1,12,,x a x f x x a x a x a x a --<-??

=+--≤≤??-++>?

所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21,03a A -??

???

，()21,0B a +，

(),1C a a +，ABC ?的面积为

()2

213

a +。 由题设得

()2

2163

a +>，故2a >。

2,+∞……10分所以a的取值范围为()