股票市场风险的多重分形分析

施锡铨　艾克凤

ABSTRACT

Financial risk is ascribed to stochastic walk of returns.We find that the returns of stock markets don’t follow stochastic walk,s o it is im perfect to measure the risk with variance.The paper analyzes the return series of China stock markets and America stock markets with MF-DFA method.We deduce a conclusion that both of the tw o markets have character of multifractal.The multifractal character of China stock markets is m ore salient than the latter.A quantitative measurement of risk is concluded when we combine the multifractal character with factual risk.

关键词:随机游动;多重分形;广义Hurst指数

一、引言

众所周知,证券投资历来存在风险,尤其中国的证券

市场,,指数、股价起伏跌宕,令人有“高处不

胜寒”感觉。通常人们认为我国的证券市场与国外一些证券市场相比,风险较大,并把此归因于我国在这方面起步较晚,成熟程度较低。

人们不禁要问,从现象上看,国外许多证券市场有时起伏的幅度超过我国的涨跌幅度,同样属于风险很大,

为什么会有人认为我国证券市场风险似乎更大呢?如果在风险的度量方面有定量的比较,也许对这个问题的回答有所帮助。

随着对资本市场混沌特性的研究[1],人们开始用分形来研究风险问题,例如文[2～4]。然而,随着对金融市场分形性质研究的进一步加深,又产生多重分形问题,例如,文[5～6]分别研究了我国股票市场和I BM股票是否具有多重分形特性。然而,多重分形分析虽然向人们展现了各个股市的混沌现象,使人们感觉到风险的存在。但是,人们关心的另一个问题是,从类似的多重分形分析,怎样判断哪一个风险较大一些,这就需要对多重分形分析进行定量的比较。

本文主要利用MF2DFA方法对中、美两国股票市场的多重分形特性进行研究与比较,结合二者的实际风险关系,探讨多重分形与风险的对应关系,本文的结论是,多重分形特征越显著,蕴含着风险越大。从而提出一种定量(或图形)度量风险的方法。

二、风险的度量

在对股票市场收益率分布进行正态性检验时,发现其明显地不拟合于正态分布的。

图1　纳斯达克和深圳成指的日收益率的频数分布,

1992年5月～2003年10月

注:图1中横坐标表示将时间序列数据所在区域分成20个子区间进行统计,收益率序列已经被正规化了,它们的

均值为0,标准差为1。

图1同时也显示了一个具有相等数目的高斯随机序列的频数分布。从图1可以看出,纳斯达克和深圳股票市场收益率分布均与正态分布有较显著差异。资本市场理论认为收益率遵循随机游动,收益率分布近似于正态或对数正态,风险用收益率的标准差度量。然而,只有在其背后的系统是随机的时候,标准差作为风险的度量才有意义。股票市场收益率的分布不呈现正态,所以我们关于风险的统计测度———标准差———亟需修正。那么,如何度量股票市场的风险昵?

赫斯特在20世纪40年代研究了有偏随机游走,提出

2004年第9期N o.9　2004

统计研究

Statistical R esearch

一种新的统计量即Hurst指数(H)。Mandelbrot在20世纪60年代再次对非随机时间序列作了全面研究,指出证券市场收益率是服从一族分形分布的。分形时间序列是以长期记忆过程为特征的。

描述一个时间序列如何填充其空间的分形维D,是所有对于生成这一时间序列的系统发生影响的因素的产物。分形维是由时间序列如何填充其空间决定的。Hurst 指数与时间序列分形维的关系:D=2-H。

一条线分形维为1,随机时间序列的分形维为115。

赫斯特指数有三个不同的类型:(1)H=015:(2)0≤H<015;(3)015

众所周知,H=015标志着一个序列是随机的。0≤H<015这一类型的系统是反持久的时间序列,它经常被称为“均值回复”,这种时间序列具有比随机序列更强的突变性,人们发现的反持久序列却寥寥无几。当015

赫斯特指数度量时间序列参差不齐的程度。资本市场H一般都比015大。对于两个股票都有大于015的H 值,则高H值意味着低风险,因为数据中的噪声较少。然而,高H值股票的突然变化的风险确实更高。

据此,李道叶、伍海华等人提出了用Hurst指数来衡量风险,[2]。宋学锋在文[3]中提出用“混沌度”度量系统的复杂性,其中分形维就是“混沌度”的组成部分。刘卫东等人也提出用分形维度量证券投资风险[4]。

随着对金融市场分形性质研究的进一步加深,又产生了下述问题:一个分形维数能否很好地描述市场的分形结构,价格增量的不同部分的相关性及其在时间轴上的分布是否一致。要回答这些问题必须对分形局部结构进行更细致的研究。如果分形的局部结构是均匀一致的,那么一个整体分形维数就能很好地描述它;如果分形结构是非均匀的,仅用一个分形维数只能描述收益率波动的宏观面貌,无法对其局部进行细致的刻画,必须用多重分形来对局部结构进行更细致的分析。K.M ATI A,Y. ASHKE NAZY等人对股票和商品的价格波动的多重分形特性进行了研究[5]。胡雪明、宋学锋等曾对我国股票市场进行了多重分形分析[6]。

所谓多重分形,是定义在分形结构上的由多个标度指数的分形测度组成的无限集合。它刻画了分布在子集上的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部标度性。从几何的观点看,组成分形集的若干个子集的标度、分形维数都不同。

实际上,对金融市场价格波动的描述大致可分为两种类型,一种是对价格波动进行直接的刻画,包括列维分布(le’vy)模型和G ARCH模型等;另一种是利用多重分形理论对市场价格波动进行间接的刻画。

下面,我们利用多重分形理论对股票市场价格波动进行分析。

三、多重分形消除趋势波动分析方法

文[7]提出多重分形消除趋势波动分析(Multifractal De2 trended Fluctuation Analysis,记MF2DFA)方法是验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形性的有效方法。对于给定长度为N的序列{x

},i=1,2,…,N,MF2DFA方法一般可分为如下五个步骤:

11求序列对于均值的累积离差{Y i}:

Y(i)=ρ

k=1

- x),i=1,2,…,N,

其中 x=1

ρN

i=1

x i

21分割序列{Y

}成等长小段。把序列{Y i}分成长为s的N s≡int(N/s)个互不重叠的小段。由于长度N经常不是s的整数倍,为了不丢弃尾部剩余部分,从序列尾部

重复这一分割过程,由此可得2N

小段。

31通过最小二乘法拟合每一小段v上的局部趋势函

数P

(i),v=1,2,…,2N s,这里P v(i)是第v小段上的拟合多项式函数,可以是线性的、二次或更高阶多项式(一般分别记为MF2DFA1,MF2DFA2,…)。消除每一小段的趋势,得残差平方和:

F2(s,v)≡

ρs

i=1

[Y((v-1)s+i)-P v(i)]2,v=1,

2,…,N s(1)

或F2(s,v)≡1

ρs

i=1

[Y(N-(v-N s)s+i)-P v(i)]2,v=N s+1,…,2N s

显然,F2(s,v)与s、v及MF2DFAm的阶数m有关,不同m消除趋势的能力不同。

41计算序列的q阶波动函数F q(s):

F q(s)=

2N s

v=1

[F2(s,v)]q2

(2)

其中,q为不等于0的实数。很显然,F

(s)与s、q有

关。这里,我们感兴趣的是对于给定的q,F

(s)是如何随

着时间标度s而变化的。由(1)、(2)式知,s增加,F

(s)也增加,因为段长s增加,拟合的残差平方和增大。因

此,对不同的s,重复步聚2、3、4,就可得到对应F

(s)。一个分形时间序列,对于大量的s,有如下关系:

F q(s)～s h(q)(3)

51给定阶数q,通过双对数图,分析波动函数F q(s)与时间标度s的关系。

一般地,(3)式中的标度指数h(q)与q有关。当h(q)与q无关时,称时间序列是单分形的。当h(q)与q 有关时,称时间序列是多重分形的。对于平稳时间序列,

43统计研究

h(2)就是Hurst指数H,因此,我们称h(q)为广义Hurst指数。

四、股票市场的多重分形分析

考虑到数据的代表性和可比性,本文选取1992年5月21日～2003年11月10日相同时间跨度的上证综合指数(Shanghai S tock Exchange C omposite Index,简记SSECI)和道琼斯工业指数(简记D ow)的日收盘指数为研究对象。这里上证综指和D ow指数的数据长度N分别为281l和2893。

首先把指数序列{P

}转化为收益率序列{r t}: r t=ln P t+1-ln P t,t=1,2,…,N-1

其中,P

t 是股票市场在第t个交易日的收盘指数

为股

票市场的日收益率。

考虑到要将股票市场收益率序列与高斯随机序列作比较,我们用Matlab软件的randn函数产生两个高斯随机序列,长度分别为2811和2893,依据MF-DFA方法分别计算其广义Hurst指数,将其平均值作为随机序列的广义Hurst指数。

当拟合区间s取10～500天时,下面给出MF2DFA1的结果。

表1道琼斯工业指数、上证综指收益率

和随机序列的广义H urst指数

阶数q

h(q)

SSECI D ow随机序列

阶数

h(q)

SSECI D ow随机序列

-100179660162440148921015253014568015022 -901788016161014862014637014329015053 -80177760160650148313014067014079015066 -70176470159520148074013633013838015059 -60174890158210147915013324013625015036 -50172930156720147876013103013448015

-4017058015507014798701294013305014954 -3016788015335014826801281501319014904 -2016492015160148699012716013095014852 -1016166014978014922100126360130170148

从表1可以看出,当q从负10变到正10,上证的h(q)从017966递减为012636,而道琼斯的h(q)从016244递减为013017,随机序列的h(q)则在014787～015066之间变动。

将表1中几组h(q)与q的关系画在同一图中,可以比较直观地看出他们的区别。

对上证、道琼斯及随机序列的h(q)与q的关系分别作线性回归分析,结果如下表:

根据表2的P2value值,不难得出结论:随机序列的h(q)与q无显著关系,而上证和道琼斯的h(q)与q有显著关系。

图2　道琼斯、上证和随机序列的h(q)

表2上证、道琼斯及随机序列的h(q)

与q的关系回归分析结果

C oeffici2

ents

标准误差t Stat P2value

Lower

95%

Upper

95%上证

随机

序列

道琼

斯

Intercept015383950100833364161169121E223　0152088　015559

X Variable1-01031825901001343-2316985105E215-010346-01029

Intercept014906450100206723713176144E23301486300149498 X Variable101000695060100033321086010105148-5E2060100139

Intercept014669450100262117811791112E23001461430147245 X Variable1-01017971601000422-4215511162E219-010188-010170 当h(q)与q无关时,称时间序列是单分形的。因为

在MF2DFA方法中,h(q)和q无关等价于F

(s)和q无关,即一个时间序列的每一小段消除趋势后的q阶波动(F2(s,v))qΠ2相同,说明时间序列的局部结构是均匀一致的,这样的分形时间序列当然是单分形的。h(q)仅给出这一相同的标度行为。

当h(q)与q有关时,称时间序列是多重分形的。这

一点很容易理解,在MF2DFA方法中,h(q)与q有关和F

(s)与q有关是等价的,即消除趋势后2N

,小段的q阶波动(F2(s,v))qΠ2大小不同,说明时间序列的局部结构是非均匀一致的,这样的分形时间序列是多重分形的。

所以,得出结论:上证综指和道琼斯工业指数收益率均存在较明显的多重分形特性。但是,从表2的C oeffi2 cients值看,上证的h(q)随q变化趋势更明显,所以,我们说上证的多重分形特征比道琼斯明显。其实,这一点从图2来看也是很显然的。

进一步分析MF2DFA方法还可得出结论:多重分形时

间序列的h(q)与q呈反向关系。因为,h(q)是Log(F

(s))相对于Log(s)的变化斜率。特别地,s=N时,F

q (N)与q无关。一方面,当sνN时,F q(s)

一方面,F

(s)

(s),其中q1<0,q2>0(因为,q>0时,大的F2(s,v)占F q(s)的主要部分,相反,q<0时,小的F2(s,v)占F q(s)的主要部分)。图3可以直观看出这一点。

施锡铨　艾克凤:股票市场风险的多重分形分析

图3　F q (s )与s 双对数图

表1显示,上证和道琼斯的h (q )与q 是呈反向关系,而随机序列则无此特性,这进一步说明,上证综指和道琼斯工业指数的收益率序列是多重分形的。理论上,随机序列的h (q )应为015,由于Matlab 产生的随机数本身就是伪随机数,所以,q 从负10变到正10,随机序列的

h (q )在014787～015066之间变动是合理的。

我们对深圳成份指数与纳斯达克指数作同样的分析,得出结果如下表3:表3

深圳成指、纳斯达克综指收益率

及随机序列的h (q )

h (q )

深圳

纳斯达克随机序列q

h (q )

深圳

纳斯达克随机序列

-100175050169150148921015626015332015022-901743401683401486201515501511015053-8017355016740148313014724014887015066-7017265016630148074014376014688015059-60171630165040147915014109014519015036-5017050163590147876013907014381015-40169240161990147987013752014267014954-3016782016030148268013629014172014904-2016610158610148699013531014092014852-1

016378

015697

014922

013451

014025

0148

图4直观显示了深圳成指、纳斯达克综指及随机序列的h (q )与q 的关系的区别。

图4　纳斯达克、深成指和随机序列的h (q )

对表3的数据作与表1类似分析,得出结论:深圳成

指和纳斯达克综指的收益率序列均具有较明显的多重分形性,但是,深圳成指的多重分形特征比纳斯达克更明显。

五、结论

我国证券市场与国外成熟的证券市场相比,具有运行时间较短,风险较大的特点。本文通过同时对上证综合指数(SSECI )和道琼斯工业指数的对数收益率序列进行

多重分形消除趋势波动分析,得出它们均是多重分形的。但上证的多重分形特征更明显。对深圳成指与纳斯达克综指进行相同分析,得出类似的结论。据此,我们得出风险与多重分形的对应关系:一个股票市场的多重分形特征越明显,其风险也越大。这也说明MF -DFA 方法对股票市场价格波动进行间接刻画是有效性,并可用来对股票市场风险进行定量分析。

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作者简介

施锡铨,男,上海财经大学金融学院教授,博士生导师。

艾克凤,女,上海理工大学理学院讲师,上海财经大学应用统计专业博士生。

通讯地址:上海财经大学金融学院,200433;联系电话:021-********,021-********;E 2mail :shi -xq @yahoo.

com 或ak fx w p @https://www.360docs.net/doc/0411593115.html, 。

(责任编辑:石庆焱)

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