湖北省襄阳市襄州一中 枣阳一中等四校2014届高三上学期期中联考数学(理)试题

★祝考试顺利★

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)。

1、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ） A 、3,1x y ==- B 、{(3,1)}- C 、{3,1}- D 、(3,1)-

2、已知命题:,23x

x

p x R ?∈<；命题3

2

:,1q x R x x ?∈=-，则下列命题中为真命题的是（ ）

A 、p q ∧

B 、p q ∧?

C 、p q ?∧

D 、p q ?∧?

3、在同一坐标系中画出函数x y a log =，x

a y =，a x y +=的图象，可能正确的是( )．

4、函数()x e x f x

cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为( )

A 、

4

π

B 、0

C 、

4

3π

D 、1

5、若42ππθ??∈????，，sin 2θ，则sin θ=( )

A 、

35 B 、45 C D 、3

4

6、对于函数()c bx x a x f ++=sin (其中Z c R b a ∈∈,,)，选取c b a ,,的一组值计算()1f 和()1-f ，所得出的正确结果一定不可能是（ ） A 、4和6

B 、2和1

C 、2和4

D 、1和3

7、奇函数()x f 在()+∞,0上为单调递减函数，且()02=f ，则不等式 ()()0523≤--x

x f x f

的解集为 ( )

A 、(](]2,02,?-∞-

B 、[][)+∞?-,20,2

C 、(][)+∞?-∞-,22,

D 、[)(]2,00,2?-

8、已知函数()x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有

())()1(1x f x x xf +=+，则??

?

?????? ??25f f 的值是( )

A 、0

B 、12

C 、1

D 、5

2

9、已知函数()()()

cos 0,2f x x x π=∈有两个不同的零点12,x x ，方程()f x m =有两个不同的实根34,x x .若这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为（ ） A 、23-

B 、23

C 、21-

D 、2

1

10、设函数()f x 满足2

()2()x e x f x xf x x '+=，2

(2)8

e f =，则当0x >时，()f x （ ）

A 、有极大值，无极小值

B 、有极小值，无极大值

C 、既无极大值，也无极小值

D 、既有极大值，又有极小值 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分）。 11、已知函数()()?

??<>=)0(,20,log 2x x x x f x

，则()241-+???

??f f 的值等于_______．

12、由曲线y =

，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为_______．

13、 在ABC ?中，三内角C B A ,,满足C B C B A sin sin sin sin sin 222-+<，则角A 的取值范围为 .

14、如果对于函数()x f 的定义域内任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，都有

()()21x f x f ≤且存在两个不相等的自变量21,m m ，使得()()21m f m f =，则称()x f 为定义

域上的不严格的增函数．已知函数()x g 的定义域、值域分别为A ，B ，{

}3,2,1=A ，A B ?且()x g 为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的函数()x g 共有________个．

15、下列五个命题中，正确的命题的序号是_____________. ①函数2

tan

x

y =的图象的对称中心是Z k k ∈),0,(π； ②)(x f 在()b a ,上连续，()()0)()(0,,00<=∈b f a f x f b a x 则且； ③函数)3

2sin(3π

+

=x y 的图象可由函数x y 2sin 3=的图象向右平移

3

π

个单位得到； ④)(x f 在R 上的导数)1(2

)

2(,0)()(),(f f x f x f x x f <<-''则且； ⑤函数)2cos 21ln(x y +=的递减区间是??

?

??

?+

4,πππk k ()Z k ∈.

三、解答题（本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明证明过程或演算步骤）． 16、（本小题满分12分）

设函数2()lg(2)f x x x =--的定义域为集合A ，函数()g x =

B .（1）求A B ；（2）若{}R m m x m x

C ∈+<<-=,121,B C ?,求实数m 的取值范围.

17、（本小题满分12分）

已知函数()sin()2cos()cos 22

f x x x x x π

π=?--+?+.

（1）求)(x f 的最小正周期；

（2）在ABC ?中，c b a ,,分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若4)(=A f ，1=b ，ABC ?的面积为2

3

，求a 的值.

18、（本小题满分12分） 已知函数()2

()1

x x

a f x a a a -=

--，其中0,1a a >≠ （1）写出()x f 的奇偶性与单调性（不要求证明）；

（2）若函数()x f y =的定义域为()1,1-，求满足不等式()(

)0112

<-+-m f m f 的实数m

的取值集合；

（3）当(),2x ∈-∞时，()4f x -的值恒为负，求a 的取值范围.

19（本小题满分12分）

设函数()()861322

3

+++-=ax x a x x f ，其中a R ∈.

（1)若()f x 在3=x 处取得极值，求常数a 的值； （2）设集合(){}

0<'=x f x A ，?

??

???>--=034x x x B ，若B A ?元素中有唯一的整数，求a 的

取值范围.

20（本小题满分13分）

如图，某市准备在一个湖泊的一侧修建一条直路OC ，另一侧修建一条观光大道，它的前一段OD 是以O 为顶点，x 轴为对称轴，开口向右的抛物线的一

部

分

，

后

一

段

DBC

是函数

)2

,0,0)(sin(π

φωφω<

>>+=A x A y ，[]8,4∈x 时的图

象，图象的最高点为???

?

??338,5B ，OC DF ⊥，垂足为F . (1)求函数)sin(φω+=x A y 的解析式；

(2)若在湖泊内修建如图所示的矩形水上乐园PMFE ，问：点P 落在曲线OD 上何处时，水上乐园的面积最大？

21、(本小题满分14分)设函数2

1()ln .2

f x x ax bx =-- (1)当1

2

a b ==

时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a

F x f x ax bx x

=+++（03x <≤）其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的斜率

k ≤2

1

恒成立，求实数a 的取值范围；

(3)当0a =，1b =-，方程2

2()mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值．

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2013—2014学年上学期高三期中考试数学（理）参考答案

三、解答题(若不同于参考答案，可根据步骤酌情给分）

17解：（1）2()22cos 2f x x x =++

2cos 232sin(2)36

x x x π

=++=++ …………………………3分

.2

2ππ==∴T …………………………5分

（2）由4)(=A f ，43)62sin(2)(=++=∴πA A f ，.2

1

)62sin(=+∴πA

又ABC A ?为 的内角，ππ

π

6

13

6

26

<

+

<∴

A ， ππ

6562=+

∴A ，.3

π

=∴A …………………………8分 23=

?ABC S ，1=b ，2

3

sin 21=∴A bc ，2=∴c …………………………10分

∴32

1

21241cos 2222=?

??-+=-+=A b c b a ，.3=∴a …………………12分 20、解(1)对于函数)sin(φω+=x A y ，由图象知 ()658422,338πππω=-===

T A .将???

? ??338,5B 代入到)sin(φω+=x A y 中， 得

)(2265Z k k ∈+=+ππφπ，又2πφ<，所以3

π

φ-=.………………………4分 故)36sin(338π

π-=

x y ………………………5分 （2）在)3

6sin(338π

π-=

x y 中，令4=x ，得()4,4D ， 所以曲线OD 所在抛物线的方程为x y 42

=………………………7分

设点()40,42≤≤???? ??t t t P ， 则矩形PMFE 的面积为t t S ???

?

?

?-=4

42

，[]4,0∈t ． 因为4342t S -='，由0='S ，得33

4=t ………………………9分

且当??

?

?

??∈334,0t 时，0>'S ，则S 单调递增，

当???

?

??∈4,334t 时，0<'

S ，则S 单调递减………………………11分 所以当33

4=

t 时，S 最大，此时点P 的坐标为???

? ??334,34………………………13分 （若没考虑t 的范围，则扣2分）

（2）()ln ,(0,3]a

F x x x x =+

∈，则有00201(),2

x a k F x x -'==≤在0(0,3]x ∈上恒成立， ∴a ≥max 02

0)2

1(x x +-

，]3,0(0∈x 当10=x 时，02021x x +-取得最大值21，所以a ≥2

1

……………8分

∵0)1(=h ，∴方程(*)的解为21x =241m m m ++=，解得2

1

=m ………14分

设2

()2ln 2g x x m x mx =--，则2222().x mx m

g x x

--'=令()0g x '=，20x mx m --=

因为0,0,m x >>

所以10x =<（舍去）

，2x =

当2(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在2(0,)x 上单调递减，

当2(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在2(,)x +∞上单调递增， 当2x x =时，2()0g x '=，()g x 取最小值2()g x .……………10分

则22()0()0g x g x =??'=? 即22222222ln 20

x m x mx x mx m ?--=??--=??