人教版初中数学中考经典好题难题(有答案)

2012年初中中考数学难题

一．填空题（共2小题）

1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点O n，则BO1=_________，BO n=_________．

2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为_________；抛物线C8的顶点坐标为_________．

二．解答题（共28小题）

3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）当k取哪些整数时，方程的两个实数根均为整数．

4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．

（1）求证：方程总有实数根；

（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？

5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH 的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．

（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式；

（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；

（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m 时，求m的值．

8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．

（1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．

9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．

10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．

求证：（1）∠EAD=∠EDA．

（2）DF∥AC．

（3）∠EAC=∠B．

11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m ﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

12．已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．

（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC=_________；

（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；

（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．

13．已知关于x的方程mx2+（3﹣2m）x+（m﹣3）=0，其中m＞0．

（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若，求y与m的函数关系式；

14．已知：关于x的一元二次方程x2+（n﹣2m）x+m2﹣mn=0①

（1）求证：方程①有两个实数根；

（2）若m﹣n﹣1=0，求证：方程①有一个实数根为1；

（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a．当x=2时，关于m的函数y1=nx+am与y2=x2+a（n﹣2m）x+m2﹣mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与y1、y2的图象分别交于点C、D．当L沿AB由点A平移到点B时，求线段CD的最大值．

15．如图，已知抛物线y=（3﹣m）x2+2（m﹣3）x+4m﹣m2的顶点A在双曲线y=上，直线y=mx+b经过点A，

与y轴交于点B，与x轴交于点C．

（1）确定直线AB的解析式；

（2）将直线AB绕点O顺时针旋转90°，与x轴交于点D，与y轴交于点E，求sin∠BDE的值；

（3）过点B作x轴的平行线与双曲线交于点G，点M在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6．设点N在直线BG上，请直接写出使得∠AMB+∠ANB=45°的点N的坐标．

（1）证明BF是⊙O的切线；

（2）设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小．

17．如图1，已知等边△ABC的边长为1，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点（均不与点A、B、C重合），记△DEF的周长为p．

（1）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上的中点，则p=_________；

（2）若D、E、F分别是AB、BC、AC边上任意点，则p的取值范围是_________．

小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将△ABC以AC边为轴翻折一次得△AB1C，再将△AB1C以B1C为轴翻折一次得△A1B1C，如图2所示．则由轴对称的性质可知，DF+FE1+E1D2=p，根据两点之间线段最短，可得p≥DD2．老师听了后说：“你的想法很好，但DD2的长度会因点D的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果．”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”．请参考他们的想法，写出你的答案．

18．已知关于x的方程x2﹣（m﹣3）x+m﹣4=0．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于4且小于8，求m的取值范围；

（3）设抛物线y=x2﹣（m﹣3）x+m﹣4与y轴交于点M，若抛物线与x轴的一个交点关于直线y=﹣x的对称点恰好是点M，求m的值．

19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=_________；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；

（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

20．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点．例如：如图1，平行四边形ABCD中，可证点A、C到BD的距离相等，所以点A、C是平行四边形ABCD的一对等高点，同理可知点B、D也是平行四边形ABCD的一对等高点．

（1）如图2，已知平行四边形ABCD，请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE（要求：画出必要的辅助线）；

（2）已知P是四边形ABCD对角线BD上任意一点（不与B、D点重合），请分别探究图3、图4中S1，S2，S3，S4四者之间的等量关系（S1，S2，S3，S4分别表示△ABP，△CBP，△CDP，△ADP的面积）：

①如图3，当四边形ABCD只有一对等高点A、C时，你得到的一个结论是_________；

②如图4，当四边形ABCD没有等高点时，你得到的一个结论是_________．

21．已知：关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2﹣bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1．

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

（2）求代数式的值；

（3）求证：关于x的一元二次方程ax2﹣bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根．

22．已知抛物线经过点A（0，4）、B（1，4）、C（3，2），与x轴正半轴交于点D．

（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；

（3）在（2）的条件下，过线段ED上动点P作直线PF∥BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P（x，0），△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范

23．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象分别经过点（0，3），（3，0），（﹣2，﹣5）．求：

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求这个二次函数的最值；

（3）若设这个二次函数图象与x轴交于点C，D（点C在点D的左侧），且点A是该图象的顶点，请在这个二次函数的对称轴上确定一点B，使△ACB是等腰三角形，求出点B的坐标．

24．根据所给的图形解答下列问题：

（1）如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，把△ABD绕点A旋转，并拼接成一个与△ABC面积相等的正方形，请你在图中完成这个作图；

（2）如图2，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，请你设计一种与（1）不同的方法，将这个三角形拆分并拼接成一个与其面积相等的正方形，画出利用这个三角形得到的正方形；

（3）设计一种方法把图3中的矩形ABCD拆分并拼接为一个与其面积相等的正方形，请你依据此矩形画出正形，并根据你所画的图形，证明正方形面积等于矩形ABCD的面积的结论．

25．例．如图①，平面直角坐标系xOy中有点B（2，3）和C（5，4），求△OBC的面积．

解：过点B作BD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E．依题意，可得

S△OBC=S梯形BDEC+S△OBD﹣S△OCE

=

=×（3+4）×（5﹣2）+×2×3﹣×5×4=3.5．

∴△OBC的面积为3.5．

（1）如图②，若B（x1，y1）、C（x2，y2）均为第一象限的点，O、B、C三点不在同一条直线上．仿照例题的解法，求△OBC的面积（用含x1、x2、y1、y2的代数式表示）；

（2）如图③，若三个点的坐标分别为A（2，5），B（7，7），C（9，1），求四边形OABC的面积．

26．阅读：

①按照某种规律移动一个平面图形的所有点，得到一个新图形称为原图形的像．如果原图形每一个点只对应像的一个点，且像的每一个点也只对应原图形的一个点，这样的运动称为几何变换．特别地，当新图形与原图形的形状大小都不改变时，我们称这样的几何变换为正交变换．

问题1：我们学习过的平移、_________、_________变换都是正交变换．

②如果一个图形绕着一个点（旋转中心）旋转n°（0＜n≤360）后，像又回到原图形占据的空间（重合），则称该变换为该图形的n度旋转变换．特别地，具有180?旋转变换的图形称为中心对称图形．

例如，图A中奔驰车标示意图具有120°，240°，360°的旋转变换．

图B的几何图形具有180°的旋转变换，所以它是中心对称图形．

问题2：图C和图D中的两个几何图形具有n度旋转变换，请分别写出n的最小值．

答：（图C）_________；答：（图D）_________．

问题3：如果将图C和图D的旋转中心重合，组合成一个新的平面图形，它具有n度旋转变换，则n的最小值为_________．

问题4：请你在图E中画出一个具有180°旋转变换的正多边形．（要求以O为旋转中心，顶点在直线与圆的交点上）

27．已知：点P为线段AB上的动点（与A、B两点不重合）．在同一平面内，把线段AP、BP分别折成△CDP、△EFP，其中∠CDP=∠EFP=90°，且D、P、F三点共线，如图所示．

（1）若△CDP、△EFP均为等腰三角形，且DF=2，求AB的长；

（2）若AB=12，tan∠C=，且以C、D、P为顶点的三角形和以E、F、P为顶点的三角形相似，求四边形CDFE的面积的最小值．

28．在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=﹣x+交x轴于点C，交y轴于点A．等腰直角三角板OBD的

顶点D与点C重合，如图A所示．把三角板绕着点O顺时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），使B点恰好落在AC上的B'处，如图B所示．

（1）求图A中的点B的坐标；

（2）求α的值；

（3）若二次函数y=mx2+3x的图象经过（1）中的点B，判断点B′是否在这条抛物线上，并说明理由．

29．已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．

（1）若∠BAC=2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．

（2）在（1）成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD=AB，连接BD、BE、DE，求证：△BED是等边三角形．

30．在一个夹角为120°的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B、C两点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．

（1）写出此图中相等的线段．

（2）请你设计一种可以通过计算求出直径的测量方法．（写出主要解题过程）

2012年初中难题数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共2小题）

1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=，BC=．第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点O1；O1D的中点为D1，第二次将纸片折叠使点B与点D1重合，折痕与BD交于点O2；设O2D1的中点为D2，第三次将纸片折叠使点B与点D2重合，折痕与BD交于点O3，…．按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交

于点O n，则BO1=2，BO n=．

=；以此类推，即可推出：=

中，

；

=，

B==，

2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线C n（n=1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标

为（3，2）；抛物线C8的顶点坐标为（55，）．

y=

x+1

，

y=x+1

）

二．解答题（共28小题）

3．已知：关于x的一元二次方程kx2+2x+2﹣k=0（k≥1）．

（1）求证：方程总有两个实数根；

）解：方程的根为

，∴．

4．已知：关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0．

（1）求证：方程总有实数根；

（2）当k取哪些整数时，关于x的方程kx2+（2k﹣3）x+k﹣3=0的两个实数根均为负整数？

∴

5．在平面直角坐标系中，将直线l：沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，

将抛物线C1：沿x轴平移，得到一条新抛物线C2与y轴交于点D，与直线AB交于点E、点F．

（1）求直线AB的解析式；

（2）若线段DF∥x轴，求抛物线C2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线l交于点H，一条直线m（m不过△AFH 的顶点）与AF交于点M，与FH交于点N，如果直线m既平分△AFH的面积，又平分△AFH的周长，求直线m的解析式．

，将直线

，

解析式为：

，又由

轴翻折，则直线

，

，

∴

，

的解析式为

=

∴

，

或；

∴

∵

∴

或

FT=，，．

（，

6．已知：关于x的一元二次方程﹣x2+（m+4）x﹣4m=0，其中0＜m＜4．

（1）求此方程的两个实数根（用含m的代数式表示）；

（2）设抛物线y=﹣x2+（m+4）x﹣4m与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），若点D的坐标为（0，﹣2），且AD?BD=10，求抛物线的解析式；

（3）已知点E（a，y1）、F（2a，y2）、G（3a，y3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．

∴

7．点P为抛物线y=x2﹣2mx+m2（m为常数，m＞0）上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象与y轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点．

（1）当m=2，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；

（2）设点Q（a，b），用含m、b的代数式表示a；

（3）如图，点Q在第一象限内，点D在x轴的正半轴上，点C为OD的中点，QO平分∠AQC，AQ=2QC，当QD=m 时，求m的值．

8．关于x的一元二次方程x2﹣4x+c=0有实数根，且c为正整数．

（1）求c的值；

（2）若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣4x+c与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；

（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与（2）中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围．

9．如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证：FD2=FB?FC．

=

10．如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．

求证：（1）∠EAD=∠EDA．

（2）DF∥AC．

（3）∠EAC=∠B．

11．已知：关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线y=（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1总过x轴上的一个固定点；（3）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+（m﹣2）x﹣1=0有两个不相等的整数根，把抛物线y=（m﹣1）x2+（m ﹣2）x﹣1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．