分子扩散与菲克定律.

菲克定律应用

1 扩散动力学方程——菲克定律 1.1 菲克第一定律 1.1.1宏观表达式 1858年，菲克（Fick ）参照了傅里叶（Fourier ）于1822年建立的导热方程，建立定量公式。 在t ?时间内，沿x 方向通过x 处截面所迁移的物质的量m ?与x 处的浓度梯度成正比： t A x C m ???∝ ? 即 )(x C D Adt dm ??-= 根据上式引入扩散通量概念，则有： x C D J ??-= （7-1） 图7-1 扩散过程中溶质原子的 分布

式（7-1）即菲克第一定律。 式中J 称为扩散通量，常用单位是mol /（)2s cm ?； x C ??浓度梯度； D 扩散系数，它表示单位浓度梯度下的通量，单位为2cm /s 或s m /2； 负号表示扩散方向与浓度梯度方向相反见图7-2。 1.1.2微观表达式 微观模型： 设任选的参考平面1、平面2上扩 散原子面密度分别为n 1和n 2，若n 1＝n 2，则无净扩散流。 假定原子在平衡位置的振动周期为τ，则一个原子单位时间内离开相对平衡位置跃迁次数的平均值，即跃迁频率Γ为 τ 1 = Γ (7-2) 由于每个坐标轴有正、负两个方向，所以向给定坐标轴正向跃迁的几率是Γ6 1。 设由平面l 向平面2的跳动原子通量为J 12，由平面2向平面1的跳动原 图7-2 溶质原子流动 的方向与浓度降低的方 向相一致 图7-3 一维扩散的微观 模型

子通量为J 21 Γ=11261n J (7-3) Γ=221 6 1 n J (7-4) 注意到正、反两个方向，则通过平面1沿x 方向的扩散通量为 ()21211216 1n n J J J -Γ=-= (7-5) 而浓度可表示为 δδn n C =??= 11 (7-6) 式(7-6)中的1表示取代单位面积计算，δ表示沿扩散方向的跳动距离（见图7-3），则由式(7-5)、式(7-6)得 ()dx dC D dx dC C C C C J -=Γ-=-Γ-=-Γ=2122116 1)(6 16 1δδδ (7-7) 式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式，其中 26 1 δΓ=D (7-8) 式（7-8）反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系，是扩散系数的微观表达式。 三维情况下，对于各向同性材料（D 相同），则 C D x C k x C j x C i D J J J J z y x ??-=??+??+??-=++=)( （7-9） 式中：x k x j x i ?? +??+??=?为梯度算符。 对于各向异性材料，扩散系数D 为二阶张量，这时，

扩散方程 稳态扩散与非稳态扩散.

一、扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：

其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0 两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度

变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散 设：1）两根无限长A、B合?金棒，各截面浓度均匀，浓度C2>C1 2）两合金棒对焊，扩散方向为x方向 3）合金棒无限长，棒的两端浓度不受扩散影响 4）扩散系数D是与浓度无关的常数 根据上述条件可写出初始条件及边界条件 初始条件：t=0时, x>0则C=C1，x<0, C=C2 边界条件：t≥0时, x=∞,C=C1, x=－∞, C=C2

菲克定律

7.1 扩散定律(1) 7.1.1 菲克第一定律（Fick’s First Law） 扩散过程可以分类为稳态和非稳态。 在稳态扩散中，单位时间内通过垂直于给定方向的单位面 积的净原子数（称为通量）不随时间变化，即任一点的浓度 不随时间变化。在非稳态扩散中，通量随时间而变化。研究 扩散时首先遇到的是扩 散速率问题。 菲克(A. Fick)在1855 年提出了菲克第一定律， 将扩散通量和浓度梯度 联系起来。菲克第一定律 指出，在稳态扩散（即） 的条件下，单位时间内通过垂直于扩散方向的单位面积 的扩散物质量（通称扩散通量）与该截面处的浓度梯度 成正比。为简便起见，仅考虑单向扩散问题。设扩散沿x 轴方向进行（图7-1），菲克第一定律的表达式为 （7-1） 式中：J为扩散通量(atoms/(m2·s)或kg/(m2·s))；D为扩散 系数(m2/s)；为浓度梯度(atoms/(m3·m)或kg/(m3·m)) （图7-2为浓度梯度示意图）；“-”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散由高浓度向低浓度区进行。此方程又称为扩散第一方程。 当扩散在稳态条件下应用（7-1）式相当方便。 7.1.2 菲克第二定律(Fick’s Second Law) 实际上，大多数重要的扩散是非稳态的，在扩散过程中扩散物质的浓度随时间而变化，即dc/dx≠0。为了研究这种情况，根据扩散物质的质量平衡，在菲克第一定律的基础上推导出了菲克第二定律，用以分析非稳态扩散。在一维情况下，菲克第二定律的表达式为 （7-2） 式中：为扩散物质的体积浓度（atoms/m3或kg/m3）；为扩散时间（s）；为扩散距离（m）。（7-2）式给出c=f(t,x)函数关系。式（7-2）又称为扩散第二方程。由扩散过程的初始条件和边界条件可求出（7-2）式的通解。利用通解可解决包括非稳态扩散的具体扩散问题。 7.1.3 扩散方程的求解

菲克第二定律

Lecture 4: Diffusion: Fick’s second law Today’s topics ?Learn how to deduce the Fick’s second law, and understand the basic meaning, in comparison to the first law. ?Learn how to apply the second law in several practical cases, including homogenization, interdiffusion in carburization of steel, where diffusion plays dominant role. Continued from last lecture, we will learn how to deduce the Fick’s second law, and understand the meanings when applied to some practical cases. Let’s consider a case like this We can define the local concentration and diffusion flux (through a unit area) at position “x”as:

So, Fick’s first law can be considered as a specific (simplified) format of the second law when applied to a steady state. Now, let’s consider two real practical cases, and see how to solve the Fick’s second law in these specific cases. Case 1. Homogenization: (non-uniform →uniform) Consider a composition profile as superimposed sinusoidal variation as shown below, where the solid line represents the initial concentration profile (at t=0), and the dashed line represents the profile after time τ.

菲克定律

（1 菲克第一定律 扩散流密度与扩散组元浓度梯度间关系 称为菲克第一定律。扩散流密度与在扩散介质中的浓度梯度成正比, 比例常数称为扩散系数。 菲克第二定律 稳态扩散特征是0 dc dt =。在物质的浓度随时间变化的体系中，即0 dc dt ≠，体系中发生的是非稳态扩散。在一维体系中，单位体积单位时间浓度随的变化等于在该方向 上通量，这既是菲克第二定律，其数学表达式为,A A x c t J x ????= )A A A ( x c D t c x ??????= 若D A 为常数, 即可以忽略D A 随浓度及距离的变化, 在x-y-z 三维空间中, 则菲克第二定律的表示式为 （2）掌握 D 为常数时费克第二定律的几个特解 扩散偶问题 如图4-1-2 初始条件 ｔ=0，x >0，c =0 ; 边界条件 t >0, x =0, c = c 02 ; x =∞, c = 0 解方程????c t D c x =2 2 ，得 ) d π2 1(2202 0ξξ?--=Dt x e c c 不同扩散时间后,扩散偶中扩散组元的浓度分布 ξ ξd π 2202 ?-Dt x e 为积分函数 。 (式中Dt x 2= ξ)称为误差函数, 记作Dt x 2erf 。 于是 )2e r f 1(2 ),(0Dt x c t x c -=

注：误差函数有如下主要性质 erf(x )= λλ d π 22 -?e x erf(-x )= - erf(x ) erf(0)=0, erf(∝) =1 1-erf(x )= erfc(x ) erfc(∝)=0, erfc(0)=1 式中 erfc(x )称为余误差函数。 若初始条件变为t =0, x ＞0，c =c 1则解为 )2erf 1(2),(101Dt x c c c t x c --+= 几何面源问题 数学模型1 初始条件： t =0, x =0, c =c 0；x ≠0, c =0 Vc 0 =Q 式中V ? 极薄扩散源的体积; Q ? x =0处扩散组元的总量。如图4-1-2所示。 边界条件：t >0, x →∞, c =0; x →-∞, c = 几何面源、全无限长一 维扩散 (a) 边界条件; (b) 浓度分布曲线（扩散时间 t =1, 14 , 164 , 横坐标距离x 为任意长度位置） 由初始及边界条件得到的菲克第二定律的解为 Dt x e Dt Q c 42 2- =π 数学模型2 初始条件： t = 0，x = 0，c =c 0，Ｑ=Vc 0; x >0，c = 0 边界条件： t > 0，x =∞，c = 0 所得的菲克第二定律的解为 c Q D t e x D t = -π2 4 数学模型3 t = 0，x ≥0，c = c b 0 < t ≤ t e ，x =0，c =c s ; x =∞，c =c b 菲克第二定律的解为 c c c c x D t --=-b s b er f 12( ) 或

第11讲扩散定律

第十一讲扩散定律 1.扩散第一定律 考点再现：08、09年出现了证明扩散第一定律的题目，而10年出现了用误差函数解决扩散第二定律的问题，所以按照往年的经验，扩散第一定律和扩散第二定律必考其一，所以这部分比较重要，分值会在8至10分，题型还是简答。 考试要求：理解，记忆，并且要求会推导出扩散第一定律。 知识点 在气体或者液体中，物质的传输方式为（扩散）和（对流）。★★★★ 在固体中，物质的传输方式为（扩散）。★★ 菲克第一定律，条件——稳态扩散，即材料内部各处的浓度不随时间而变（dc/dt=0）★★★★★ 单位时间内通过垂直于扩散方向单位截面的物质流量（称为扩散通量J）与该出的浓度梯度成正比。 J为扩散通量；D为扩散系数；dc/dx为浓度梯度。 由扩散第一定律可以得到一下几点结论：★★★ （1）只要有浓度梯度，就会有扩散。 （2）扩散通量的大小与浓度梯度成正比 （3）扩散方向与浓度梯度正方向相反，即扩散的宏观流动总是从溶质浓度高的向浓度低的方向进行。 2.扩散第二定律

考点再现：10年已经出现了扩散第二定律的内容，相对来说11年考的可能性就要小一些，但是不能完全忽视，毕竟08，09还都考了扩散第一定律了，考试方式很固定，即误差函数法解扩散第二定律。 考试要求会用误差函数法解题，会计算，知道每个字母所代表的意义，对于一些题目，能够从中抽象出问题。 知识点 扩散第二定律的表达★★★ 条件，非稳态扩散，即材料内部溶质浓度随时间改变。dc/dt≠0 因为这个公式相对比较复杂，所以对于这个公式的推导并不作为考试的要求，这一部分我们只需要把公式记住就可以了。 利用误差函数分布作为扩散第二定律的解★★★★★ 现对书中的例题进行讲解

菲克定律应用

1扩散动力学方程一一菲克定律 1.1菲克第一定律 1.1.1宏观表达式 1858年，菲克（Fick ）参照了傅里叶（Fourier ）于1822年建立 的导热方程，建立定量公式 在t 时间内，沿x 方向通过x 处截面所迁移的物质的量 m 与x 处 分布 的浓度梯度成正比： C m A t x 即如 D （_C ） Adt x 根据上式引入扩散通量概念，则 1 . 1 1 1 1 有: (7-1) 图7-1扩散过程中溶质原子的 ( C-C) 繞扩ft 石 原始状畚 盘蚌#态

式(7-1)即菲克第一定律。 式中J 称为扩散通量，常用单位是mol / ( cm 2 s); 散原子面密度分别为n 1和n 2,若n 1=巳，则无净扩散流。 假定原子在平衡位置的振动周期为 T 则一个原子单位时间内离 开相对平衡位置跃迁次数的平均值，即跃迁频率 为 丄 (7-2) 由于每个坐标轴有正、负两个方 向，所以向给定坐标轴正向跃迁的几率 是 1 。 6 设由平面I 向平面2的跳动原子通 量为J 12，由平面2向平面1的跳动原 模型 -C 浓度梯度； x D 扩散系数，它表示单位浓度梯度下的 通量，单位为 cm 2/s 或 m 2 / s ； 负号表示扩散方向与浓度梯度方向相 反见图7-2。 1.1.2微观表达式 微观模型： 设任选的参考平面1、平面2上扩 图7-2溶质原子流动 的方向与浓度降低的方 向相一致 图7-3 一维扩散的微观

子通量为J 21 (见图7-3)，贝卩由式(7-5)、式(7-6)得 式(7-8)反映了扩散系数与晶体结构微观参量之间的关系，是扩散 系数的微观表达式。 三维情况下，对于各向同性材料(D 相同)，则 C C C /-7 C\ J J x J y J z D(i j k ) D C (7-9) XXX 式中： i j k 为梯度算符。 x x x 对于各向异性材料，扩散系数 D 为二阶张量，这时， J 12 1 6n i 1 6n 2 (7-3) 注意到正、反两个方向，则通过平面 J i J 12 J 21 而浓度可表示为 1沿x 方向的扩散通量为 (7-5) (7-6) 式(7-6)中的1表示取代单位面积计算, 表示沿扩散方向的跳动距离 J 1 C 1 C 2 1 6(6 C 1) 2 dC dx 式(7-7)即菲克第一定律的微观表达式，其中 dC D (7-7) dx

菲克定律

包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积 律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值, 费克第一定律 早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： (1) 式（1）中, D称为扩散系数(m2/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m3或kg/m3)，dC/dx 为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / m^2·s。 在三维情况下，有如下形式公式： 其中，J为扩散通量，为一个三维向量场，D为扩散系数，为一个二阶张量，C为浓度，为一个数量场，▽为梯度算子。 扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe 中的扩散系数D仅为10m^2/s数量级。 费克定律里的稳态扩散和非稳态扩散 费克第一定律只适应于J和C不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见下图）。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，J随时间和距离变化。通过各处的扩散通量J 随着距离x在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随时间而发生变化。对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。 费克第二定律(Fick’s second law) 费克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。费克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，即 将代入上式，得

fick定律扩散方程

扩散方程 扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2·s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为n1f·dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定： 其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度

下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0 两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散 中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） ，，， （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通

扩散现象及其应用研究

扩散现象及其应用研究Array 摘要： 的。1855年法国生理学家菲克（Fick，1829—1901）提出了描述扩散规律的基本公式 ——菲克定律。菲克定律本身在物理、化学及生物学中都有重要的应用，随着科学的 不断发展，扩散现象也逐渐被广泛的应用到工农业生产和医学领域中，本文就扩散现 象的应用做一些简单的介绍及讨论。 关键词：扩散现象；分子热运动；菲克定律；半导体 Diffusion phenomenon and research of its application Abstract：Molecular diffusion is due to the heat generated by the movement transfer phenomena in the quality, density difference is mainly due to the cause. In 1855, the French physiologist Fick's (Fick, 1829-1901) put forward the basic formula to describe diffusion rule-Fick law. Fick law itself in the physical, chemical and biological all has the important application, along with the continuous development of science, and the diffusion phenomenon also has been widely applied to industrial and agricultural production and medical field, this paper the application of diffusion phenomenon do some simple introduction and discussion. Key Words: Diffusion phenomenon; Molecular hot movement; Fick law; semiconductor 1引言 扩散现象是指物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到均匀分布的现象， 速率与物质的浓度梯度成正比。扩散是由于分子热运动而产生的质量迁移现象，主要 是由于密密度差引起的[1]。分子热运动目前认为在绝对零度以下不会发生。随着物理 学科的发展，人们已经对扩散现象及其分子热运动的实质性的了解，而对于扩散现象 的研究又越来越多的被应用到人们的现实生活、工农业生产及医学领域中[2]。 2 扩散现象的物理意义及实质 2．1 扩散现象的物理意义

菲克定律

菲克定律 百科名片 菲克定律 菲克定律，是描述气体扩散现象的宏观规律，这是生理学家菲克（Fick）于1855年发现的。包括两个内容：（1）早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律。（2）菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值。 目录[隐藏] 菲克第一定律(Fick’s first law)的提出 菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散 菲克第二定律(Fick’s second law) [编辑本段] 菲克第一定律(Fick’s first law)的提出 早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(C oncentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： ??????（1） 式（1）中, D称为扩散系数(m/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/ m或kg/m)，dC/dx为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / m·s。 扩散系数

扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m/s数量级。 [编辑本段] 菲克定律里的稳态扩散和非稳态扩散 菲克第一定律只适应于和J不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图3.7-1）。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化。这样，扩散通量J对于各处都一样，即扩散通量J不随距离x变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，和J都随时间变化。通过各处的扩散通量J 随着距离x在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随距离而发生变化。对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。 [编辑本段] 菲克第二定律(Fick’s second law) 菲克第二定律是在第一定律的基础上推导出来的。菲克第二定律指出，在非稳态扩散过程中，在距离x处，浓度随时间的变化率等于该处的扩散通量随距离变化率的负值，即 将代入上式，得 ??????（2） 这就是菲克第二定律的数学表达式。如果扩散系数D与浓度无关，则该式可以写成 ??????（3） 上式中，C为扩散物质的体积浓度(kg/m), t为扩散时间(s), x为距离(m)。实际上，固溶体中溶质原子的扩散系数D是随浓度变化的，为了使求解扩散方程简单些，往往近似地把D看作恒量处理。

菲克定律

菲克定律 菲克定律（Fick's Law） 描述气体扩散现象的宏观规律，这是生理学家菲克（Fick）于1855年发现的。菲克定律认为粒子流密度（即单位时间内在单位截面积上扩散的粒子数）Jn与粒子数密度梯度dn/dz成正比，即 （1） 其中比例系数D称为扩散系数，其单位为m·s。式中负号表示粒子向粒子数密度减少的方向扩散。菲克定律不仅适用于自扩散，也适用于互扩散，不过此时D表示某两种粒子之间的互扩散系数。若在与扩散方向垂直的流体截面上的Jn处处相等，则在式（1）两边各乘以流体的截面积及扩散分子的质量，即可得到单位时间内气体扩散的总质量与密度梯度dρ/dz之间的关系 （2） 菲克定律不仅在物理学中，而且在化学、生物学中都有重要应用。 菲克第一定律(Fick’s first law) 早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(C oncentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下： (3.7-1) 式中, D称为扩散系数(m/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m或k g/m)，为浓度梯度，―–‖号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度区向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / m·s。 扩散系数 扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度梯度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。对于固态金属中的扩散，D值都是很小的，例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10m/s数量级。 稳态扩散和非稳态扩散 菲克第一定律只适应于和J不随时间变化——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图3.7-1）。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化。这样，扩散通量J对于各处都一样，即扩散通量J不随距离x变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中，和J都随时间变化。通过各处的扩散通量J 随着距离x在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随距离而发生变化。对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。 菲克第二定律(Fick’s second law)

菲克第一定律

3.7.1 菲克第一定律、扩散系数、稳态扩散和非稳态扩散 2009年09月13日星期日 13:53 3.7.1 菲克第一定律、扩散系数、稳态扩散和非稳态扩散 扩散定律也叫做菲克(A. Fick)定律，用来讨论扩散现象的宏观规律，如扩散物的浓度分布与时间的关系。 (Fick’s first law) 早在1855年，菲克就提出了：在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积扩散物质流量（称为扩散通量Diffusion flux，用J表示）与该截面处的浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说，浓度梯度越大，扩散通量越大。这就是菲第一定律，它的数学表达式如下： (3.7-1) 式中, D称为扩散系数(m2/s)，C为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m3或kg/m 为浓度梯度，“–”号表示扩散方向为浓度梯度的反方向，即扩散组元由高浓度向低浓度区扩散。扩散通量J的单位是kg / m2 ·s。 扩散系数(Diffusion coefficient)D是描述扩散速度的重要物理量，它相当于浓度度为1时的扩散通量，D值越大则扩散越快。对于固态金属中的扩散，D值都是很小例如，1000℃时碳在γ-Fe中的扩散系数D仅为10-11 m2/s数量级。

菲克第一定律只适应于和J不随时间变化 ——稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合（见图 3.7-1）。对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度C只随距离x变化，而不随时间t变化。这样，扩散通量J对于各处都一样，即扩散通量J不随距离x变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。实际上，大多数扩散过程都是在非稳态条件下进行的。非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特 点是：在扩散过程中，和J都随时间变化。通过各处的扩散通量J随着距离x在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随距离而发生变化。对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。图3.7-1稳态扩散示意图 图中金属薄板左右两边的气体压力和扩散元素的浓度保持不变。

扩散定律应用

固态氮化硼扩散 一、 目的 通过固态氮化硼扩散，掌握通过扩散法获得P —n 结的方法。 二、 原理 所谓扩散技术，是指将杂质引入到半导体中，使之在半导体的特定区域中具有某种导电类型和一定电阻率的方法，当前制备P —n 结的最主要方法是扩散法。对于硅平面器件，整个器件的结构和性能基本上由扩散工艺确定， 。 扩散是物质分子或原子热运动引起的一种自然现象。浓度差别的存在是产生扩散运动的必要条件，环境温度的高低是决定扩散运动快慢的重要因素。扩散现象所遵循的客观规律可用扩散第一定律和扩散第二定律描述，其数学表达式为： x N D t x J ??）＝－，（ （2－1） 22x N D t N ????＝ （2－2） 在扩散工艺中，硼、磷等杂质的扩散通常都分成预沉积和再分布两步进行。 在预沉积过程中，扩散是在恒定表面浓度的条件下进行的。在此条件下，解扩散 方程（2－2） ，得到的扩散分布是一种余误差函数，表达式为： Dt 2x erfc N dx e Dt 2 N t x N s x 2 x s 2 ??∫ ∞ ＝）＝，（－π （2－3） 按照（2－3）式画出的关系曲线如图2－1所示。 图2－l 恒定表面浓度扩散的杂质分布 恒定表面浓度扩散分布曲线下面的面积表示扩散进入硅片单位表面的杂质总量。 Dt 1.13N Dt 2N dx Dt 2x erfc N dx t x,N Q s s s ＝＝＝）（＝π ∫∫∞ ∞ （2－4） 而在再分布过程中，扩散是在限定源的条件下进有的。整个扩散过程的杂质 源，限定于扩散前积累在硅片表面的无限薄层内的杂质总量Q ， 没有外来杂质补

各个定律

达西定律Darcy’s Law 反映水在岩土孔隙中渗流规律的实验定律。 由法国水力学家H.-P.-G.达西在1852～1855年通过大量实验得出。其表达式为 Q=KFh/L 式中Q为单位时间渗流量，F为过水断面，h为总水头损失，L为渗流路径长度，I=h/L为水力坡度，K为渗流系数。关系式表明，水在单位时间内通过多孔介质的渗流量与渗流路径长度成反比，与过水断面面积和总水头损失成正比。从水力学已知，通过某一断面的流量Q等于流速v与过水断面F的乘积，即Q＝Fv。或，据此，达西定律也可以用另一种形式表达 v=KI v为渗流速度。上式表明，渗流速度与水力坡度一次方成正比。说明水力坡度与渗流速度呈线性关系，故又称线性渗流定律。达西定律适用的上限有两种看法：一种认为达西定律适用于地下水的层流运动；另一种认为并非所有地下水层流运动都能用达西定律来表述，有些地下水层流运动的情况偏离达西定律，达西定律的适应范围比层流范围小。 这个定律说明水通过多孔介质的速度同水力梯度的大小及介质的渗透性能成正比。 这种关系可用下列方程式表示：V＝K［（h2－h1）÷L］。 其中V 代表水的流速，K 代表渗透力的量度(单位与流速相同, 即长度/时间)，（h2－h1）÷L 代表地下水水位的坡度（即水力梯度）。因为摩擦的关系，地下水的运动比地表水缓慢得多。可以利用在井中投放盐或染料，测定渗流系数和到达另一井内所需的时间。 达西定律只适用于低流速条件。 3.达西（Dracy）渗透定律 (1)达西渗透实验与达西定律 地下水在土体孔隙中渗透时，由于渗透阻力的作用，沿程必然伴随着能量的损失。为了揭示水在土体中的渗透规律，法国工程师达西(H.darcy)经过大量的试验研究，1856年总结得出渗透能量损失与渗流速度之间的相互关系即为达西定律。 图2-3 达西渗透实验装置图 达西实验的装置如图2-3所示。装置中的①是横截面积为A的直立圆筒，其上端开口，在圆筒侧壁装有两支相距为l 的侧压管。筒底以上一定距离处装一滤板②，滤板上填放颗粒均匀的

有关扩散方程

扩散方程稳态扩散与非稳态扩散 1．稳态扩散下的菲克第一定律（一定时间内，浓度不随时间变化dc/dt=0） 单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的扩散物质流量（扩散通量）与该面积处的浓度梯度成正比 即J=－D（dc/dx） 其中D：扩散系数，cm2/s，J：扩散通量，g/cm2〃s ，式中负号表明扩散通量的方向与浓度梯度方向相反。 可见，只要存在浓度梯度，就会引起原子的扩散。 x轴上两单位面积1和2，间距dx，面上原子浓度为C1、C2 则平面1到平面2上原子数n1=C1dx ，平面2到平面1上原子数n2=C2dx 若原子平均跳动频率f, dt时间内跳离平面1的原子数为 n1f〃dt 跳离平面2的原子数为n2fdt，但沿一个方向只有1/2的几率，则单位时间内两者的差值即扩散原子净流量。 令，则上式 2．扩散系数的测定：

其中一种方法可通过碳在γ-Fe中的扩散来测定纯Fe的空心园筒，心部通渗碳气氛，外部为脱碳气氛，在一定温度 下经过一定时间后，碳原子从内壁渗入，外壁渗出达到平衡，则为稳态扩散单位时单位面积中碳流量： A：圆筒总面积，r及L：园筒半径及长度，q：通过圆筒的碳量 则： 即： 则： q可通过炉内脱碳气体的增碳求得，再通过剥层法测出不同r处的碳含量，作出C-lnr曲线可求得D。 第一定律可用来处理扩散中浓度不因时间变化的问 3．菲克第二定律：解决溶质浓度随时间变化的情况，即dc/dt≠0

两个相距dx垂直x轴的平面组成的微体积，J1、J2为进入、流出两平面间的扩散通量，扩散中浓度变化为，则单元体积中溶质积累速率为 （Fick第一定律） （Fick第一定律） （即第二个面的扩散通量为第一个面注入的溶质与在这一段距离内溶质浓度变化引起的扩散通量之和） 若D不随浓度变化，则 故： 4．Fick第二定律的解：很复杂，只给出两个较简单但常见问题的解 a. 无限大物体中的扩散

菲克定律计算题

题：20cm长，半径3cm的管子中间是一个铁制隔膜。 左边有：0.5x10^20 atoms/cm^3 的N原子 0.5x10^20 atoms/cm^3 的H原子 右边有：10^18 atoms/cm^3 的N原子 10^18 atoms/cm^3 的H原子 温度：T=973K - 气体被不断地充入管子内以保证浓度稳定。 - 铁为体心立方体（Body centred cubic） 为了保证在扩散过程中： - 每小时只有少于1%的N原子会丢失 - 每小时有90%的H原子顺利通过 铁隔膜最小和最大的厚度为多少？ 请说一下大概的思路。 当然越详细越好…… 谢谢！~ 分不是问题啦~ 图如下。 答案： 图中的扩散系数数据好像有点问题，我查了一下资料，在α-Fe中，H和N的扩散系数分别为： DH=0.0011×exp(-11530/RT)cm2/s DN=0.003×exp(-76530/RT)cm2/s 在T=973K时， DH=7.21×10^(-4)cm2/s DN=2.34×10^(-7)cm2/s 问题里面的情况为稳态扩散：J=-D(dC/dx) JH=7.21×10^(-4)cm2/s×4.9×10^(19)/cm3/x=3.53×10^(16)/x

JN=2.34×10^(-7)cm2/s×4.9×10^(19)/cm3/x=1.15×10^(13)/x 每小时通过的H，N原子数分别为： nH=3.53×10^(16)/x×3600×28.3=3.6×10^(21)/x nN=2.34×10^(13)/x×3600×28.3=2.4×10^(18)/x 左边的H原子总数为NH=0.5×10^20×28.3×20=2.83×10^(22) 左边的H原子总数为NN=0.5×10^20×28.3×20=2.83×10^(22) nH/NH≥90% (3.6×10^(21)/x)/2.83×10^(22)≥90% 解得x≤0.1413cm nH/NH≤1% (2.4×10^(18)/x)/2.83×10^(22)≤1% 解得x≥0.0085cm 即铁膜的最大最小厚度分别为为0.1413cm,0.0085cm

菲克定律

菲克第一定律[编辑] 假设从高浓度区域往低浓度流的通量大小与浓度梯度（空间导数）成正比，通过这个假设，菲克第一定律把扩散通量与浓度联系起来。在一维空间下的菲克定律如下： 其中 ?为“扩散通量”（于某单位时间内通过某单位面积的物质量），例如。量度在一段短时间内物质流过一小面积的量。 ?为扩散系数或扩散度，其量纲为[长度2时间?1]，例如 ?为浓度（假设为理想混合物），其量纲为[(物质的量) 长度?3]，例如 ?为位置[长度]，例如 根据斯托克斯-爱因斯坦关系，的大小取决于温度、流体黏度与分子大小，并与扩散分子流动的平均速度成正比。在稀的水溶液中，大部分离子的扩散系数都相近，在室温下其数值大概在0.6×10-9至2×10-9 m2/s。而生物分子的扩散系数一般介于10-11及10-12 m2/s之间。在二维或以上的情况下，我们必须使用（劈形或梯度算子）来把第一导数通用化，得 。 一维扩散的驱动力为，而对理想混合物而言，这股驱动力就是浓度的梯度。在非理想溶液或混合物的化学系统中，每一种物质的扩散驱动力则为各自种类的化学势梯度。此时菲克第一定律（一维状况）为： 其中标记i代表第i种物质，c为摩尔浓度(mol/m3)，R为通用气体常数(J/(K mol))，T为绝对温度(K)及μ为化学势(J/mol)。 菲克第二定律[编辑]

菲克第二定律预测扩散会如何使得浓度随时间改变： 其中 ?为浓度，其量纲为[(物质的量) 长度?3]，例如 ?为时间[s] ?为扩散系数，其量纲为[长度2时间?1]，例如 ?为位置[长度]，例如 可从菲克第一定律及质量守恒定律导出菲克第二定律： 假设扩散常数D不变（常数），用链式法则展开，得： 由此可得上述的菲克方程。 对于二维或以上的扩散，其菲克第二定律为： ， 其形式跟热传导方程类似。 若扩散常数不是常数，但大小取决于座标及／或浓度，则菲克第二定律为： 其中一个重要的例子就是，当处于稳定态的时候，即浓度不会因时间而变动，因此方程的左边等于零。在D不变及一维的情况下，浓度会随位置x作线性的变动。在二维或以上情况则：